Dies ist eine maschinelle Übersetzung; die englische Fassung ist das Original. Original lesen
Vier Werkzeuge auf dieser Website lösen dieselbe Gleichung. Ihr Parameter hat vier Namen.
Ein Kondensator erreicht nach einer Zeitkonstante 63,21 % seiner Versorgungsspannung. Eine radioaktive Probe hat nach einer ihrer eigenen noch 36,79 % übrig. Das ist kein Zufall, es ist dieselbe Subtraktion.
Öffnen Sie das Werkzeug RC circuit. Bei einem Widerstand von 10 kΩ und einem Kondensator von 100 µF meldet es eine Zeitkonstante τ = RC = 1,00 s und anschließend drei Messwerte: Nach einem τ liegen am Kondensator 3,161 V seiner 5 V Versorgungsspannung an, nach drei τ sind es 4,751 V und nach fünf 4,966 V, was das Werkzeug als ≈ 100 % ausweist.
Öffnen Sie nun radioactive decay mit Kohlenstoff-14. Es gibt eine Zerfallskonstante λ = ln 2 / t½ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ pro Jahr an, und nach fünf Halbwertszeiten verbleiben noch 3,125 % der Probe.
Diese beiden Seiten lösen dieselbe Gleichung. Keine analoge Gleichung – dieselbe, nur mit umbenannten Buchstaben.
Die Gleichung und ihr einziger Parameter
Beide sind Ausprägungen von
dQ/dt = −kQ
„Die Rate, mit der sich die Größe ändert, ist proportional dazu, wie viel von ihr vorhanden ist.“ Das Laden eines Kondensators ist dieselbe Aussage über die noch verbleibende Differenz zur Versorgungsspannung. Man legt fest, was Q bedeutet, und hat damit ein Fachgebiet gewählt:
- Elektronik. Q ist die noch fehlende Spannung. k = 1/RC.
- Radioaktivität. Q ist die Anzahl der unzerfallenen Kerne. k = λ.
- Chemie. Q ist die Konzentration eines Reaktanten in einer Reaktion erster Ordnung. k ist die Geschwindigkeitskonstante.
- Physiologie. Q ist die Spannung an einer Nervenmembran. k = 1/RmCm – genau das maßen Hodgkin und Huxley im Jahr 1952, als sie das Axon als RC-Glied beschrieben und den Nobelpreis unter anderem dafür erhielten, dass sie die Analogie wörtlich nahmen.
Ein Parameter mit vier Namen, und sein Kehrwert 1/k ist die Zeitkonstante τ. Für den obigen Kondensator gilt τ = 1,00 s. Für Kohlenstoff-14 ist τ = t½ / ln 2 = 8.267 Jahre. Diese Zahl erscheint nicht auf der Zerfallsseite, wohl aber ihr Kehrwert: Das angezeigte λ = 1,21 × 10⁻⁴ ergibt invertiert 8.264 – derselbe Wert im Rahmen der Rundung, die die Seite zeigt.
Woher die 63 % kommen und warum sie auf beiden Seiten stehen
Setzt man t = τ in die Lösung ein, wird der Exponent exakt −1, ganz gleich in welchem Fachgebiet:
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0.3679 Q₀
Nach einer Zeitkonstante sind also noch 36,79 % des Ausgangswerts übrig. Die RC-Seite gibt das Komplement aus, da sich ein ladender Kondensator füllt statt leert: 1 − e⁻¹ = 0,6321 – daher rühren die 3,161 V von 5 V. Die 63,2 %, die einem das Elektronik-Lehrbuch einprägt, und die 36,8 %, die das Physik-Lehrbuch einprägt, sind dieselbe Subtraktion von derselben Zahl.
Die 5τ-Konvention hat denselben Ursprung. e⁻⁵ = 0,0067, nach fünf Zeitkonstanten bleiben also noch 0,67 % übrig – nahe genug an null, dass Ingenieure den Einschwingvorgang als abgeschlossen betrachten und das RC-Werkzeug ≈ 100 % anzeigt. Es ist ein willkürlicher, aber ehrlich gewählter Schwellenwert – und er ist in allen vier Fachgebieten zugleich willkürlich.
Die Umrechnung, die fast jeder falsch macht
Die Halbwertszeit ist nicht die Zeitkonstante. Sie ist kürzer, und zwar um den Faktor ln 2:
t½ = τ · ln 2 = 0.693 τ
Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 von 5.730 Jahren und seine Zeitkonstante von 8.267 Jahren beschreiben dieselbe Physik mit zwei verschiedenen Schwellenwerten: Der eine fragt, wann die Hälfte verschwunden ist, der andere, wann noch 1/e übrig ist. Am Atom ändert sich dabei nichts.
