Radioaktiver-Zerfall-Rechner

Gib Anfangsmenge und Halbwertszeit ein, um zu visualisieren, wie eine radioaktive Probe im Lauf der Zeit zerfällt.

Startwerte — Radioaktiver-Zerfall-Rechner

Halbwertszeit t½	5730
Anfangsatome N	0
Zeitspanne (Halbwertszeiten)	5
Log	off

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U-238 braucht 14 Schritte bis zum Blei 🖖

Reale Isotope zerfallen selten direkt zu einem stabilen Nuklid — U-238 durchläuft etwa 14 aufeinanderfolgende Zerfälle (über Thorium, Radium, Radon, Polonium und weitere), bevor es schließlich das stabile Pb-206 erreicht, mit Halbwertszeiten von Milliarden Jahren bis hinab zu Mikrosekunden. Ist ein Zwischenschritt viel kurzlebiger als sein Mutternuklid, erreicht die Reihe ein säkulares Gleichgewicht: Die Aktivität jedes Tochternuklids koppelt sich an die Zerfallsrate des Mutternuklids — deshalb beschreibt eine einzelne Exponentialfunktion wie die hier dargestellte den Rückgang des Mutternuklids weiterhin korrekt, obwohl die vollständige Reihe über ein Dutzend Schritte umfasst.

Zufällige Atome, vorhersehbare Mengen 🖖

Jeder instabile Kern zerfällt in einem Moment, den niemand vorhersagen kann — es gibt keinen inneren Countdown, nur eine feste Wahrscheinlichkeit pro Sekunde. Doch bei Billionen von Atomen mittelt sich dieser Zufall zur glatten Kurve, die du hier siehst. Die Halbwertszeit ist einfach die Zeit, in der eine Probe die Hälfte ihrer Atome verliert, sodass nach 3 Halbwertszeiten nur noch (1/2)³ = 1/8 übrig ist — unabhängig von der Ausgangsmenge.

Die 'Konstante', die nicht ganz konstant ist 🖖

Lehrbücher sagen, Zerfallsraten seien unabhängig von Temperatur, Druck und Chemie — und für Alpha- und Betazerfall stimmt das nahezu perfekt. Doch Isotope, die durch Elektroneneinfang zerfallen, wie Beryllium-7, borgen sich ein Elektron aus der eigenen Hülle, sodass ihre Rate von der Elektronendichte am Kern abhängt. Chemiker haben die Halbwertszeit von Be-7 (~53 Tage) um rund 1 % verschoben, allein durch Änderung der chemischen Verbindung oder durch Druck.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Kohlenstoff-14-Probe, die fünf Halbwertszeiten von 5730 Jahren ruht 5 Schritte
Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren; eine Probe lagert seit fünf davon. Bestimmen Sie, was übrig ist, und finden Sie heraus, wo diese glatte Exponentialfunktion aufhört, etwas Reales zu beschreiben.
1. Die Zerfallskonstante ist nicht die Halbwertszeit — sie ist die Wahrscheinlichkeit pro Jahr, dass ein einzelner Kern zerfällt, und die beiden hängen über ln 2 zusammen, da dies der Faktor ist, den eine Halbwertszeit entfernt.
  
  $λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}} = \frac{0.693147}{5730} = 1.21 \times 1 0^{- 4} y r^{- 1}$
2. Fünf Halbwertszeiten sind fünf Halbierungen. Der verbleibende Anteil ist eine Potenz von ein Halb, und die Exponentialform liefert dieselbe Zahl.
  
  $\frac{N}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{5} = 0.03125 = 3.125%$
3. Von tausend Kernen bleiben 31,25 übrig. Und da liegt das Problem: Ein Viertelkern existiert nicht, und die glatte Kurve hat stillschweigend aufgehört, eine Beschreibung der Probe zu sein.
  
  $N = 1000 \times 0.03125 = 31.25$
4. Was tatsächlich übrig bleibt, ist eine Zufallszahl mit einem Mittelwert nahe 31. Der Zerfall ist ein Poisson-Prozess, daher entspricht die Streuung der Quadratwurzel aus der Anzahl — etwa ±18 % bei einer Einzelmessung, und ohne mehr Probe lässt sich dies nicht durch Mittelwertbildung beseitigen.
  
  $σ = 31 = 5.6 ⟹ \pm 18% on a single count$
5. Die verstrichene Zeit beträgt fünf Halbwertszeiten oder 28.650 Jahre. Verdoppelt man das, bleibt nur noch ein Kern von tausend übrig. Weshalb die Radiokarbondatierung bei etwa fünfzigtausend Jahren an ihre Grenzen stößt — nicht weil sich die Physik ändert, sondern weil das Signal unter das Niveau fällt, das sich von Kontamination unterscheiden lässt.
  
  $t = 5 \times 5730 = 28650 yr; (\frac{1}{2})^{10} = 0.098% at 57300 yr$
Antwort

Das Werkzeug gibt λ = 1,21 × 10⁻⁴ pro Jahr, 3,125 % verbleibend, 31,25 Kerne und eine verstrichene Zeit von 28.650 Jahren aus. In den Schritten 3 und 4 wird aus einer physikalischen Antwort eine Laborantwort. Exponentieller Zerfall ist ein Mittelwert über eine Gesamtheit, und seine Genauigkeit ergibt sich daraus, dass diese Gesamtheit astronomisch groß ist — ein Gramm Kohlenstoff enthält etwa 5 × 10²² Atome, sodass die Fluktuationen unsichtbar sind. Wendet man dasselbe Gesetz auf einige zehn Kerne an, ist das Rauschen die Antwort; aus diesem Grund gibt ein Datierungslabor eine Unsicherheit in Jahren anstelle eines Datums an.

$N (t) = N_{0} e^{- λ t} : a smooth law over a countable population$

Lernpfad

Uhren im Gestein

Führt zu Radiometrische Datierung das Gesetz selbst und den Grund, warum du ihm vertrauen kannst: Kein Atom weiß, wann es zerfällt.

Quellen (2)

The decay rate that is not quite constant, in the third block: T. Ohtsuki, H. Yuki, M. Muto, J. Kasagi and K. Ohno, "Enhanced Electron-Capture Decay Rate of ⁷Be Encapsulated in C₆₀ Cages." Physical Review Letters 93(11), 112501, 2004.
The U-238 chain, its 14 steps and their half-lives: National Nuclear Data Center, Brookhaven National Laboratory — Evaluated Nuclear Structure Data File (ENSDF).

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Kohlenstoff-14 - Kohlenstoff-14: t½ = 5,730 Jahre. Wird zur Datierung organischer Materialien verwendet.
Iod-131 - Iod-131: t½ = 8.02 Tage. Ein gängiges medizinisches Isotop, das in der Schilddrüsenbehandlung eingesetzt wird.
Uran-238 - Uran-238: t½ = 4.47 Gyr. Extrem langlebig, wird zur Altersbestimmung der Erde verwendet.
Radium-226 - Radium-226: t½ = 1,600 Jahre. Entdeckt von Marie und Pierre Curie.