Dies ist eine maschinelle Übersetzung; das englische Original ist maßgeblich. Original lesen
Vier Werkzeuge auf dieser Website arbeiten mit derselben Gleichung. Ihr Parameter hat vier Namen.
Ein Kondensator erreicht in einer Zeitkonstante 63,21 % seiner Versorgungsspannung. Bei einer radioaktiven Probe verbleiben nach einer eigenen Zeitkonstante noch 36,79 %. Das ist kein Zufall, es ist dieselbe Subtraktion.
Öffnen Sie das Werkzeug RC circuit. Mit einem 10-kΩ-Widerstand und einem 100-µF-Kondensator gibt es eine Zeitkonstante τ = RC = 1,00 s an und anschließend drei Messwerte: Nach einem τ hält der Kondensator 3,161 V seiner 5-V-Versorgungsspannung, nach drei τ hält er 4,751 V und nach fünf hält er 4,966 V — was das Werkzeug als ≈ 100 % ausweist.
Öffnen Sie nun radioactive decay mit Kohlenstoff-14. Es gibt eine Zerfallskonstante λ = ln 2 / t½ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ pro Jahr an, und nach fünf Halbwertszeiten verbleiben 3,125 % der Probe.
Diese beiden Seiten lösen dieselbe Gleichung. Keine analoge Gleichung — genau dieselbe, nur mit umbenannten Buchstaben.
Die Gleichung und ihr einziger Parameter
Beide sind Fälle von
dQ/dt = −kQ
„Die Rate, mit der sich die Größe ändert, ist proportional dazu, wie viel davon vorhanden ist.“ Ein sich aufladender Kondensator ist dieselbe Aussage über die verbleibende Differenz zur Versorgungsspannung. Legen Sie fest, was Q ist, und Sie haben ein Werkzeug gewählt:
- Elektronik. Q ist die noch fehlende Spannung. k = 1/RC.
- Radioaktivität. Q ist die Anzahl der unzerfallenen Kerne. k = λ.
- Chemie. Q ist die Konzentration eines Edukts bei einer Reaktion erster Ordnung. k ist die Geschwindigkeitskonstante.
- Physiologie. Q ist die Spannung über eine Nervenmembran. k = 1/RmCm, was Hodgkin und Huxley 1952 maßen, als sie das Axon als RC-Glied beschrieben und den Nobelpreis teilweise dafür erhielten, dass sie die Analogie wörtlich nahmen.
Ein Parameter mit vier Namen, und sein Kehrwert 1/k ist die Zeitkonstante τ. Für den obigen Kondensator ist τ = 1,00 s. Für Kohlenstoff-14 ist τ = t½ / ln 2 = 8.267 Jahre. Diese Zahl erscheint nicht auf der Zerfallsseite, wohl aber ihr Kehrwert: Das angezeigte λ = 1,21 × 10⁻⁴ ergibt umgekehrt 8.264, was im Rahmen der auf der Seite dargestellten Rundung demselben Wert entspricht.
Woher die 63 % kommen und warum sie auf beiden Seiten stehen
Setzt man t = τ in die Lösung ein, wird der Exponent unabhängig vom Fachgebiet genau −1:
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0,3679 Q₀
Nach einer Zeitkonstante sind also noch 36,79 % des ursprünglichen Werts vorhanden. Die RC-Seite gibt das Komplement aus, da sich ein aufladender Kondensator füllt statt leert: 1 − e⁻¹ = 0,6321, woraus sich 3,161 V von 5 V ergeben. Die 63,2 %, die einem ein Lehrbuch der Elektronik einprägt, und die 36,8 %, die einem ein Physiklehrbuch einprägt, sind dieselbe Subtraktion von derselben Zahl.
Die 5τ-Konvention hat denselben Ursprung. e⁻⁵ = 0,0067, nach fünf Zeitkonstanten verbleiben also noch 0,67 % — nahe genug an null, dass Ingenieure den Einschwingvorgang als beendet betrachten und das RC-Werkzeug ≈ 100 % anzeigt. Es ist ein willkürlicher, aber ehrlich gewählter Schwellenwert, und er ist in allen vier Fachgebieten gleichermaßen willkürlich.