Die praktische Konsequenz ist eine Übersetzungstabelle zwischen zwei Berufsgruppen, die nie miteinander sprechen. Das „Warte fünf Zeitkonstanten, dann hat es sich eingependelt“ des Ingenieurs entspricht 7,2 Halbwertszeiten. Das „Zehn Halbwertszeiten, dann ist es weg“ des Physikers entspricht 6,9 Zeitkonstanten. Beide meinen dieselbe Wartezeit; doch jede klingt nach einem anderen Maß an Geduld.
Und der Fehler tritt auch in umgekehrter Richtung auf. Liest man eine Zerfallskurve aus einem Diagramm ab und bezeichnet den sichtbaren Knick als Halbwertszeit, erhält man in Wirklichkeit τ – was um 44 % zu lang ist. Das exponential tool führt genau aus diesem Grund getrennte Zeilen für die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit neben der eingestellten Rate k. Da t½ = ln 2 / k gilt, wird ein Zerfall mit zwei verschiedenen Zahlen beschrieben, und welche davon ein Datensatz angibt, ist reine Konvention statt einer Tatsache.
Warum es sich lohnt, das zu bemerken
Weil dieser Erkenntnistransfer kostenlos ist – und in beide Richtungen funktioniert.
Wer weiß, dass die Ladezeit eines Kondensators von RC abhängt und nicht von der Versorgungsspannung – eine größere Batterie erreicht denselben Bruchteil im selben Moment –, weiß bereits, warum die Halbwertszeit einer radioaktiven Probe nicht von der Ausgangsmenge abhängt und warum die Halbwertszeit einer Reaktion erster Ordnung nicht von der Konzentration abhängt. Das ist eine einzige Tatsache, nicht drei, und genau diese Tatsache macht die Radiokarbondatierung überhaupt erst möglich: Die Ganggeschwindigkeit dieser Uhr kann nicht davon beeinflusst werden, wie viel Kohlenstoff die Probe zufällig enthält.
Es funktioniert auch umgekehrt. Wer mit Halbwertszeiten vertraut ist, hat bereits die Intuition dafür, warum ein überdimensionierter Kondensator eine Schaltung träge reagieren lässt und warum ein Neuron mit einer Leckmembran seine Eingangssignale über ein längeres Zeitfenster integriert und deshalb anders feuert. Die Arbeit aus dem Jahr 1952 im Literaturverzeichnis zeigt, was passiert, wenn man einen solchen Transfer ernst genug nimmt, um ihn tatsächlich zu messen.
Wo die Gültigkeit endet
Der Isomorphismus gilt nur, solange die Rate proportional zur Menge ist – und diese Annahme ist eine Aussage über den Mechanismus, keine mathematische Bequemlichkeit.
Reaction kinetics ist der Ort, an dem man dies aufbrechen kann, da man dort die Reaktionsordnung direkt vorgeben kann. Eine Reaktion nullter Ordnung baut pro Zeiteinheit eine feste Menge ab, unabhängig davon, wie viel vorhanden ist; ihr Graph ist daher eine Gerade, und von einer Zeitkonstante kann keine Rede sein. Das Konzept überlebt diesen Wechsel nicht. Der Alkoholabbau ist das klassische Beispiel dafür und der Grund, warum die Faustregel „ein Getränk pro Stunde“ überhaupt existieren kann: Pro Stunde wird eine feste Menge abgebaut, sodass der Abbau des letzten Getränks genauso lange dauert wie der des ersten. Wäre der Vorgang erster Ordnung, wäre die Regel unbrauchbar, da das letzte Getränk von allen am langsamsten abgebaut würde.
Die zweite Ordnung bildet wiederum eine dritte Kurvenform. Zwei der vier obigen Verkleidungen sind prinzipbedingt von erster Ordnung – ein Kondensator und ein Atomkern haben keine andere Wahl –, und zwei sind es nur dann, wenn Chemie oder Biologie mitspielen. Die Gleichung lohnt es sich gerade deshalb wiederzuerkennen, weil diese Erkenntnis falsifizierbar ist: Ist die logarithmische Darstellung keine Gerade, befindet man sich nicht in dieser Familie, und die gesamte obige Übersetzungstabelle verliert ihre Gültigkeit.