囚人のジレンマとアクセルロッドのトーナメント

最後の列を見てください。「常に裏切り」は、1から200までのどのラウンド数でも8戦中6戦に勝利します。それでも、第7ラウンド以降は最下位に沈みます。対照的に「二度の裏切りに対するしっぺ返し」は、どのラウンド数でも8戦して1勝もできません。ところが、アクセルロッドが採用した200ラウンドを終えると、この戦略が首位に立ちます。「二度の裏切りに対するしっぺ返し」は、二度目の裏切りを待ってから報復するため、「常に裏切り」は5ポイントを2回奪い、その後は協力をやめた相手から1ポイントずつ回収しながら198ラウンドを過ごすことになります。計算すると 5 + 5 + 198 = 208 になり、対する相手は 0 + 0 + 198 = 198 となります。この直接対決では10ポイントの差をつけて勝利しますが、そんなことは問題ではありません。順位表が評価するのは合計得点であり、得失点差ではないからです。ここで「常に裏切り」が1ラウンドあたり1.04ポイントを稼いでいる間に、初手で協力する5つの戦略は、互いから1ラウンドあたり3ポイントを着実に蓄積していました。この構造と利得を1980年のトーナメントで定めたロバート・アクセルロッドは、その結論をひとつの助言として残しています。「嫉妬してはいけない」。あなたが戦っている相手は、目の前のプレイヤーではなく、このゲームそのものなのです。

ラウンド数のスライダーを1まで下げてみましょう。「常に裏切る」戦略がラウンドあたり4.000点を獲得してトップに立ち、協調から入る戦略はすべてその下に沈みます。2ラウンドにしても3.250点で依然としてトップ。3ラウンドでも2.833点でトップのままです。しかし4ラウンドになると3位に転落し、それ以降は二度と首位には戻れません。スライダーを200に戻すと、グラフ上の垂直な破線が、首位が初めて入れ替わったラウンドを指し示しているのがわかります。首位の交代は20ラウンド目以降にさらに11回起こり、48ラウンド目の最後の逆転を経て、そこからは「2回しっぺ返し」戦略が首位を維持します。0から10までの整数で適切なジレンマが成立する250通りの利得表をすべて検証してみると、そのうちの237通りで、自分から裏切らない戦略がトップに立ちます。たいていは4ラウンド目までに、遅くとも20ラウンド目までには逆転しますが、残りの13通りでは200ラウンドを費やしてもトップに立つことはありません。ゲームそのものは変わっていません。どのラウンドを見ても、支配的な手や均衡状態は同じです。4ラウンド目がもたらすのは、言わば請求書です。今の裏切りは後になって必ず代償を伴います。そして4ラウンドという長さは、その請求書が手元に届くのに十分な時間なのです。

ノイズがない状態では、全手番の62.2%で協調が選択されます。スライダーを2%に動かしてみましょう。100手につき2手の割合で戦略の意図とは逆の手が出てしまう設定です。すると、協調の割合は50.2%にまで落ち込みます。さらに進めてみます。4%で50.6%、10%で50.2%、20%で50.0%。エラー率を10倍にしても、これ以上協調が失われることはありません。2%のノイズが壊してしまったものは、二度と元には戻らないのです。「恨み屋」戦略は、この崩壊の残酷さを最も顕著に示しています。決して相手を許さないからです。200ラウンドのどこかで相手に一度でも裏切られると、その試合での協調関係は完全に断たれてしまい、結果として2位から5位に転落します。一方で、3回に1回は裏切りを許す「寛容なしっぺ返し」戦略が2位に浮上します。ノイズがない状態では3位にすぎませんでした。誰も許しを求めていない状況下では、その寛容さがかえって代償となってしまうからです。