6つの宝くじ、1つの公式
パワーボールの本抽選はドイツ6/49より当てやすい
69個から5個を当てるほうが、49個から6個を当てるより簡単です — 1/11,238,513 対 1/13,983,816。パワーボールの難しさの上乗せは、すべて2つ目のドラムから来ています。下の分解が示すのはそれです。ジャックポットとは本抽選にボーナスを掛けたもので、設計者はこの二つを天秤にかけています。
| 宝くじ | 抽選方式 | 本抽選 1/ | ボーナス倍率 | ジャックポット 1/ |
|---|---|---|---|---|
| 英国ロト | 6/59 | 45,057,474 | — | 45,057,474 |
| バイキングロト | 6/48 + 1/8 | 12,271,512 | ×8 | 98,172,096 |
| ドイツ・ロト 6/49 | 6/49 + 1/10 | 13,983,816 | ×10 | 139,838,160 |
| ユーロミリオンズ | 5/50 + 2/12 | 2,118,760 | ×66 | 139,838,160 |
| ユーロジャックポット | 5/50 + 2/12 | 2,118,760 | ×66 | 139,838,160 |
| 米国パワーボール | 5/69 + 1/26 | 11,238,513 | ×26 | 292,201,338 |
真ん中の2列を見比べてください。ユーロミリオンズは6つの中で本抽選が飛び抜けて易しく、1/2,118,760 — 英国ロトの20倍当てやすい — にもかかわらずジャックポットは最難関の部類に入ります。2つのラッキースターが総数を66倍にするからです。英国ロトはここで唯一2つ目のドラムを持たない宝くじで、だからこそジャックポットが最も手の届く位置にあります。そして6つのうち3つが 139,838,160 で桁までぴったり一致します。6/49 とユーロミリオンズは正反対の道からそこに至り、ユーロジャックポットは2022年以降ユーロミリオンズと同じ構造です。この一致は近似ではなく厳密で、C(49,6) は C(50,5) の6.6倍、66 は 10 の6.6倍です。表の数値はすべてツールと同じ C(n,k) から計算され、ジャックポットの列はビルド時に各ゲームの公表オッズと照合されます。
参考文献 (5)
- UK Lotto prize-tier odds — jackpot 1 in 45,057,474, five plus bonus 1 in 7,509,579: Lottery.co.uk, Lotto Odds
- Powerball 1 in 292,201,338: Multi-State Lottery Association, Powerball prizes and odds
- EuroMillions 5 of 50 plus 2 Lucky Stars of 12: EuroMillions, Odds of Winning
- That players really do avoid recently drawn numbers, measured on actual ticket sales: C. T. Clotfelter and P. J. Cook, "The ‘Gambler’s Fallacy’ in Lottery Play." Management Science 39(12), 1521–1525, 1993.
- Why a short run is expected to look like a long one, which is the error underneath it: A. Tversky and D. Kahneman, "Belief in the law of small numbers." Psychological Bulletin 76(2), 105–110, 1971.
全プロセスの詳細解説
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ドイツのロトにおける49個から6個の数字と10個から1個のSuperzahl 5 ステップ
ドイツ・ロト：49個から6つの数字を選び、さらに10個からSuperzahlを選ぶ。確率を計算し、次なる本質的な問いに答えよ——宝くじを購入する価値が生じるには、ジャックポットはどれほどの大きさでなければならないか？
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本数字の6個については順序を問わないため、これは組み合わせとなる。すなわち、順序を考慮した通り数を、同じ6個の数字が出現する 720 通りの並び順で割ったものである。
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Superzahl は別に抽選されるため、加算ではなく乗算となる。1400万近くある組み合わせの上に、10通りの独立した結果が掛け合わされる。
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期待回収率は運営側が払い戻す割合であり、€1.20 のくじ1枚あたり 28.6%（34 セント）となる。残りが損失である。
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したがって、くじ1枚の実質的な期待損失は毎回 €0.857 であり、どのような戦略もこの数値を動かすことはできない。誕生日を選ぶ、先週出た数字を避ける、共同購入するといった手法も、すべて期待値をまったく同じままにする。
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期待値がトントン（損益分岐）になるには、ジャックポットだけで不足分を埋める必要があり、それにはおよそ €135 million が必要となる。
解答
ツールには 1 in 139,838,160、還元率 28.6%、くじ1枚あたりの期待損失 €0.857 と表示される。オッズ以上に価値のある結論が2つある。第1に、損益分岐点となる約 €134.9M のジャックポットには達することもある——しかしその場合でも、当せん者が複数いると賞金が山分けされて減額する一方でオッズは変わらないため、有利な賭けとは言えない。第2に、毎週1枚のくじを買い続けた場合、ジャックポットに当たる確率が 50% に達するのは約 1.9 million 年後である。くじを買わせるのは賞金額という数字だが、成否を決めるのは 28.6% という数字であり、その数字はどのチケットにも印刷されていない。
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