RLC-Resonanzanalysator

Lege R, L und C fest, um Resonanzfrequenz, Gütefaktor und Impedanzkurve zu sehen.

Startwerte — RLC-Resonanzanalysator

Widerstand R (Ω)	100
Induktivität L (H)	0.01
Kapazität C (F)	0.00000253

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

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Lektion

Die Theorie — RLC-Resonanzanalysator

Ein RLC-Reihenschaltkreis befindet sich bei genau der Frequenz in Resonanz, bei der der Blindwiderstand der Spule und der des Kondensators gleich groß und entgegengesetzt sind und sich daher exakt aufheben. Bei dieser Frequenz verhält sich die Schaltung so, als wäre nur der Widerstand vorhanden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

R: Widerstand in Ohm. Das einzige Element, das Energie verbraucht, und daher das einzige, was Q begrenzt.
L: Induktivität in Henry. Ihr Blindwiderstand X_L = 2πfL steigt mit der Frequenz.
C: Kapazität in Farad. Ihr Blindwiderstand X_C = 1/(2πfC) fällt mit der Frequenz — sodass sich die beiden Kurven in genau einem Punkt schneiden.
Q: der Gütefaktor — wie scharf die Resonanz ist. Er legt auch die Bandbreite fest, BW = f₀/Q.

Woher die Formel kommt

Resonanz ist per Definition die Frequenz, bei der die beiden Blindwiderstände übereinstimmen: X_L = X_C, das heißt 2πf₀L = 1/(2πf₀C).
Multipliziere beide Seiten mit 2πf₀C und dividiere durch L, woraus (2πf₀)² = 1/(LC) folgt.
Ziehe die Wurzel und dividiere durch 2π: f₀ = 1/(2π√(LC)). Beachte, was fehlt — R kommt überhaupt nicht vor; der Widerstand ändert also, wie scharf die Resonanzspitze ist, aber nie, wo sie liegt.

So liest du, was du siehst

Acht Zeilen, jeweils neben dem Ausdruck dargestellt, der sie erzeugt hat, damit die Rechnung nachgeprüft werden kann, anstatt darauf vertrauen zu müssen. Die ersten vier sind jene, die die Herleitung oben erreicht: Resonanzfrequenz f₀, Kreisfrequenz ω₀, Gütefaktor Q = (1/R)√(L/C) und Bandbreite BW = f₀/Q. Bei den Standardbauteilen — R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2.53 µF — lauten sie 1.00 kHz, 6287 rad/s, 0.6287 und 1.59 kHz. Die vier darunter beschreiben dieselbe Schaltung aus anderen Blickwinkeln: die beiden 3-dB-Frequenzen bei 483 Hz und 2.07 kHz, das Dämpfungsmaß ζ = 0.7953 und die minimale Reihenimpedanz — 100 Ω, also R selbst, denn in Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf und es bleibt nichts anderes übrig. Das Schaltbild gibt an, wo das Ausgangssignal abgegriffen wird: über R.

Setzt voraus: Ideale Bauteile im sinusförmigen eingeschwungenen Zustand — ein reiner Widerstand, eine reine Induktivität und eine reine Kapazität, die lange genug angesteuert wurden, sodass Ausgleichsvorgänge abgeklungen sind. Nichts hier beschreibt, wie sich der Schaltkreis in den ersten paar Perioden nach dem Einschalten verhält.
Versagt, wenn: Die Standardwerte zeigen kaum Resonanzverhalten, und die Messanzeige verdeutlicht dies, wenn man die beiden Frequenzen zusammen betrachtet: Q = 0.6287 ergibt eine Bandbreite von 1.59 kHz, was breiter ist als die 1,00-kHz-Mittenfrequenz selbst — es gibt keine Resonanzspitze, die diesen Namen verdient. Die Schärfe erfordert ein kleines R im Vergleich zu √(L/C). Reale Spulen besitzen zudem ihren eigenen Wicklungswiderstand, der sich zu R addiert und die Güte Q begrenzt, die jeder reale Aufbau erreichen kann.

Q zählt, wie oft die Energie hin- und herschwappt, bevor sie zu Wärme wird 🖖

Q ist ein allgemeines Maß für gespeicherte Energie geteilt durch die pro Zyklus verlorene Energie. In einem Serien-RLC-Kreis lässt ein niedriger Widerstand die Energie viele Male zwischen dem Magnetfeld der Spule und dem elektrischen Feld des Kondensators hin- und herpendeln, bevor sie zu Wärme wird. Dieselbe Idee findet sich in Atomuhren: Eine schmale Spektrallinie bedeutet ein enormes Q, sodass der Oszillator extrem kleine Frequenzabweichungen unterscheiden kann.

