熱交換器：並行流と向流

入口の温度と流量をそれぞれ二つと、熱交換器のサイズ U·A を設定してください。ここでは、同じ熱交換器の計算を二回行います。一回目は二つの水流を同じ方向に流し、もう一回は逆方向に流します。そして、壁に沿った両方の水流の温度を描き出します。

計算例 — 熱交換器：並行流と向流

高温流体の熱容量率	418.0 W/K
低温流体の熱容量率	418.0 W/K
移動単位数 (NTU)	2.000
熱容量比	1.0000
熱交換器が移動できる最大の熱量	29.26 kW
有効度（向流）	66.67%
有効度（並行流）	49.08%
移動した熱量（向流）	19.51 kW

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レッスン

理論 — 熱交換器：並行流と向流

熱交換器は、高温の流体から低温の流体へ、両者を混ぜ合わせることなく壁を通して熱を移動させます。各流体の熱容量率 C = ṁc_p は、1度あたりに運ぶ熱量を表します。熱交換器が移動できる最大の熱量は、二つのうち小さい方の熱容量率によって Q_max = C_min(T_h,in − T_c,in) と定まり、有効度 ε はその最大熱量のうち実際に移動させた割合です。熱交換器のサイズは、移動単位数 NTU = UA/C_min としてのみ計算に組み込まれます。

各記号の意味

C: 流体の熱容量率 ṁc_p (W/K)。0.1 kg/s の水は 418 W/K を運ぶ
NTU: 移動単位数 UA/C_min。熱容量率の小さい流体を基準にした熱交換器のサイズ
ε: 有効度。移動した熱量が C_min(T_h,in − T_c,in) に占める割合
Cr: 熱容量比 C_min/C_max。凝縮蒸気の場合の 0 から、等流量の場合の 1 までの値をとる

前提: 定常流れであり、周囲への熱損失がなく、壁全体にわたって総括伝熱係数Uが一定であること。これらが、温度効率とNTUの関係式が厳密に成り立つ条件です。両方の流れは液体の水であり、c_p = 4.18 kJ/(kg K)としています。これは10 °Cから90 °Cの間で測定値から0.6%以内、0 °Cから99 °Cの間で1%以内の誤差に収まります。c_pは熱容量率の計算に入ってくるため、そこでの誤差はNTUやキロワット数をほぼ同じ割合だけ変動させます。
成り立たない場合: 流れが沸騰し始めたり、途中で層流に変わったりする場合のように、Uが壁に沿って変化するとき。壁の途中で流れが相変化し、一部が加熱され一部が沸騰するようなとき。このとき熱容量率はもはや ṁc_p ではなくなるからです。また、シェル・アンド・チューブ式や直交流の熱交換器の場合です。これらは独自の温度効率の式を必要とし、一方の流れの温度がほとんど変わらない場合を除いて、同じNTUの向流よりも回収率が低くなります。

流量が等しくNTUが2のとき、並流熱交換器の大きさを4倍にしても回収率は1ポイントも上がらない 🖖

等流量を押してみてください。双方向とも水が0.1 kg/s、NTUは2です。ふたつの流れを同じ方向にすると、熱交換器は回収可能な熱の49.08%を回収し、逆方向に流すと66.67%になります。次に4倍の大きさを押します。向流の回収率は88.89%まで上昇します。一方、並流は50.00%に達し、これ以上どれほどサイズを大きくしても限界です。どちらの流れも同じ端から入り、45 °Cという同一の温度に向かって進みます。これは単純に両者を混ぜ合わせた場合に行き着く温度でもあります。この温度に近づくにつれて、壁を通して熱を移動させるための温度差が尽きてしまい、熱交換器の末端ではほとんど何も起きなくなります。流量が等しい場合、この上限はきっちり半分となります。向流では、入ってきた温水がまさに出て行こうとする冷水と出会い、入ってきた冷水はすでに放出すべき熱のほとんどを放出した温水と出会います。そのため、全長にわたって熱を移動させるための温度差が常に存在するのです。

