リーマン和エクスプローラー

リーマン和は、連続的な生物学を計算可能にする方法です。薬理学では、曲線下面積(AUC)によって、離散的な採血サンプルから薬剤への総曝露量を推定します。生態学では、成長速度曲線を積分することで、時間経過に伴う総バイオマスや酸素生産量を推定します。数学は同じでも対象は異なります。時間を分割し、局所的な寄与を足し合わせ、分割を細かくして誤差を減らすのです。

曲線の下の正確な面積を求めるのは難しいですが、長方形を足し合わせるのは簡単です。どの方法も短冊の高さの取り方が違うだけ——左端、右端、中点、あるいは傾いた上辺(台形)です。要点は、どれも正確ではないものの、短冊を増やすほどどの方法も真の積分に近づくということ。分割を細かくすると誤差が縮む様子を観察しましょう。

驚きの事実です。中点則はたいてい台形則より優れ、しかも両者の誤差は逆向きを指します——曲線が上に凸のところで中点則は過大評価し、台形則は過小評価します。これらを (2M + T)/3 の形で混ぜると主要な誤差項が打ち消し合い、シンプソンの公式が現れます。最も有名な積分公式は、実はこの画面にある二つの和の加重平均にすぎないのです。