リーマン和エクスプローラー

分割による面積近似と手法比較

計算例 — リーマン和エクスプローラー

推定値	2.65625
真の積分値	2.66667
絶対誤差	0.0104167
符号付き誤差	-0.0104167
下和	2.1875
上和	3.1875
上和と下和の差	1
分割幅	0.25

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

薬理学が途中で計算法を切り替える理由 🖖

薬物曝露量はリーマン和で求める。規制当局が知りたいのは、患者の血中濃度–時間曲線下面積だ。しかし実際に得られるのは十数回の採血値にすぎないため、通常は隣り合う測定値の間に台形則を用いる。そこには、このページで見た偏りがそのまま入り込む。消失曲線は凸なので、弦は曲線より上にくる。線形台形法では、実際より大きな曝露量を患者に割り当ててしまう。そこで標準的には、吸収相の上昇部分には線形法、下降部分には対数法を使う。

面積を測れる形に切り分ける 🖖

曲線下面積を厳密に求めるのは難しいが、長方形の面積を足すだけなら簡単だ。ここにある各手法の違いは、細長い区間の高さをどこで見積もるかにある。左端、右端、中点、または上辺を斜めにした台形を使う。どれも厳密値ではない。ただし、厳密値に近づく速さは異なる。区間数を二倍にすると、左端和と右端和の誤差は半分になり、中点則と台形則の誤差は四分の一になる。

シンプソンの公式は隠れた混合物 🖖

多くの場合、中点則は台形則より精度がよく、両者の誤差は逆向きになる。曲線が上に凸な部分では、中点則は過大評価し、台形則は過小評価する。両者を (2M + T)/3 の比率で組み合わせると主要な誤差項が打ち消され、シンプソン則が得られる。よく知られたこの積分公式は、この画面にある二つの和の加重平均なのである。

リーマン和の理論 — 積分の定義そのもの

各帯のどこで値を取るか

リーマン和は区間 [a, b] を n 本の帯に分け、各帯にその内部の1つの標本点で読み取った高さを1つだけ与えます。どの点を選ぶか — 左端、右端、中央 — によって、n が小さいうちは答えが変わります。注目すべきは、n を大きくするとどの選び方も同じ数に近づき、その共通の極限こそが定積分の意味だということです。

左端 — 各帯の始まりで標本をとる Σ f(x_i) Δx

右端 — 各帯の終わりで標本をとる Σ f(x_i+1) Δx

中点 — 各帯の中央で標本をとる Σ f(x_i + Δx/2) Δx

台形 — 両端の平均 Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

左端 — 各帯の始まりで標本をとる

標本点: 高さは帯 i の左端 xᵢ で読み取ります。b での値は一度も使いません。

和: Σ f(x_i) Δx

小さい n では: [0, 2] 上の x² を n = 4 で計算すると 1.75。真の面積 2.667 に遠く及びません。

この場合を開く: 粗い左和

左端 — 各帯の始まりで標本をとる. どの長方形も自分の左端で高さを取るため、曲線のくさび形が抜け落ちます。高さは帯 i の左端 xᵢ で読み取ります。b での値は一度も使いません。 — どの長方形も自分の左端で高さを取るため、曲線のくさび形が抜け落ちます。

右端 — 各帯の終わりで標本をとる

標本点: 高さは帯 i の右端 xᵢ₊₁ で読み取ります。a での値は一度も使いません。

和: Σ f(x_i+1) Δx

小さい n では: 同じ曲線・同じ n で 3.75 対 2.667。左の和が失った分とほぼ同じだけ超過します。

この場合を開く: 右寄りの偏り

右端 — 各帯の終わりで標本をとる. 同じ帯を右端で標本にすると、今度はどの長方形も超過します。高さは帯 i の右端 xᵢ₊₁ で読み取ります。a での値は一度も使いません。 — 同じ帯を右端で標本にすると、今度はどの長方形も超過します。

中点 — 各帯の中央で標本をとる

標本点: 高さは帯の中央で読み取り、どちらの端も特別扱いしません。

和: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

小さい n では: 同じ曲線・同じ n で 2.625 対 2.667。左右より一桁近い値です。

この場合を開く: nを細かく

中点 — 各帯の中央で標本をとる. 中央で標本をとることで、各帯の2つの誤差が互いに打ち消し合います。高さは帯の中央で読み取り、どちらの端も特別扱いしません。 — 中央で標本をとることで、各帯の2つの誤差が互いに打ち消し合います。