Was Resonanz wirklich bedeutet 🖖

Jedes Spulen-Kondensator-Paar besitzt eine Eigenfrequenz, f₀ = 1/(2π√(LC)), bei der Energie hin- und herschwappt wie ein Kind, das eine Schaukel antreibt. Treibt man die Schaltung bei f₀, heben sich die Blindwiderstände von L und C auf, und es bleibt nur der Widerstand — der Strom erreicht ein scharfes Maximum. Beachte: f₀ hängt allein von L und C ab; der Widerstandsregler schärft oder verbreitert die Spitze, verschiebt sie aber nie.

Spannung, die ihre Quelle übertrifft 🖖

Bei Resonanz "sieht" die Quelle nur den Widerstand, doch die Spannungen über Spule und Kondensator steigen jeweils auf das Q-fache der Eingangsspannung — und da sie 180° phasenverschoben sind, heben sie sich exakt auf. Treibt man eine Schaltung mit Q = 50 mit 10 V, liegen am Kondensator 500 V an. Diese Spannungsüberhöhung lässt Funkensender und Teslaspulen enorme Spannungen erreichen und kann einen nur für die Eingangsspannung ausgelegten Kondensator klammheimlich zerstören.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Die Standardwerte sind L = 10 mH und C = 2.53 µF und ergeben f₀ = 1.00 kHz und Q = 0.6287. Verdopple die Induktivität auf 0.02 und halbiere die Kapazität auf 1.265e-6. Sag vorher, was jeweils passiert.

Antwort anzeigen

f₀ bewegt sich nicht — weiterhin 1.00 kHz —, während sich Q auf 1.257 verdoppelt und die Bandbreite von 1.59 kHz auf 796 Hz halbiert. f₀ hängt vom Produkt LC ab, das du unverändert gelassen hast; Q = (1/R)√(L/C) hängt vom Verhältnis ab, das du vervierfacht hast. Ein Bauteilpaar, zwei unabhängige Stellschrauben: tausche L gegen C, um den Peak zu schärfen, ohne ihn zu verschieben, oder skaliere beide gemeinsam, um ihn zu verschieben, ohne seine Form zu ändern.
Setze die Bauteile zurück und senke den Widerstand von 100 auf 10. Sechs der acht Zeilen ändern sich. Welche zwei nicht?

Antwort anzeigen

f₀ und ω₀ — R kommt in f₀ = 1/(2π√(LC)) überhaupt nicht vor. Alles andere bewegt sich: Q von 0.6287 auf 6.287, die Bandbreite von 1.59 kHz auf 159 Hz, das Dämpfungsmaß von 0.7953 auf 0.07953, und die beiden 3-dB-Frequenzen rücken um den unbewegten Peak zusammen — 924 Hz und 1.08 kHz statt 483 Hz und 2.07 kHz. Die minimale Reihenimpedanz folgt R exakt, 100 auf 10.0, denn in Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf und nur der Widerstand bleibt.

Aufgabe vollständig gelöst

Resonanzfrequenz von 100 Ω, 10 mH, 2,53 µF in Reihe 6 Schritte
R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2,53 µF in Reihenschaltung. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz und die Güte Q — und erklären Sie dann, was eine Güte Q unter 1 für diese Schaltung tatsächlich bedeutet.
1. Die Blindwiderstände der Spule und des Kondensators haben entgegengesetzte Vorzeichen, sodass sie sich bei einer Frequenz exakt aufheben und die Impedanz rein ohmisch ist. Diese Frequenz bildet die Definition der Resonanz.
  
  $Z (ω) = R + j (ω L - \frac{1}{ω C}); ℑ Z = 0 ⟹ ω_{0} = \frac{1}{L C}$
2. Setzen Sie die Werte ein. Das Produkt LC beträgt 2,53 × 10⁻⁸, und von dessen Quadratwurzel hängt alles Weitere ab.
  
  $ω_{0} = \frac{1}{0.01 \times 2.53 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{1.5906 \times 1 0 ^{- 4}} = 6287 rad/s, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} = 1001 Hz$
3. Q vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand. Die praktische Form √(L/C)/R benötigt gar keine Frequenz, und ζ ist einfach die Hälfte ihres Kehrwerts.
  