向流では、低温水の出口温度が高温水の出口温度を上回ることがある 🖖

等流量 では、向流の出口温度は低温水が 56.67 °C、高温水が 33.33 °C です。低温で入ってきた水流が、高温で入ってきた水流よりも 23.33 度も高い温度で出ていくことになります。図では向流の2本の線が平行になっていますが、これは流量が等しい場合、壁を挟んだ温度差がどの地点でも同じ 23.33 度になるからです。並行流では決してこのようなことは起こりません。並行流の2本の線は、常に低温水を下にしながら 45 °C を挟んで互いに近づいていくため、どのサイズでも低温水の出口温度は高温水の出口温度より低く留まります（ここでは 45.64 °C に対して 44.36 °C）。高温水が2倍 を押しても、向流は依然として低温水を高温水より 11.33 度高くして送り出します。

片方の水流の温度がほとんど変化しない場合、どちらに流すかは問題ではなくなる 🖖

大規模な温水流を押してみてください。冷水0.1 kg/sに対して温水が5 kg/sとなり、熱容量は50倍、NTUは2です。温水の温度降下は1.5度未満であり、向流と並流はそれぞれ86.16%と85.29%を回収し、その差は0.87パーセントポイントです。この比率のまま熱交換器を大きくしていくと、両者の差は100%から並流の上限である98.04%までの距離に等しい1.96ポイントに向かって広がり、決してそれを超えることはありません。温度をまったく変えずに熱を放出する凝縮性蒸気が、この極限にあたります。この場合、どちらの配置でも回収率は正確に 1 − e^−NTU となり、NTUが2のときは86.47%です。流れる方向を無意味にするもうひとつの方法が、短い熱交換器です。NTUが0.2の場合、どちらの流れもそれほど変化せず、それぞれの回収率は16.67%と16.48%になります。流れる方向の選択が生きるのは、両方の流れの温度が大きく変化するときなのです。

全プロセスの詳細解説

回収率を 80% から 90% にするには、どれほど大きくする必要があるか？ 4 ステップ
等流量の向流熱交換器が 80% の熱を回収しています。 これを 90% 回収するためには、どれほど大きくする必要があるでしょうか。また、その大きくしたサイズで並行流熱交換器を作った場合、どれくらい回収できるでしょうか。

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1. 等流量では C_r = 1 となり、向流の有効度は NTU/(1 + NTU) です。これを NTU について解くと次のようになります。
  
  $ε = \frac{N T U}{1 + N T U} \Rightarrow N T U = \frac{ε}{1 - ε}$
2. 80% には NTU 4 が必要であり、90% には NTU 9 が必要です。
  
  $N T U_{80%} = \frac{0 . 80}{0 . 20} = 4 N T U_{90%} = \frac{0 . 90}{0 . 10} = 9$
3. NTU は UA/C_min であり、流量は変わっていないため、UA も同じ倍率で大きくなる必要があります。同じ壁の材質であれば、2.25 倍の面積になります。
  
  $\frac{( U A ) _{90%}}{( U A ) _{80%}} = \frac{9}{4} = 2.25$
4. 等流量、NTU 9 の並行流が回収する熱は (1 − e⁻¹⁸)/2 であり、次のように計算されます。
  
  $ε_{p a r} = \frac{1 - e ^{- 2 \times 9}}{2} = 0.49999999$
解答

2.25 倍の面積が必要であり、そのサイズでの並行流は 50.00% を回収します。 最後の 10 ポイントを上げるには、最初の 80 ポイントのときよりも多くの壁の面積が必要になります。等流量 を押し、U·A を 1,672 W/K に設定してから 3,762 に設定してみてください。向流の行は 80.00% から 90.00% になり、並行流の行は 49.98% から 50.00% になります。

$U A = 4 \times 418 = 1, 672 W/K \to 9 \times 418 = 3, 762 W/K$

参考文献 (3)

Both effectiveness formulas the page solves, and the balanced-counterflow result that the temperature difference is the same all along the wall: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge MA, 2024. §3.3, eqns (3.20) and (3.21); Example 3.2.
The specific heat of liquid water, 4.18 kJ/(kg K), and how far it moves between 10 and 90 °C: "Isobaric Properties for Water", in P. J. Linstrom and W. G. Mallard (eds.), NIST Chemistry WebBook, NIST Standard Reference Database Number 69. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg MD. Computed from W. Wagner and A. Pruss, the IAPWS-95 formulation.
Where the effectiveness–NTU method was first set out in full: W. M. Kays and A. L. London, Compact Heat Exchangers. McGraw-Hill, New York, 1955.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。