Die Umrechnung, die alle falsch machen
Die Halbwertszeit ist nicht die Zeitkonstante. Sie ist kürzer, und zwar um den Faktor ln 2:
t½ = τ · ln 2 = 0,693 τ
Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 von 5.730 Jahren und seine Zeitkonstante von 8.267 Jahren beschreiben dieselbe Physik mit zwei verschiedenen Schwellenwerten — der eine fragt, wann die Hälfte zerfallen ist, der andere, wann 1/e übrig ist. Am Atom ändert sich dadurch nichts.
Die praktische Konsequenz ist eine Übersetzungstabelle zwischen zwei Fachbereichen, die nie miteinander sprechen. Das „Warten Sie fünf Zeitkonstanten, bis es sich eingependelt hat“ eines Ingenieurs entspricht 7,2 Halbwertszeiten. Das „Nach zehn Halbwertszeiten ist es weg“ eines Physikers entspricht 6,9 Zeitkonstanten. Beide meinen dieselbe Wartezeit; jedes klingt nach einem anderen Maß an Geduld.
Und der Fehler passiert auch umgekehrt. Liest man eine Zerfallskurve aus einem Diagramm ab und bezeichnet den sichtbaren Knick als Halbwertszeit, erhält man τ, was um 44 % zu lang ist. Das Werkzeug exponential tool gibt k und die Verdopplungs- oder Halbwertszeit genau aus diesem Grund nebeneinander aus: Die beiden Zahlen sind nie gleich, und welche davon ein Datensatz angibt, ist eine Konvention und keine Tatsache.
Warum es sich lohnt, das zu bemerken
Weil der Übertrag kostenlos ist und in beide Richtungen funktioniert.
Wenn Sie wissen, dass die Ladezeit eines Kondensators von RC und nicht von der Versorgungsspannung abhängt — eine größere Batterie erreicht denselben Anteil im selben Moment —, dann wissen Sie bereits, warum die Halbwertszeit einer radioaktiven Probe nicht von der Ausgangsmenge abhängt und warum die Halbwertszeit einer Reaktion erster Ordnung unabhängig von der Konzentration ist. Das ist ein einziger Fakt, nicht drei, und es ist genau die Tatsache, die die Radiokohlenstoffdatierung überhaupt erst möglich macht: Die Taktrate der Uhr kann nicht davon beeinflusst werden, wie viel Kohlenstoff die Probe zufällig enthält.
Es funktioniert auch umgekehrt. Wer mit Halbwertszeiten vertraut ist, besitzt bereits das Gespür dafür, warum ein zu großer Kondensator eine Schaltung träge reagieren lässt und warum ein Neuron mit leckender Membran seine Eingänge über ein längeres Fenster integriert und daher anders feuert. Die Arbeit von 1952 im Literaturverzeichnis zeigt, was passiert, wenn man diesen Übertrag ernst genug nimmt, um ihn zu messen.
Wo es aufhört, wahr zu sein
Die Isomorphie gilt nur, solange die Rate proportional zur Menge ist, und diese Annahme ist eine Aussage über den Mechanismus, keine mathematische Bequemlichkeit.
Reaction kinetics ist der Ort, um dies zu durchbrechen, da Sie hier die Ordnung direkt einstellen können. Eine Reaktion nullter Ordnung baut pro Zeiteinheit eine feste Menge ab, unabhängig davon, wie viel vorhanden ist. Ihr Graph ist daher eine gerade Linie und sie besitzt keine nennenswerte Zeitkonstante — das Konzept übersteht diese Änderung nicht. Der Alkoholabbau ist das klassische Beispiel, weshalb es die Faustregel „ein Drink pro Stunde“ überhaupt gibt: Wäre er erster Ordnung, hätte das Ausnüchtern eine Halbwertszeit und der letzte Drink bräuchte für den Abbau genauso lange wie der erste.
Zweite Ordnung ist wiederum eine dritte Form. Zwei der vier obigen Gewänder sind baubedingt erster Ordnung — ein Kondensator und ein Atomkern haben keine Wahl — und zwei sind nur dann erster Ordnung, wenn Chemie oder Biologie mitspielen. Es lohnt sich, die Gleichung wiederzuerkennen, eben weil dieses Wiedererkennen falsifizierbar ist: Ist die halblogarithmische Darstellung nicht geradlinig, befinden Sie sich nicht in dieser Familie, und die gesamte obige Übersetzungstabelle findet keine Anwendung.