地温：地下の季節

土壌の種類と深さを選んでください。地表面の温度は季節や昼夜のサイクルで変動します。このページでは熱伝導方程式の厳密解から、設置した温度計に届く温度変化の波を計算して表示します。比較のために、地表面自身の変動も薄く表示しています。

計算例 — 地温：地下の季節

年間の減衰深度（振幅が1/eになる深さ）	2.004 m
減衰深度を単位とした温度計の深さ	1.247
その深さにおける年間振幅の地表面に対する割合	28.73%
その深さにおける平均温度からの年間振幅	2.30 °C
年間の最高温度が到達する遅れ	72.5 日
季節が完全に逆転する深さ	6.30 m
地表面が最も暑い時に土壌が最も冷たくなる深さ	4.72 m
日間の減衰深度	0.1049 m

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レッスン

理論 — 地温：地下の季節

均一な地面の表面温度が周期 P のサイン波として変動するとき、深さ z における振幅は表面の e^−z/d となり、(z/d)·P/2π だけ遅れて到達します。ここで d = √(κP/π) は 減衰深度 であり、κ は地面の熱拡散率です。これら二つの効果は z/d という一つの数値によって定まります。z = πd では、波はちょうど半周期遅れます。

各記号の意味

d: 減衰深度 √(κP/π)。この深さで振幅が 1/e に減衰します。乾いた土の場合、年間変動では約 2 m、日間変動では約 10 cm になります。
z: 地表面からの深さ
P: 表面温度の変動周期。365.2422 日の1年、あるいは1日。
κ: 地面の熱拡散率（m²/s）

振幅の減少と到達の遅れは同一の数値で決まる 🖖

カールトン・ヒル、24仏フィート を押し、結果の三つの行に注目してください。減衰深度を単位とした深さ z/d は 2.776 です。そこでの振幅は表面の e^−2.776 = 6.23% になります。そしてその最高温度は 2.776 × 58.13 = 161.4 日遅れて到達します。これは1年が 2π ラジアンであり、その1ラジアンが 365.2422/2π = 58.13 日に相当するからです。振幅の減少と遅れは同一の数値で表されるため、波が地下へ伝わって振幅が 1/e になるごとに、到達は 58.1 日遅れます。別の土壌を選ぶと d は変わりますが、58.1 日という時間は変わりません。フォーブスはエディンバラのカールトン・ヒルの岩に 3、6、12、24 フランス・フィートの深さで温度計を設置し、1860年にウィリアム・トムソンがその十三年間分の記録を解析しました。3 フィートから 24 フィートの間で、年間振幅の対数は 1 フランス・フィートにつき 0.1160 減少し、最高温度の到達は 0.1156 ラジアン遅れました。これが二つ目の表の太字の行です。理論上はこれら二つの数値は等しくなるはずであり、実際 0.3% の誤差で一致しています。地表面に近づくにつれて両者には 6.2% の差が出ますが、トムソンはこれを測定誤差ではなく地面そのものに起因すると考えました。岩も地表面も、理論が仮定するほど均一ではないからです。

乾いた土壌の深さ六メートルでは、最も温かい日が冬にやってくる 🖖

乾いた土、6.3 m を押してください。この深さはセンチメートルの単位まで πd に一致します。振幅は表面の e^−π = 4.32% まで減少し、182.7 日遅れて到達します。これは二時間の誤差でちょうど半年分にあたるため、下のパネルの二つの曲線は鏡合わせのようになり、地表面が最も冷え込むときにこの深さの土壌は最も温かくなります。ただしその変化は小さく、平均から上下に 0.35 °C 変動するにすぎません。地下室はここまでの深さには達しません。乾いた土、2.5 m を押してください。地下室の深さでは、夏が 72.5 日遅れて表面の 28.73% の振幅とともにやってきます。つまりピークは秋になります。真夏に土壌が最も冷たくなる深さも 6.30 m ではなく、πd の四分の三にあたる 4.72 m です。ここでは振幅がより大きく、遅れは一年の八分の三に留まります。どのような地面を選んでも、結果にはその深さが示されます。

地下半メートルで夜の冷え込みは消え、季節の変化は残る 🖖

深さ半メートル、日間時計 を押してください。乾いた土では、日間の振幅は 0.1049 m ごとに 1/e に減衰し、年間の振幅は 2.004 m ごとに減衰します。これは 19.11 倍の深さです。この比率は二つの周期の比の平方根である √365.2422 に等しくなります。ここで κ は相殺されるため、どの地面でもこの比率は同じになります。地下半メートルでは日間の振幅は表面の 0.85% になり 18.2 時間遅れてピークに達しますが、年間の振幅は依然として 77.92% を保ち、遅れはわずか 14.5 日です。そこに設置された温度計は昼夜の差をほとんど感知せず、季節の変化にはほぼ同調して動きます。ここでも 熱伝導方程式 の平方則が成り立ちます。すなわち、365 倍の長さの周期は √365 倍の深さまで到達するのです。

