捕食者-被食者ダイナミクス

α = 1.1、β = 0.4、δ = 0.1、γ = 0.4 のロトカ・ヴォルテラモデル。平衡点を求め、長期平均がこれに厳密に一致することを証明し、パネルの測定平均値が一致しない理由を説明せよ。

1. 2つの連立方程式であり、各項は遭遇率、あるいは出生・死亡率を表している。積 xy が唯一の非線形項であり、これは単に「両者がどれくらいの頻度で出会うか」を示している。

   $$\dot{x}=\alpha x-\beta xy,\dot{y}=\delta xy-\gamma y$$

2. 両方の導関数をゼロとおく。各方程式は他方の種の平衡点を決定するが、これこそが本体系が2つの独立した個体群のようには振る舞わないことを示す最初の兆候である。

   $$\dot{x}=0,\dot{y}=0⟹x^{\star }=\frac{\gamma }{\delta }=\frac{0.4}{0.1}=4.00,y^{\star }=\frac{\alpha }{\beta }=\frac{1.1}{0.4}=2.75$$

3. 次に、厳密な平均化の結果を示す。被食者の方程式を x で割り、1周期全体にわたって積分する。左辺は ln x の変化量であり、閉軌道上ではこれがゼロになる。

   $$\frac{\dot{x}}{x}=\alpha -\beta y⟹{\int }_0^T\frac{\dot{x}}{x}dt={\left[\ln x\right]}_0^T=0=\alpha T-\beta {\int }_0^{T}ydt$$

4. 式を整理すると時間平均が得られ、代数計算によって軌道の大きさに関する情報は一切残らない。1 から 40 まで変動する個体群も、ほとんど動かない個体群と同じ平均値を持つ。

   $$⟨y⟩=\frac{\alpha }{\beta }=y^{\star },⟨x⟩=\frac{\gamma }{\delta }=x^{\star }\text{exactly, for every amplitude}$$

5. 周期は固定点での線形化から得られる。ヤコビ行列の対角成分はゼロであり、非対角成分の積は負となるため、固有値は純虚数となる。したがって、周期振動は拡大も減衰もしない。

   $$J^{\star }=\left(\begin{array}{cc}0& -\beta x^{\star }\\ \delta y^{\star }& 0\end{array}\right)\Rightarrow \lambda =\pm i\sqrt{\alpha \gamma },T=\frac{2\pi }{\sqrt{\alpha \gamma }}=9.47$$

6. 最後に捕獲項である。これが α と γ を互いに反対方向へ変化させ、平均値は何も解くことなくステップ 4 から直ちに導かれる。

   $$\text{harvest both at }\epsilon :⟨x⟩=\frac{\gamma +\epsilon }{\delta }\uparrow ,⟨y⟩=\frac{\alpha -\epsilon }{\beta }\downarrow$$