本記事は機械翻訳によるものであり、英語の原文が正本です。 原文を読む
このサイトにある4つのツールは、同じ方程式を実行している。そのパラメータには4つの名前がある。
コンデンサは1時定数で電源電圧の63.21%に達する。放射性試料は、自身の1時定数を経て36.79%が残る。これは偶然の一致ではない。まったく同じ引き算なのだ。
RC circuitツールを開く。10 kΩの抵抗器と100 µFのコンデンサにおいて、このツールは時定数 τ = RC = 1.00 s を示し、続いて3つの測定値を表示する。1τ後にはコンデンサは5 Vの電源電圧のうち3.161 Vを保持し、3τ後には4.751 V、5τ後には4.966 Vを保持する。ツール上ではこの値に ≈ 100% というラベルが付けられている。
次に、radioactive decayで炭素14を選択して開く。崩壊定数 λ = ln 2 / t½ = 0.693 / 5730 = 1.21 × 10⁻⁴ per year と表示され、5半減期後には試料の3.125%が残る。
これら2つのページは、同じ方程式を解いている。似通った方程式などではない。文字の名前を置き換えただけの、まったく同一の方程式である。
方程式と、その1つのパラメータ
どちらも以下の式の一例である。
dQ/dt = −kQ
「ある量の変化率は、その時点で存在する量に比例する。」コンデンサの充電も、電源電圧までの残りの差分についての同じ言明である。Qが何であるかを当てはめれば、1つの専門分野を選んだことになる。
- 電子工学。 Qは不足している電圧の差分。k = 1/RC。
- 放射能。 Qは未崩壊の原子核の数。k = λ。
- 化学。 Qは一次反応における反応物の濃度。kは反応速度定数。
- 生理学。 Qは神経膜を挟む電圧。k = 1/RmCm。これはホジキンとハクスリーが1952年に軸索をRC回路として記述した際に測定したものであり、彼らはこのアナロジーを文字通り真剣に受け止めたことも一因となってノーベル賞を受賞した。
4つの名前を持つ1つのパラメータであり、その逆数 1/k が時定数 τ である。上記のコンデンサでは τ = 1.00 s となる。炭素14では τ = t½ / ln 2 = 8,267 years である。その数値は崩壊のページには表示されないが、その逆数は表示されている。画面に表示された λ = 1.21 × 10⁻⁴ を逆数にすると 8,264 となり、ページの表示における丸めの範囲内で同じ値になる。
63%はどこから来るのか、そしてなぜ両方のページにあるのか
解の式に t = τ を代入すると、どの分野であっても指数はちょうど −1 になる。
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0.3679 Q₀
したがって、1時定数の後には元の量の36.79%が残る。RCのページにはその補数が表示される。充電中のコンデンサは空になるのではなく満たされていくからである。1 − e⁻¹ = 0.6321 であり、5 Vのうち 3.161 V という数値はここから来ている。電子工学の教科書で叩き込まれる63.2%と、物理学の教科書で叩き込まれる36.8%は、同じ数から同じ数を引いたものにすぎない。
5τ という慣習も同じ起源を持つ。e⁻⁵ = 0.0067 であるため、5時定数を経ると残るのは 0.67% となり、これは技術者が過渡現象は終了したと見なすのに十分なほどゼロに近く、RCツールは ≈ 100% と表示する。これは率直に選ばれた恣意的な閾値であり、4つの分野すべてにおいて同時に等しく恣意的である。
誰もが誤る換算
半減期は時定数ではない。ln 2 の倍率だけ、半減期のほうが短い。
t½ = τ · ln 2 = 0.693 τ
炭素14の半減期 5,730 years と時定数 8,267 years は、同じ物理現象を2つの異なる閾値で記述したものにすぎない。一方は半分が失われる時点を問い、他方は 1/e が残る時点を問うている。原子に関して変わるものは何もない。
実際上の帰結として、互いに会話を交わすことのない2つの職種の間に換算表ができることになる。技術者の言う「5時定数待てば整定する」は、7.2半減期に相当する。物理学者の言う「10半減期経てば消失する」は、6.9時定数である。どちらも同じ待ち時間を意味しているが、それぞれ異なる忍耐量を要求しているかのように聞こえる。
そして、この誤りは逆方向にも生じる。グラフから減衰曲線を読み取り、目に見えるカーブの屈曲部を半減期と呼んでしまうと、得られるのは τ であり、これは 44% 長すぎる。まさにこの理由から、exponential toolでは、設定した変化率 k の横に、倍加時間と半減期のための個別の行を設けている。t½ = ln 2 / k であるため、1つの減衰が2つの異なる数値として報告されることになり、データセットがどちらを与えるかは事実というより慣習の問題である。
なぜわざわざ注目するのか
この知識の転用には何のコストもかからず、双方向に機能するからである。
コンデンサの充電時間が電源電圧ではなくRCに依存すること（より大きな電池を用いても、同じ瞬間に同じ割合に達する）を知っていれば、放射性試料の半減期が最初にあった量に依存しない理由や、一次反応の半減期が濃度に依存しない理由もすでに知っていることになる。これは3つの事実ではなく1つの事実であり、放射性炭素年代測定をそもそも可能にしている事実そのものである。時計の進む速度が、試料にたまたまどれだけの炭素が含まれていたかによって影響を受けることはあり得ないのだ。
これは逆方向にも成り立つ。半減期をよく理解している人なら、過大容量のコンデンサが回路の応答を遅くする理由や、漏れのある膜を持つニューロンがより長い時間窓にわたって入力を統合し、その結果として発火の仕方が変わる理由についての直感をすでに持っている。参考文献にある1952年の論文は、この転用を十分に真剣に受け止め、実際に測定を行ったときに何が起きるかを示したものである。
どこでそれが成り立たなくなるのか
この同型性が成り立つのは、変化率が量に比例している間だけであり、その仮定は数学的な便宜ではなく、メカニズムに関する主張である。
Reaction kineticsはその前提が崩れる好例である。このツールでは反応次数を直接設定できるからだ。0次反応では、どれだけの量が存在していようと単位時間あたり一定の量が取り除かれるため、そのグラフは直線となり、言うべき時定数など存在しない。この変化に、時定数の概念は耐えられない。アルコールの体内消失がその典型例であり、これが「1時間に1杯」という経験則がそもそも成り立ち得る理由である。1時間あたり一定量が消失するため、最後の1杯が抜けるのには最初の1杯と同じだけの時間がかかる。これを一次反応にしてしまうと、この経験則は役に立たなくなる。最後の1杯がすべての中で最も抜けるのが遅くなってしまうからだ。
2次反応となると、またさらに異なる第3の形状をとる。上記の4つの姿のうち2つは構造上必然的に一次である（コンデンサと原子核にはそれ以外の選択肢がない）。そして残りの2つは、化学や生物学の条件が都合よく整ったときにのみ一次となる。この方程式を認識することに価値があるのは、まさにその認識が反証可能だからである。対数プロットが直線にならないなら、あなたはこの仲間にはおらず、上記の換算表全体が適用できなくなる。