偏微分と勾配

等高線図の上で点をドラッグしてみてください。二つの偏微分はそれぞれ軸に沿った傾きを表しています。方向ダイヤルを回すと、その方向に歩いたときに実際に感じる傾きが一番下に表示されます。

計算例 — 偏微分と勾配

∂f/∂x	3.000
∂f/∂y	4.000
最大傾斜 \|∇f\|	5.000
最急方向	53.1°
この方向の傾き	3.000

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

実際の傾斜は測定値よりも急である 🖖

曲面 1.5x² + 2y² 上の点 (1, 1) に立ってみましょう。真東に歩くと地面は 3 上り、真北に歩くと 4 上ります。しかし、そのどちらもその点での最も急な傾きではありません。最も急な傾きは 53.1° の方向への 5 ですが、あなたはその方向には歩きませんでした。偏微分は一つの軸に沿った傾きに過ぎず、軸の向きは誰かが便宜上引いたものにすぎません。それらを組み合わせるのは足し算ではなくピタゴラスの定理です。そのため、最も急な傾きは √(f_x² + f_y²) となり、これがどちらの測定値よりも小さくなることは決してなく、一方がゼロでない限り必ず大きくなります。この差が最も開くのは二つの値が等しいときです。各軸に沿って 1 と測定された場合、実際の地面の傾きは 1.414 となり、これはどちらの測定値よりも 41% 大きな値です。

すべての方向を統べる一つのコサイン 🖖

ダイヤルを一周させ、傾きの表示を見てみましょう。表示されるのは余弦曲線 |∇f| cos(θ − θ_g) です。θ_g は傾きが最大になる方向を表します。滑らかな曲面の一点における振る舞いは、これだけで尽くされています。その帰結の一つが地図にも現れます。勾配がゼロでない地点では、最大傾斜方向から左右へ四分の一回転した二つの方向で、傾きがまったくなくなります。それが等高線に沿う方向です。だから、丘を最も急に登る道は等高線と直角に交わり、等高線図から地形をひと目で読み取れるのです。この余弦は、もっともらしい近道が通用しないことも示します。最大傾斜方向から45°ずれても、登る傾きは勾配全体の71%あり、半分にはなりません。丘を斜めに横切っても、見た目ほど楽にはならないのです。

両方向で平坦だからといって頂上とは限らない 🖖

頂上でも谷底でもないを押してください。x² − y² は原点で二つの偏導関数がともにゼロになりますが、極大でも極小でもありません。x軸に沿って見れば谷底、y軸に沿って見れば尾根の頂です。次に両軸方向とも水平を押します。曲面は xy です。ここでは両方の軸方向が厳密に水平で、断面パネルには0°でも90°でも水平な直線が描かれます。それでも原点は鞍点です。上昇と下降は、見落としやすい対角線方向に現れます。この違いを判定するのが判別式 f_xxf_yy − f_xy² です。最初の曲面では−4、次の曲面では−1になります。負なら鞍点、正なら極大か極小で、そのどちらかは f_xx の符号で決まります。x³ − 3xy² では判別式が0となり、この判定法では何も結論できません。この曲面では原点から三つの領域がせり上がり、三つが沈み込みますが、計算に現れる二階導関数ではその形を捉えられないのです。

全プロセスの詳細解説

東に3メートル、北に4メートル上昇する丘の勾配 6 ステップ
あなたは丘の斜面にいて、真東に 100 メートル進むと 3 メートル上り、真北に 100 メートル進むと 4 メートル上る場所にいます。丘の傾斜はどれくらいで、どちらの方向に下っているでしょうか。また、その半分の勾配で登るには、道路をどの方向に作ればよいでしょうか。
1. この二つの測定値が偏微分です。それらを 0.03 や 0.04 とするよりも、100 につき 3 および 4 とした方が読みやすく、本質は何も変わりません。
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. 最も急な傾きは勾配の長さであり、各成分の和でも、大きい方の値でもありません。3 と 4 から 5 が導かれ、歩く人が実際に感じるのはこの 5 の傾きです。
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. その方向は atan2(4, 3) であり、東から 53.1° の角度になります。下り坂はその正反対の 233.1° です。どちらの方向にも、実際の測定は行われていません。
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. 100 につき 2.5 の道路を作るには、恒等式を逆算します。最も急な方向から θ ずれた方向の傾きは 5 cos θ となるため、cos θ = 2.5/5 であり、θ = 60° になります。
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. 45 ではなく、60 です。45° の道路では依然として 100 につき 3.54 で登ることになり、これは最大の傾きの 71% であって、半分には遠く及びません。
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. 道のりの長さも、同じ余弦から求まります。一定の高さまで登るとき、勾配が半分なら、同じ傾きが続くかぎり必要な道のりは二倍です。山道のつづら折りは、この二倍という関係から生まれます。
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
解答