台形 — 両端の平均

標本点: 帯の両端を使い、上辺を両者の間で斜めに結びます。

和: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

小さい n では: 同じ曲線・同じ n で 2.75 対 2.667。どちらの端点和より良いものの、中点には及びません。

この場合を開く: 滑らかな台形

台形 — 両端の平均. 両端を結ぶ斜めの上辺 — 左と右の長方形の平均です。帯の両端を使い、上辺を両者の間で斜めに結びます。 — 両端を結ぶ斜めの上辺 — 左と右の長方形の平均です。

全プロセスの詳細解説

8つの中点長方形による ∫₀² x² d x の推定 5 ステップ
8個の中点長方形を用いて ∫₀² x² dx を見積もりなさい。その後、単なる見積もりにとどまらない計算を行いなさい。2つの誤った答えを組み合わせて正確な解を導いてください。
1. 幅 2 の区間を 8 等分する帯に分けると Δx = 0.25 となり、中点規則では各長方形の高さをその帯の中央（0.125, 0.375 など）で取得します。中央でサンプリングを行うのは美的な好みではなく、ステップ4で得られる効果のためです。
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. 2乗した 8 つの中点を合計し、共通の幅を掛け合わせます。長方形を用いるという決定自体を除けば、ここまでの計算に近似的な要素はありません。
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. 正確な定積分の値は 8/3 であるため、見積もりは 0.0104167 だけ小さくなっています。小さくなっているという事実とその量は、見過ごすのではなく説明する価値があります。
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. 中点規則の誤差は −(b − a)h²f″(ξ)/24 です。x² の場合、2階導関数はどこでも 2 であるため、ξ がどこにあろうと関係なく、この公式は限界（評価式）ではなく等式となります。計算すると −1/96 が得られ、これはツールが表示する最後の桁に至るまでの符号付き誤差と一致します。
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. 台形規則は逆方向に、かつちょうど 2 倍の誤差を生じます。中点長方形は付け加えた分と同量を切り落としますが、台形の弦は下に凸な曲線の上に完全に位置するためです。2 対 1 の重み付けで平均をとると、誤差は相殺されます。
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
解答

中点規則による結果は 2.65625 （真の値 2.66667 に対し）であり、ツールが表示する不足和 2.1875 と過剰和 3.1875 の間に挟まれています。しかし最後の式に注目してください。8 個の帯を使い、追加の関数評価を行うことなく、(2M + T)/3 = 8/3 が 正確に 得られます。この組み合わせには名前があります。これこそがシンプソンの公式であり、その由来がここにあります。これは長方形を工夫して描く方法ではなく、2つの単純な方法の誤差が一定の比率で発生するため、構造的に誤差を打ち消せるという観察に基づくものです。関数を x³ に変更すると、ツールは中点規則 3.96875、台形規則 4.0625 と表示します。これらを組み合わせると、シンプソンの公式はすべての 3 次関数に対して厳密であるため、ぴったり 4 になります。x⁴ に切り替えると、100 000 分の 6 というわずかな誤差が初めて発生します。

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$

学習の道すじ

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

この次にテイラー級数

参考文献 (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

粗い左和 - x²を左端の長方形四つで近似すると1.75、真値は2.666667。同じ四区間の(2M + T)/3は厳密値になる。
nを細かく - 中点則では四十区間の誤差が0.000417、八区間では0.010417。区間数を五倍にすると精度は二十五倍になる。
滑らかな台形 - sin(x)は[0, π]の両端で0になるため、左端和・右端和・台形則はいずれも1.983524。中点則だけが2.008248になる。
凹凸の偏り - [0, 1]上のe^xでは、台形則が1.720519、中点則が1.717164、真値は1.718282。中点則の誤差は台形則の半分で、向きは逆になる。
逆向き区間 - sinをπから0まで積分すると-2.005723。各区間の幅が負になるため、積分区間を逆にすると符号だけが反転する。
右寄りの偏り - 右端の長方形六つでは3.370370まで過大評価し、左端の六つでは2.037037になる。増加関数の真値は必ず両者の間にある。