RC-Schaltkreis-Simulator

Sieh, wie ein Widerstand-Kondensator-Kreis mit der Zeitkonstante τ = RC exponentiell lädt und entlädt.

Startwerte — RC-Schaltkreis-Simulator

R (Ω)	10000
C (F)	0.0001
V₀ (V)	5

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

Interaktive Simulation wird geladen...

Die Speisespannung bestimmt die Höhe, nie das Timing 🖖

In τ = RC steckt kein V – das wird leicht überlesen. Halte R und C fest und ändere die Speisung von 5 V auf 12 V: Die Kurve wird höher und alle Spannungsanzeigen skalieren mit, aber die Zeit bis zu 63,2 % des Endwerts verschiebt sich nicht um eine Millisekunde. Bei der Lade-Voreinstellung – 10 kΩ mit 100 µF – ist τ = 1 s, bei jeder Speisespannung; die schnelle Voreinstellung schafft es in 0,01 s nur, weil sie R und C ändert, nicht weil 12 V kräftiger drücken. In Einheiten von τ gemessen hat die Exponentialkurve immer dieselbe Form: 63,2 % bei 1τ, 99,3 % bei 5τ. Die Speisespannung beschriftet lediglich die Achse.

Ein Kondensator ist ein Eimer an einem dünnen Hahn 🖖

Stell dir den Kondensator als kleines Reservoir vor und den Widerstand als dünnen Hahn, der es speist. Anfangs ist das Reservoir leer, sodass die Ladung hineinströmt und die Kurve steil ansteigt; mit zunehmender Füllung schrumpft die „Druckdifferenz", der Fluss lässt nach und die Kurve flacht ab. Die ganze Geschichte bestimmt eine einzige Zahl, τ = RC in Sekunden: Vergrößert man Widerstand oder Kondensator, verlangsamt sich alles proportional.

Auch deine Neuronen sind RC-Schaltungen 🖖

Genau dieselbe Gleichung läuft in deinem Kopf. Die Zellmembran eines Neurons speichert Ladung wie ein Kondensator, während Ionenkanäle sie wie ein Widerstand ableiten – das ergibt eine Membranzeitkonstante τ_m = R_m C_m von etwa 10–20 ms. Diese Zahl entscheidet, wie lange ein eintreffendes Signal nachklingt, bevor es verblasst – und damit, ob zwei kurz nacheinander eintreffende Reize sich genug summieren, um das Neuron feuern zu lassen. Das Gehirn rechnet buchstäblich mit RC-Ladekurven.

RC-GLIEDER — IN WELCHE RICHTUNG, UND WIE LANG IST EINE ZEITKONSTANTE?

In welchem RC-Fall bist du?

Nur zwei Dinge entscheiden die Antwort. Erstens die Richtung: Laden steigt zur Versorgungsspannung als V₀(1 − e^(−t/τ)), Entladen fällt von ihr weg als V₀e^(−t/τ). Zweitens die Zeitkonstante τ = RC, die einzige Uhr in der Schaltung. Änderst du R oder C, ändert sich an der Form nichts — nur, wie schnell dieselbe Kurve durchlaufen wird.

Laden — nach einer Zeitkonstante 63 % des Weges V = V₀(1 − e^−t/τ)

Entladen — dieselbe Kurve auf dem Kopf V = V₀e^−t/τ

Kleines τ — dieselbe Form, in Millisekunden durchlaufen τ = RC = 10 ms

Großes τ — wieder dieselbe Form, jetzt über Minuten τ = RC = 100 s

Laden — nach einer Zeitkonstante 63 % des Weges

Was du weißt: Der Kondensator startet leer und füllt sich zur Versorgungsspannung hin. V(t) = V₀(1 − e^(−t/τ)), nähert sich V₀ an, erreicht es aber nie ganz.

Verlauf: V = V₀(1 − e^−t/τ)

Rechenbeispiel: R = 10 kΩ mit C = 100 µF → τ = 1 s. Von 5 V: 3,161 V nach einem τ, 4,751 V nach drei, 4,966 V nach fünf.