この丘は100 m進むごとに5 m高くなり、53.1°の方向へ登り、233.1°の方向へ下ります。100 mにつき2.5 mの傾きを保つ道路は、最大傾斜方向から60°ずれた方向に延ばす必要があり、道のりは二倍になります。前半はこのツールで答えられます。好きな方向に向ければ、その方向の傾きが表示されます。後半はその逆問題です。道路設計者が勾配を決めるときも、スロープのアクセシビリティ基準やスキーコースの難易度を定めるときも、実際に問われるのはこちらです。許される勾配が決まっているなら、どの方向へ進まなければならないのでしょうか。
傾きがゼロの方位と、それが平坦でいられる距離 6 ステップ
1.5x² + 2y² の点 (1, 1) で、パネルは方位 143.1° の傾きを 0.000 と表示します。その方向へ歩き続けたとき地面がどうなるかを求め、その方位が高さを保って進める方位かどうかを判断してください。
1. 最急方位 53.1° から 4 分の 1 回転した向きです。内積の二つの項は −2.4 と +2.4 になり、傾きのカードは 0.000 を示します。
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. 傾きがゼロというのは一階微分についての主張であり、それ以上のことは何も言っていません。同じ方位で二階微分を取りましょう。三つの二階偏微分から作られる二次形式で、中身には同じ余弦と正弦が入っています。
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. この曲面では f_xx が 3、f_yy が 4、混合偏微分が 0 ですから、平坦な方位に沿った二階微分は 3.36 になります。正ですから、地面は上向きに曲がっています。
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. したがってその直線に沿った高さは、いま立っている場所を最下点とする放物線です。0.5 単位進むと地面は 0.42 だけ、3.5 から 3.92 へと上がっており、断面のパネルはまさにその曲線を描いています。
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. これを等高線の性質に言い換えます。本当に高さを保つ曲線は、二階微分を勾配で割った量だけ接線から曲がって離れます。値は 0.672 で、半径にすると 1.488 です。
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. 等位集合の曲率を与える標準的な公式は、方位をどこにも含まないまま、偏微分だけから同じ数値を出します。二つの経路から一つの答え、そしてそれはちょうど 84/125 です。
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
解答

いいえ。その方位が平坦なのは一瞬だけで、そのあとは登りになります。 その方向へ 0.5 単位歩けば 0.42 だけ高くなっています。一階微分が 0 と予測していた場所でです。傾きがゼロになる二つの方位は等高線そのものではなく、等高線の接線です。高さを保つとは絶えず曲がり続けることであり、この点では半径 1.488 の円に沿うことを意味します。パネルが与えるのは接線であり、どこまでそれを信用してよいかを言うのが曲率です。

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

学習の道すじ

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

42Math チーム · 更新 2026-09-03

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

東へ3、北へ4 - 点(1, 1)では、地面は真東に3、真北に4の割合で上っています。東へ向かうと、傾きの表示は3になります。ここで最も急な傾きは5であり、その方向は53.1°ですが、どちらの測定もその方向を向いてはいませんでした。
等高線に沿う - 同じ点で勾配も同じく5ですが、今回は傾きの表示が0になります。143.1°の方向は等高線に沿っており、最も急な方向と直角に交わっています。
頂上でも谷底でもない - 二つの偏微分はどちらもゼロであり、この点は山頂でもくぼ地でもありません。判別式は−4です。進行方向が0°のとき断面は谷底になり、90°のとき同じ点が尾根の頂上になります。
両軸とも平坦 - 曲面 xy 上では両方の軸が完全に平らです。断面パネルは0°と90°の両方で水平な線を描きますが、判別式は−1であり、この点は依然として鞍点です。上りと下りは対角線上にあります。
判定できない場合 - ここではすべての二階導関数がゼロになるため、判別式も0となり、判定法からは何も得られません。この点から三つの領域がせり上がり、三つが沈み込みます。