  $Q = \frac{ω _{0} L}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{100} 3953 = 0.6287, ζ = \frac{1}{2 Q} = 0.7953$
4. Die Bandbreite ist die Mittenfrequenz dividiert durch Q, und die beiden −3-dB-Eckfrequenzen liegen nicht symmetrisch dazu — sie sind im Logarithmus symmetrisch, sodass ihr geometrisches Mittel f₀ ist.
  
  $BW = \frac{f _{0}}{Q} = 1592 Hz; f_{1, 2} = f_{0} (1 + \frac{1}{4 Q ^{2}} \mp \frac{1}{2 Q}) = 483 and 2074 Hz$
5. Betrachten Sie Q nun über die Energie statt über die Bandbreite. Die beiden Definitionen stimmen überein, und die energetische zeigt Ihnen, ob überhaupt etwas schwingt.
  
  $Q = 2 π \frac{energy stored}{energy lost per cycle} < 1 ⟹ it loses more each cycle than it holds$
6. Rechnen Sie schließlich von einer praktischen Anforderung rückwärts auf den Widerstand, den sie erfordert.
  
  $AM at 1 MHz, 9 kHz spacing : Q = \frac{f _{0}}{BW} = 111 ⟹ R = \frac{1}{Q} \frac{L}{C} = 0.57 Ω$
Antwort

Q = 0,63, was bedeutet, dass die Schaltung pro Periode mehr Energie verliert, als sie speichert. Das ist die physikalische Bedeutung der Güte Q: 2π-mal gespeicherte Energie geteilt durch die pro Periode verlorene Energie. Unterhalb von 1 bleibt nichts übrig, was schwingen könnte, und die Bandbreite von 1,59 kHz um eine Mittenfrequenz von 1,00 kHz drückt im Frequenzbereich dasselbe aus — der Durchlassbereich ist breiter als die Frequenz, um die er zentriert ist. Dies ist ein Filter, kein Resonator, und der Widerstand ist der Grund dafür. Behält man dieselben Werte für L und C sowie dieselbe Mittenfrequenz von 1 kHz bei, erfordert eine Güte von Q ≈ 111, wie sie die Trennung von AM-Sendern im 9-kHz-Abstand verlangt, eine Reduzierung des gesamten Reihenwiderstands auf 0,57 Ω — was weniger als der Widerstand des eigenen Spulendrahts ist. Das ist der eigentliche Grund, warum HF-Eingangsstufen abgestimmte Transformatoren anstelle einer Reihenschaltung aus Widerstand, Spule und Kondensator verwenden.

$f_{0} = 1.00 kHz, Q = 0.6287, BW = 1.59 kHz ⟹ a filter, not a resonator$

Lernpfad

Widerstand, dann Reaktanz

Quellen (1)

Series resonance, the quality factor and bandwidth as set out in a standard circuits text: J. W. Nilsson & S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-13

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

AM-Radio - Q = 31,62 klingt trennscharf, bis du auf die Bandbreite daneben schaust: 31,8 kHz auf einem Träger von 1,01 MHz. Amerikanische AM-Sender liegen 10 kHz auseinander, europäische 9 kHz. Diese Schaltung lässt also gleich drei benachbarte Sender auf einmal passieren. Ein einzelner abgestimmter Schwingkreis macht noch kein Radio. Aus diesem Grund mischen Empfänger das Signal auf eine feste Zwischenfrequenz herab und filtern erst dort richtig.
Audiofilter - Die Halbwertsfrequenzen betragen 483 Hz und 2,07 kHz. Dabei liegen die 1,00 kHz keineswegs in der Mitte, denn der Mittelpunkt ist 1.277 Hz. Es handelt sich um das geometrische Mittel: √(483 × 2.070) = 999,9, also exakt jene 1,00 kHz, die das Panel anzeigt. Eine Resonanzspitze sitzt im geometrischen Zentrum ihres eigenen Durchlassbereichs. Genau deshalb betrachtest du Filterantworten auf einer logarithmischen Achse. Die Oktave ist hier die natürliche Einheit, nicht das Hertz.
Hohes Q (scharf) - Schaltung mit hoher Güte: scharfe Resonanzspitze bei ~5 kHz
Überdämpft - Q = 0,01000 und das Dämpfungsmaß liegt bei 50,00. Die Schaltung ist damit fünfzigfach kritisch gedämpft. Die Bandbreite beläuft sich auf 159 kHz um ein Zentrum von 1,59 kHz. Der Durchlassbereich ist folglich hundertmal breiter als die Frequenz, auf die er nominell zentriert ist, und die untere Halbwertsfrequenz fällt auf 15,9 Hz. Hier resoniert absolut nichts. Der Widerstand R dominiert die Schaltung vollständig.