収益率配列のリスク

同じリターンを、違う順序で。何も取り崩さなければ、順序は結果を変えられません。生活費を取り崩し始めれば、順序がすべてを決めます。

計算例 — 収益率配列のリスク

最終資産（実際の順序）	$4,414,533
最終資産（逆順）	$9,790,543
年平均リターン	10.31%
年平均成長率（複利）	9.67%

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平均リターンは、あなたのお金が増える率ではありません 🖖

リターン系列の算術平均は、1セントも取り崩さないうちから、あなたのお金が実際に増える率とは違います。50%上げて50%下げれば平均は0%ですが、1ドルは75セントになっています。複利の率はつねに算術平均以下で、その差は分散の半分に近い値です。1966年からの期間を60/40で見ると、平均は10.31%に対して複利は9.67%、差は0.63ポイントで、分散の半分は0.69です。この目減りは取り崩しがまったくなくても生じます。だからこそ、資料に載る平均リターンは計画に使う数字としては誤りなのです。収益率配列のリスクは、その上にもう1つ、さらに大きなペナルティを重ねます。

同じ取り崩しルールが30年持つこともあれば6年で終わることもある 🖖

開始年を1982年に設定し、取り崩し率を12%にすると、資産は30年後も維持されます。ほかの設定を変えずに開始年を1929年に変更すると、資産は1934年に枯渇します。同じ期間、同じ60/40の配分、同じ3%の引き上げ率、同じルールであり、唯一の違いはどの年が最初に訪れたかです。記録上のあらゆる30年開始期間を調べると、資産が持ちこたえる最大の取り崩し率は1929年開始の3.44%から1982年開始の12.10%まで、3.5倍もの開きがあります。有名な「4%ルール」は市場の固有の性質ではありません。たまたまこの記録に含まれる最悪の開始年に合わせて調整された数値にすぎず、だからこそそれ以外のすべての開始年においては誤りとなるのです。

生き残ることと無事であることは別の問題である 🖖

1928年に開始して4%を取り崩すと、パネルは『資産は期間を通じて持ちこたえた』と報告します — 100万ドルのうち残ったのは$240,302です。その時点で取り崩し額は29年間にわたって3%ずつ増額されており、最後の取り崩し額は $40,000 × 1.03²⁹ = $94,263 でした。これは、終了したばかりの計画の末期において、わずか2年半分の生活費にすぎません。まったく同じルールのもとで1982年に退職した人は、最終的に$14,116,071で終えます。表示が両者を同じ結果と呼ぶのは、定義できる失敗が破産しかないからであり、破産の2年前で着地することは、初期資産の14倍で終えることと同じ結果ではありません。

全プロセスの詳細解説

引き出しなしでの1966年から1995年にわたる60/40ブレンドの$1,000,000 5 ステップ
30年間の収益率の順序が最終資産額を変化させないことを示し、それにもかかわらず内部の変動がもたらすコストを測定せよ。 これは引き出しなしのケースである。$1,000,000を60/40の資産配分で1966年から1995年までにわたり運用し、取り崩しはなく、パネルにはそれらの年の算術平均として10.31%が表示されている。
1. 各年において、資産額に 1 + r を掛け合わせるだけであり、それ以外の操作はない。それを30回繰り返せば、リタイアメント期間全体は一連のプロセスではなく、単一の積となる。
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k})$
2. 乗法には交換法則が成り立つため、リストの順序を反転させても同じ30個の因子が異なる順序で並ぶだけであり、それらの積が変わることはない。チャート上の両方の曲線は何度も交差を繰り返すが、最終的にはまったく同じ点に到達し、ツール側にそれ以外の結果を生む余地はない。
  
  $k = 1 \prod n (1 + r_{k}) = k = 1 \prod n (1 + r_{n + 1 - k})$
3. これらの因子を掛け合わせる。この期間で資産額はおよそ16倍近くになる。
  
  $V_{30} = 1 0^{6} \times 15.95399 = 15953990$
4. 複利成長率はその積を再現する唯一の単一率であるため、30乗根をとる。これは収益率の平均ではなく、また平均であり得るものでもない。一方は積から構成され、他方は和から構成されているためである。
  
  $g = (15.95399)^{1/30} - 1 = 0.0967 = 9.67%$
5. ここで、パネルの表示通りの10.31%を毎年正確に獲得し、同じ平均を持ちつつ変動が一切ない資産額を想像してみよう。これを同じ30年間複利運用し、差額を引く。
  
  $1 0^{6} \times (1.1031)^{30} = 18986571 ⟹ 18986571 - 15953990 = 3032581$
解答

配列のどちらの端から計算しても$15,953,990となる。 代わりに一定の10.31%で運用された資産額は$18,986,571に達するため、収益率の変動によって単一の年の数値すら変更されることなく$3,032,581のコストが生じたことになる。これはポートフォリオの実際の最終額の19%に相当する。だからこそ9.67%が誠実な数値であり、10.31%はそうではない。一度もブレないことでしか得られない平均など、最初から手に入るものではなかったのだ。このペナルティはばらつきの二乗に比例するため、同じ平均の周囲で変動が二倍大きいポートフォリオは、それによっておよそ4倍の損失を被る。ここでは順序は無コストである。ボラティリティは決してそうではなかった。