全プロセスの詳細解説

ケルヴィンの地球の年齢 3 ステップ
1862年、のちにケルヴィン卿となるウィリアム・トムソンは、地球の地殻を κ = 400 平方フィート/年の岩とみなし、現在の表面よりも 7,000 °F 高温な一つの固体として始まり、表面から冷え続けていると考えました。測定によると、地下へ 50 フィート下がるごとに温度は約 1 °F 上昇します。このとき、地球の年齢は何歳になりますか？まず トムソンの岩、1 m を押してください。この κ が年間の波にどのような影響を与えるかが表示されます。

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1. メートル法に換算すると、トムソンの κ は κ フィールドにある 1.178 mm²/s となり、その年間振幅が 1/e に減衰する深さは
  
  $κ = \frac{400 \times 0 . 304 8 ^{2} m ^{2}}{3 . 15569 \times 1 0 ^{7} s} = 1.178 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, d_{y} = \frac{400}{π} ft = 11.28 ft = 3.439 m$
2. 一様に高温な状態から始まり、時間 0 から表面を通して冷却される岩は、表面において温度勾配 G = ΔT/√(πκt) を持ちます。これがトムソンが記したフーリエの解です。これをトムソン自身が用いた °F、フィート、年の単位で t について解くと、
  
  $t = \frac{Δ T ^{2}}{π κ G ^{2}} = \frac{7 , 00 0 ^{2}}{π \times 400 \times ( 1/50 ) ^{2}} = \frac{49 , 000 , 000}{0 . 50265} = 97, 480, 000 years$
3. 答えは、唯一の測定値である温度勾配の二乗に反比例します。温度勾配が半分になれば地球の年齢は四倍になります。溶融岩石の温度に対するトムソンの高めの見積もりである 10,000 °F を用いると、
  
  $G = \frac{1}{100} : t = 4 \times 97.48 = 389.9 million years; Δ T = 10, 000^{\circ} F : t = 198.9 million years$
解答

約 97.5 百万年。 トムソンは 98,000,000 と記し、高温の岩について当時誰も知らなかった事実を考慮して、年齢を 20 から 400 百万年の間としました。現在定説となっている年齢は 4.54 十億年です。一般的な解説ではこの誤差を放射能のせいにしますが、それは誤りです。地球の放射性崩壊熱をこの計算に加えても、答えはほとんど変わりません。間違っていたのは、内部の物質が一切動かないという前提です。1895年にジョン・ペリーは、熱い岩が這うようにゆっくりとでも流動する内部は、熱伝導よりもはるかに速く熱を上方へ運べることを指摘しました。そうなると、地表面の温度勾配から地球が冷え続けてきた期間を推し量ることはほぼ不可能なのです。

$t \approx 97.5 \times 1 0^{6} years (Thomson: 98, 000, 000; accepted: 4.54 \times 1 0^{9})$

学習の道すじ

熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式

参考文献 (3)

Fourier's solution for a periodic surface temperature stated as a law, the retardation of the epoch in radians equal to the diminution of the logarithm of the amplitude, and tested on Forbes's thermometers at 3, 6, 12 and 24 French feet in the rock of Calton Hill (Table IV, thirteen years, 1842–1854: 0.1160 and 0.1156 per French foot from 3 to 24 feet), with k/c of 235.1, 260.5 and 690.7 square French feet a year for the three Edinburgh sites (§§11, 21, 35–38); and the age of the Earth from the cooling of a solid half-space, κ = 400 square feet a year and 1 °F per 50 feet, 98,000,000 years for 7,000 °F and limits of 20 and 400 million (§§6, 10–16): W. Thomson, "On the reduction of observations of underground temperature; with application to Professor Forbes' Edinburgh observations, and the continued Calton Hill series", Transactions of the Royal Society of Edinburgh 22 (1861), 405–427, doi:10.1017/S0080456800030702; and "On the secular cooling of the Earth", same journal, 23 (1862), 157–169, doi:10.1017/S0080456800018512. Both reprinted in his Mathematical and Physical Papers, vol. III (Cambridge University Press, 1890), Arts. XCIII and XCIV.
Kelvin's calculation re-run with modern values, and the case that radioactivity does not invalidate it (adding the Earth's radioactive heat barely changes the answer) while convection in the interior, argued by John Perry in 1895, does: P. England, P. Molnar and F. Richter, "John Perry's neglected critique of Kelvin's age for the Earth: A missed opportunity in geodynamics", GSA Today 17(1) (2007), 4–9.
The periodic solution and its damping, Example 5.7 (the coldest ground in high summer at three quarters of π damping depths); the thermal diffusivities of dry mineral soil, 4 × 10⁻⁷ m²/s, and granite, about 7.4 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the accepted age of the Earth, 4.54 billion years (Problem 5.45): J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. §5.6 and Example 5.7, pp. 233–235; Problem 5.45; Table A.2, p. 744.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。