Diesen Fall öffnen: Laden

Laden — nach einer Zeitkonstante 63 % des Weges. Die Kurve steigt zuerst schnell und flacht dann ab, bei genau einer Zeitkonstante durch 63 %. Der Kondensator startet leer und füllt sich zur Versorgungsspannung hin. V(t) = V₀(1 − e^(−t/τ)), nähert sich V₀ an, erreicht es aber nie ganz. — Die Kurve steigt zuerst schnell und flacht dann ab, bei genau einer Zeitkonstante durch 63 %.

Entladen — dieselbe Kurve auf dem Kopf

Was du weißt: Der Kondensator startet geladen und entleert sich über den Widerstand. V(t) = V₀e^(−t/τ), mit demselben τ wie beim Füllen.

Verlauf: V = V₀e^−t/τ

Rechenbeispiel: Dasselbe R und C von 5 V: 1,839 V nach einem τ, 0,249 V nach drei, 0,034 V nach fünf.

Diesen Fall öffnen: Entladen

Entladen — dieselbe Kurve auf dem Kopf. Von voll fällt die Spannung in einer Zeitkonstante auf 37 % und nähert sich weiter der Null. Der Kondensator startet geladen und entleert sich über den Widerstand. V(t) = V₀e^(−t/τ), mit demselben τ wie beim Füllen. — Von voll fällt die Spannung in einer Zeitkonstante auf 37 % und nähert sich weiter der Null.

Kleines τ — dieselbe Form, in Millisekunden durchlaufen

Was du weißt: Ein kleineres R oder C verkürzt die Zeitkonstante. Die Kurve ist identisch, nur die Zahlen auf der Zeitachse ändern sich.

Verlauf: τ = RC = 10 ms

Rechenbeispiel: R = 1 kΩ mit C = 10 µF → τ = 10 ms. Von 12 V steht der Kondensator nach 10 ms bei 7,585 V und nach 50 ms bei 11,919 V.

Diesen Fall öffnen: Schnelles RC

Kleines τ — dieselbe Form, in Millisekunden durchlaufen. Zehn Millisekunden je Zeitkonstante, aber die Kurve ist dieselbe wie beim Laden. Ein kleineres R oder C verkürzt die Zeitkonstante. Die Kurve ist identisch, nur die Zahlen auf der Zeitachse ändern sich. — Zehn Millisekunden je Zeitkonstante, aber die Kurve ist dieselbe wie beim Laden.

Großes τ — wieder dieselbe Form, jetzt über Minuten

Was du weißt: Ein größeres R oder C dehnt die Zeitkonstante. Zehntausendmal langsamer als der schnelle Fall und trotzdem exakt dieselbe Kurve.

Verlauf: τ = RC = 100 s

Rechenbeispiel: R = 100 kΩ mit C = 1 mF → τ = 100 s. Von 9 V erreicht der Kondensator nach 100 s 5,689 V und braucht rund 500 s, um als voll zu gelten.

Diesen Fall öffnen: Langsames RC

Großes τ — wieder dieselbe Form, jetzt über Minuten. Hundert Sekunden je Zeitkonstante: dieselbe Kurve, über die Achse gestreckt. Ein größeres R oder C dehnt die Zeitkonstante. Zehntausendmal langsamer als der schnelle Fall und trotzdem exakt dieselbe Kurve. — Hundert Sekunden je Zeitkonstante: dieselbe Kurve, über die Achse gestreckt.

Quellen (2)

RC time constants and the 63.2% / 99.3% landmarks: Horowitz, P. & Hill, W. The Art of Electronics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2015, §1.4. ISBN 978-0-521-80926-9.
The membrane time constant behind the neuron block: Hodgkin, A. L. & Huxley, A. F. (1952). "A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve." The Journal of Physiology 117(4), 500–544.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein 100 μF Kondensator, der sich über 10 kΩ von einer 5 V Quelle auflädt 5 Schritte
Ein 100-μF-Kondensator lädt sich über 10 kΩ an einer 5-V-Spannungsquelle auf. Bestimmen Sie, wann er die Zwei-Drittel-Marke überschreitet, bei der ein 555-Timer auslöst, und bestimmen Sie dann, wie viel Energie der Spannungsquelle der Widerstand bis dorthin in Wärme umwandelt. Dies ist Aufladen mit R = 10 kΩ, C = 100 μF und V₀ = 5 V.
1. Ein Ohm mal ein Farad ergibt eine Sekunde, was man besser einmal von Hand nachrechnet, anstatt es einfach hinzunehmen. Nichts sonst in dieser Schaltung hat die Einheit der Zeit, daher ist dieses Produkt die einzige verfügbare Uhr.
  
