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Quatre outils de ce site exécutent la même équation. Son paramètre porte quatre noms.
Un condensateur atteint 63,21 % de sa tension d'alimentation en une constante de temps. Un échantillon radioactif n'en conserve que 36,79 % après la sienne. Ce n'est pas une coïncidence : il s'agit de la même soustraction.
Ouvrez l'outil RC circuit. Avec une résistance de 10 kΩ et un condensateur de 100 µF, il indique une constante de temps τ = RC = 1,00 s, puis trois mesures : après une constante τ, le condensateur est à 3,161 V sur les 5 V de son alimentation ; après trois τ, il atteint 4,751 V ; et après cinq, il atteint 4,966 V, ce que l'outil qualifie de ≈ 100%.
Ouvrez maintenant radioactive decay avec le carbone 14. L'outil indique une constante de désintégration λ = ln 2 / t½ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ par an, et après cinq demi-vies, il reste 3,125 % de l'échantillon.
Ces deux pages résolvent la même équation. Pas une équation analogue : la même, avec les lettres renommées.
L'équation, et son unique paramètre
L'une et l'autre sont des cas particuliers de
dQ/dt = −kQ
« la vitesse à laquelle la quantité varie est proportionnelle à ce qu'il en reste. » La charge d'un condensateur traduit la même idée appliquée à l'écart restant jusqu'à la tension d'alimentation. Définissez ce que représente Q, et vous choisissez une discipline :
- Électronique. Q est la tension encore manquante. k = 1/RC.
- Radioactivité. Q est le nombre de noyaux non désintégrés. k = λ.
- Chimie. Q est la concentration d'un réactif dans une réaction du premier ordre. k est la constante de vitesse.
- Physiologie. Q est la tension à travers une membrane nerveuse. k = 1/RmCm, ce que Hodgkin et Huxley ont mesuré en 1952 lorsqu'ils ont décrit l'axone comme un circuit RC, obtenant en partie le prix Nobel pour avoir pris l'analogie au pied de la lettre.
Un seul paramètre sous quatre noms différents, et son inverse 1/k est la constante de temps τ. Pour le condensateur ci-dessus, τ = 1,00 s. Pour le carbone 14, τ = t½ / ln 2 = 8 267 ans. Ce nombre n'apparaît pas sur la page consacrée à la désintégration, mais son inverse s'y trouve : la valeur affichée λ = 1,21 × 10⁻⁴ donne 8 264 par inversion, soit la même valeur à l'arrondi affiché par la page près.
D'où vient le 63 %, et pourquoi il figure sur les deux pages
En posant t = τ dans la solution, l'exposant devient exactement −1, quel que soit le domaine :
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0,3679 Q₀
Ainsi, après une constante de temps, il reste 36,79 % de la quantité initiale. La page sur le circuit RC affiche le complément, parce qu'un condensateur en cours de charge se remplit au lieu de se vider : 1 − e⁻¹ = 0,6321, d'où proviennent les 3,161 V sur 5 V. Les 63,2 % que vous martèle un manuel d'électronique et les 36,8 % que vous martèle un manuel de physique sont la même soustraction issue du même nombre.
La règle des 5τ a la même origine. e⁻⁵ = 0,0067, de sorte qu'après cinq constantes de temps, il ne reste que 0,67 %, ce qui est suffisamment proche de zéro pour que les ingénieurs considèrent le régime transitoire comme terminé et que l'outil RC affiche ≈ 100%. C'est un seuil arbitraire, choisi en toute franchise, et il est arbitraire dans chacun des quatre domaines à la fois.
La conversion sur laquelle tout le monde se trompe
La demi-vie n'est pas la constante de temps. Elle est plus courte, d'un facteur ln 2 :
t½ = τ · ln 2 = 0,693 τ
La demi-vie du carbone 14 de 5 730 ans et sa constante de temps de 8 267 ans décrivent la même réalité physique avec deux seuils différents : l'un cherche le moment où la moitié a disparu, l'autre le moment où il ne reste que 1/e. Rien ne change dans l'atome.
La conséquence pratique est une grille de correspondance entre deux corps de métier qui ne se parlent jamais. Le « attendez cinq constantes de temps et c'est stabilisé » de l'ingénieur correspond à 7,2 demi-vies. Le « dix demi-vies et il n'en reste plus rien » du physicien équivaut à 6,9 constantes de temps. Les deux désignent la même attente ; chacun évoque une dose de patience différente.
Et l'erreur fonctionne aussi dans l'autre sens. Lire une courbe de désintégration sur un graphique et appeler le coude visible la demi-vie donne en réalité τ, ce qui est trop long de 44 %. L'outil exponential tool affiche des lignes distinctes pour le temps de doublement et la demi-vie, à côté du taux k que vous définissez, précisément pour cette raison. Comme t½ = ln 2 / k, une même décroissance se traduit par deux nombres distincts, et celui que fournit un jeu de données relève d'une convention plutôt que d'un fait.
Pourquoi y prêter attention
Parce que le transfert ne coûte rien, et qu'il fonctionne dans les deux sens.
Si vous savez que le temps de charge d'un condensateur dépend de RC et non de la tension d'alimentation — une batterie plus puissante atteint la même fraction au même instant —, vous savez déjà pourquoi la demi-vie d'un échantillon radioactif ne dépend pas de sa quantité initiale, et pourquoi le temps de demi-réaction d'une réaction du premier ordre ne dépend pas de la concentration. Il s'agit d'un seul et même fait, et non de trois, et c'est ce fait qui rend la datation au carbone 14 tout simplement possible : le rythme de l'horloge ne peut pas être influencé par la quantité de carbone que l'échantillon se trouve contenir.
Cela fonctionne aussi dans l'autre sens. Quiconque est à l'aise avec les demi-vies comprend déjà intuitivement pourquoi un condensateur surdimensionné ralentit la réponse d'un circuit, et pourquoi un neurone dont la membrane fuit intègre ses signaux d'entrée sur une fenêtre temporelle plus large et décharge donc différemment. L'article de 1952 cité en référence montre ce qui se passe quand on prend ce transfert suffisamment au sérieux pour le mesurer.
Là où cela cesse d'être vrai
L'isomorphisme ne tient que tant que la vitesse est proportionnelle à la quantité, et cette hypothèse est une affirmation sur le mécanisme, non une commodité mathématique.
Reaction kinetics est l'endroit idéal pour le mettre en défaut, car l'outil vous permet de définir directement l'ordre de réaction. Une réaction d'ordre zéro élimine une quantité fixe par unité de temps, quelle que soit la quantité présente ; son tracé est donc une droite et elle ne possède aucune constante de temps digne de ce nom. Le concept ne survit pas à ce changement. L'élimination de l'alcool en est l'exemple classique, et c'est la raison pour laquelle la règle empirique du « un verre par heure » peut exister : une quantité fixe est éliminée chaque heure, de sorte que le dernier verre met autant de temps à disparaître que le premier. Rendez la réaction d'ordre un, et la règle devient inutile, car le tout dernier verre serait alors le plus lent de tous à s'évacuer.
Le second ordre présente encore une troisième forme. Deux des quatre costumes ci-dessus sont du premier ordre par construction — un condensateur et un noyau n'ont pas le choix — et deux ne sont du premier ordre que lorsque la chimie ou la biologie le veut bien. Cette équation mérite d'être reconnue précisément parce que cette reconnaissance est réfutable : si le tracé semi-logarithmique n'est pas une droite, vous n'appartenez pas à cette famille, et toute la grille de correspondance ci-dessus ne s'applique pas.