宝くじの数学

パワーボールのジャックポット確率は2億9200万1338分の1です — 69個から5個を当て、さらに別のドラムにある26個から1個のパワーボールを当てる必要があり、C(69,5) × 26でちょうどこの数字になります。毎週1枚買うとすると、幾何分布によれば、ジャックポットを1回当てるまでに平均で約560万年かかる計算になります。枚数を増やしてもほとんど変わりません — 週10枚にしても待ち時間は56万年に短縮されるだけです。確率は枚数に比例して直線的に上がる一方、1枚あたりの期待値はずっとマイナスのままだからです。賞金プールは、チケット販売で集めたお金を完全に払い戻すことは決してありません。宝くじは悪い投資なのではなく、そもそも投資ではないのです。

このツールは本質的に「数える」だけです。有効な券は1枚が1つの組み合わせに対応し、どれも等確率なので、1枚の当選確率はちょうど1をその総数で割った値になります。順序は関係ないため、数えるのは順列ではなく組み合わせです。そしてこの数は爆発的に増えます。抽選の玉をほんの数個増やすだけで、券の総数は何倍にもなります。当選をこれほど稀にしているのは、特定の「不運な」抽選ではなく、この増加そのものなのです。

1992年、数学者ステファン・マンデル率いるシンジケートは、米バージニア州の宝くじに狙いを定めました。可能な券は C(44,6) = 7,059,052 通りしかなく1枚1ドル、一方でジャックポットは繰り越しで約2,700万ドルまで膨らんでいました。賞金総額がすべての組み合わせを買う費用を上回ると、期待値はプラスに転じます。そこで彼らは全通りの購入を試み、期限内に約500万枚を印刷して当選しました。マンデルはこの力任せの組み合わせ購入で、宝くじに14回当選しています。