  $τ = R C = 1 0^{4} Ω \times 1 0^{- 4} F = 1.00 s$
2. Da der Exponent t/τ lautet, gehören die Anteile 0,632, 0,950 und 0,993 zu jedem jemals gebauten RC-Glied. Nur die Spannung, mit der sie multipliziert werden, und die Länge eines Zeitschritts bestimmen Sie selbst.
  
  $V (t) = V_{0} (1 - e^{- t / τ}) : V (τ) = 5 (1 - e^{- 1}) = 3.161 V, V (3 τ) = 4.751 V, V (5 τ) = 4.966 V$
3. Ein 555-Timer wartet nie auf "aufgeladen" — er vergleicht die Kondensatorspannung mit zwei Dritteln der Versorgungsspannung und löst im selben Augenblick aus. Invertieren Sie also das Ladegesetz für die Zeit bei einer gewählten Spannung. Eine Zeitkonstante reicht nicht aus: 3,161 V liegen noch unter der Schwelle von 3,333 V, und die zusätzlichen 0,099 s sind der Grund, warum der Auslösepunkt bei ln 3 und nicht bei 1 liegt.
  
  $t = - τ ln (1 - \frac{V}{V _{0}}); V = \frac{2}{3} V_{0} ⟹ t = τ ln 3 = 1.099 s$
4. Zählen Sie nun Ladung statt Volt. Jedes Coulomb, das auf dem Kondensator landet, hat die Versorgungsspannung mit den vollen 5 V verlassen, egal auf welchem Potenzial der Kondensator in diesem Moment gerade lag; die Versorgungsspannung liefert also QV₀. Der eigene Speicher des Kondensators beträgt die Hälfte davon, da seine Spannung während des Aufladens im Mittel V₀/2 betrug.
  
  $Q = C V_{0} = 5 \times 1 0^{- 4} C, W = Q V_{0} = C V_{0}^{2} = 2.5 mJ, E_{C} = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} = 1.25 mJ$
5. Die fehlende Hälfte muss irgendwohin geflossen sein, und es gibt nur ein weiteres Bauteil. Die Integration der Erwärmung des Widerstands über den gesamten Ladevorgang bestätigt diesen Wert — und achten Sie darauf, was mit R geschieht: Es teilt den Strom und multipliziert τ, sodass es sich vollständig herauskürzt.
  
  $E_{R} = \int_{0}^{\infty} i^{2} R d t = \frac{V _{0}^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{V _{0}^{2}}{R} \cdot \frac{τ}{2} = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} = 1.25 mJ$
Antwort

Das Werkzeug liefert τ = 1,00 s sowie 3,161 V, 4,751 V und 4,966 V bei einer, drei und fünf Zeitkonstanten. Schritt 5 ist der entscheidende Punkt. Halbiert man den Widerstand, lädt sich der Kondensator in einer halben Sekunde statt in einer auf und gibt exakt dieselben 1,25 mJ ab, da die Wärme allein durch C und V₀ bestimmt wird. Ein über einen Widerstand gespeister Kondensator hat daher unabhängig von seiner Auslegung stets einen Wirkungsgrad von 50 %, weshalb kein effizientes Ladegerät einen solchen verwendet: Eine Induktivität und ein Schalter bewegen dieselbe Ladung, ohne dass ein fester Spannungsabfall im Weg steht. Dieselben 50 % sind der Grund, warum das Aufladen einer großen Kondensatorbatterie über einen Widerstand zuerst ein thermisches und erst danach ein elektrisches Problem darstellt.

$E_{R} = E_{C} = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} \forall R > 0$

Lernpfad

Widerstand, dann Reaktanz

Führt zu first-order-step-response eine Zeit.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

Laden - Aufladen: τ=1s, V₀=5V
Entladen - Entladen ab 5V
Schnelles RC - Schnelles RC-Glied: τ=10ms
Langsames RC - Langsames RC-Glied: τ=100s