$\overset{r}{ˉ} - g = 10.31% - 9.67% = 0.64%$
1929年から1958年にわたる60/40ブレンドの$1,000,000からの4%の引き出し 6 ステップ
同じ種類の配列であるが、今度は毎年$40,000が引き出される。対象期間の複利成長率は6.58%で、取り崩し率は4%であり、十分な余裕があるように思われる。これは1929年でのリタイアのケースである。$1,000,000を60/40の配分で1929年から1958年にかけて運用し、初年度の引き出し額を初期資産の4%とし、物価の上昇に伴い毎年3%ずつ増額する。
1. 引き出しルールが固定するのは金額であり、割合ではない。初期資産の4%は$40,000であり、それ以降の毎年はその同じ$40,000を年3%の複利で引き上げた金額を取り崩す。資産残高自体が再び引き出し額の計算に関与することはない。
  
  $V_{k} = V_{k - 1} (1 + r_{k}) - W_{k}, W_{k} = 40000 \times 1.0 3^{k - 1}$
2. 1929年のこの配分における収益率は-3.30%であった。まず成長（増減）させ、その後に差し引く。その年の生活費は、その年の市場が残した金額から引き出される。
  
  $V_{1} = 1 0^{6} (1 - 0.0330) - 40000 = 927000$
3. 漸化式を展開すると、積の項と和の項に分離される。積の項は貯蓄者のものであり、手を加えられない。和の項においては、各引き出し額にはその後に来る年の因子のみが掛け合わされる。1929年の引き出しにはその後の29個の因子がかかり、1958年の引き出しには因子がかからない。順序を反転させても積の項はそのままであるが、和の項はゼロから再構築される。
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k}) - k = 1 \sum n W_{k} j = k + 1 \prod n (1 + r_{j})$
4. データに手を加えなくても、積の項はすでに得られている。複利成長率はその30乗根として定義されているため、パネルの数値を再び累乗して元に戻せばよい。
  
  $k = 1 \prod 30 (1 + r_{k}) = (1.0658)^{30} \approx 6.767$
5. 両方の順序で和を計算する。因子も引き出し額も同一であり、変化したのはどの引き出し額の後ろにどの因子が位置するかだけである。順方向では、引き出しの合計の重みは196.47となる。逆方向では82.09となる。
  
  $S = k = 1 \sum 30 1.0 3^{k - 1} j = k + 1 \prod 30 (1 + r_{j}) ⟹ S_{\to} = 196.47, S_{\leftarrow} = 82.09$
6. この和は初年度の引き出し額に比例するため、最終資産額をゼロとおいてその引き出し額について解く作業は、探索ではなく単なる式の変形である。これにより、それぞれの順序が耐えうる最大の初年度引き出し額が算出される。
  
  $W_{1}^{*} = \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{196.47} = 34444 (3.44%), \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{82.09} = 82438 (8.24%)$
解答

順方向では資産は1950年に枯渇するが、逆方向ではまったく同じ30年間が$3,484,161で終了する。 損益分岐点となる初年度引き出し額は、一方の順序では$34,444、もう一方では$82,438となる。つまり3.44%に対して8.24%であり、順序の並び替えだけで2.39倍の差が生じる。この比率こそがリタイアメント計画が実際に依拠する数値であり、どちらの代表的な年率（平均7.63%および複利成長率6.58%）も順序を無視するように作られているため、これを提供することはできない。また、これは本問題の冒頭における直感を払拭するものでもある。4%を引き出しながら6.58%で成長させることは、2.58ポイントのマージンを意味しない。なぜなら4%が割合として機能するのは一度きりだからである。それ以降は、インフレ調整が付いた$40,000となる。五年目までにその引き出し額は$45,020へと増加しており、それが取り崩される時点の資産額は、順方向では$459,742であるのに対し、逆方向でのまったく同じ時点では$1,298,083となっている。同一のルールでありながら、一方の順序では9.79%の負担となり、もう一方では3.47%にとどまっているのだ。

$\frac{8.24%}{3.44%} = 2.39$

学習の道すじ

リスクを測る

この次にリバランス

参考文献 (4)

The withdrawal-rate question this tool is a demonstration of, tested against historical sequences rather than averages: P. L. Cooley, C. M. Hubbard and D. T. Walz, "Comparative Analysis of Retirement Portfolio Success Rates." Financial Services Review 12(2), 115–128, 2003.
Sequence-of-returns risk named and measured, which is the effect the two paths on this page differ by: A. Soni, "The Role of Annuities in Managing Sequence of Returns Risk Approaching and in Retirement." The Journal of Retirement 11(4), 26–39, 2023.
Ruin as the quantity of interest rather than a final balance — the reason this tool reports the year the pot is exhausted: D. Daraei and K. Sendova, "Determining Safe Withdrawal Rates for Post-Retirement via a Ruin-Theory Approach." Risks 12(4), 70, 2024.
And the standing objection to any single historical path, including the ones drawn here: M. E. Drew and A. Walk, "Just How Safe are ‘Safe Withdrawal Rates’ in Retirement?" Financial Planning Research Journal 1(1), 22–32, 2015.

42Math チーム · 更新 2026-08-19

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例題

1929年に退職 - 1929年の高値で始まる30年間の退職生活。60/40の配分で、初年度に初期資産の4%を取り崩し、その額を毎年3%ずつ引き上げます。
1966年に退職 - 1966年からの開始。本当の打撃はインフレでした。60/40の同じ配分と同じ取り崩しルールで、損失が早い時期に訪れる期間をたどります。
2000年に退職 - 2000年からの25年間。回復らしい回復が始まる前に、3年連続の下落年で幕を開けます。
取り崩しなし - 同じ1966年からの期間で、取り崩しを0にしたもの。どちらの順序も、まったく同じ値で終わらざるをえません。