個体数成長とカオス

人口動態は、収容力の制約を考慮したロジスティック微分方程式によって厳密に支配されます。離散時間モデルで再生産率パラメータ r が増加すると、システムは安定平衡から周期 2 倍分岐へと決定論的に移行し、最終的には数学的カオスに到達します。この非線形の挙動は、単純な決定論的ルールが、環境資源の制限によって厳密に制限された、複雑で予測不可能な長期的な個体群状態を必然的に生成する仕組みを示しています。

連続モデルでは、個体数がまだ半分のときに最も速く増えます。数が環境収容力 K に近づくにつれ、混雑によって一個体あたりの食料と空間が減るため、成長は鈍り、曲線はなめらかなS字へと平らになります。ポイントは、連続タブに切り替えて、最も速い成長が最初ではなく変曲点、ちょうど N = K/2 で起こることを確かめることです。

r = 4 のとき離散写像は完全にカオス的ですが、それでも厳密な閉じた形の解を持ちます。x = sin²(π θ) と置くと、各ステップは単に θ を2倍して小数部分を残すだけになります。2進数では2倍は桁を左へずらすだけなので、「予測不能」な軌道は実は初期値の各ビットを順に読み出しているにすぎません。ランダムに見えるのは、θ を確定するのに無限の精度が必要だからです。