Sprungantwort erster Ordnung

Passe Verstärkung, Sprunghöhe und Zeitkonstante an und beobachte den exponentiellen Verlauf live

Rechenbeispiel — Sprungantwort erster Ordnung

Ausgang y(t)	0,6321
Beharrungswert	1,0000
Fortschritt zum Beharrungswert	63,21%
Verstrichene Zeit in Zeitkonstanten	1,000 τ
Anstiegszeit, 10% → 90%	2,197
Ausregelzeit, auf 2% genau	3,912
Deine Werte, eingesetzt	0,6321
Endwert K·A	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Sprungantwort erster Ordnung

Ein System erster Ordnung ist eines, dessen Änderungsrate proportional dazu ist, wie weit es noch zu gehen hat. Stößt du es mit einem plötzlichen konstanten Eingang an — einem Sprung —, springt es nicht mit: Es schließt die verbleibende Lücke mit stets gleichem Bruchteil pro Zeit und nähert sich exponentiell einem neuen Ruhewert. Die Zeitkonstante τ ist die Zeit, in der diese Lücke auf 1/e ihrer ursprünglichen Größe schrumpft.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

K: die Verstärkung: wie viel Ausgang das System pro Einheit Eingang am Ende liefert.
A: die Höhe des bei t = 0 aufgeschalteten Sprungs.
τ: die Zeitkonstante, in denselben Einheiten wie t. Sie ist hier das einzige Symbol, das die Zeitverhältnisse beeinflusst.
K·A: der Endwert, auf den sich der Ausgang einpendelt, wenn die Exponentialfunktion ausgelaufen ist.

Woher die Formel kommt

Beginne bei der physikalischen Voraussetzung statt bei der Formel. Ein System erster Ordnung ändert sich mit einer Rate proportional zum verbleibenden Abstand vom Ziel: Je weiter es noch hat, desto schneller bewegt es sich. Aufgeschrieben: dy/dt = (K·A − y)/τ, umgestellt τ·dy/dt + y = K·A.
Trenne die Variablen und integriere: dy/(K·A − y) = dt/τ liefert −ln(K·A − y) = t/τ + c.
Setze die Anfangsbedingung ein. Vor dem Sprung ruht das System, also y(0) = 0; das legt die Konstante fest und lässt K·A − y = K·A·e^(−t/τ) übrig. Diese Zeile allein gelesen: Die Lücke zerfällt exponentiell — und die Lücke, nicht der Ausgang, ist das Einfache daran.
Also y(t) = K·A(1 − e^(−t/τ)). Der noch offene Anteil ist e^(−t/τ) und hängt von t und τ nur über ihr Verhältnis ab. Diese eine Tatsache erzeugt die ganze Meilensteintabelle: Bei einem τ ist die Lücke 1/e, also sind 63,21% geschafft; bei drei τ 95,02%; bei fünf τ 99,33%. An diesen Zahlen kann weder die Verstärkung noch die Sprunghöhe etwas ändern.

So liest du, was du siehst

Die grüne Kurve ist y(t), die graue gestrichelte Linie der Endwert K·A, den sie nie ganz erreicht. Die senkrechten Gitterlinien markieren 1τ bis 5τ, sodass sich die Meilenstein-Prozentwerte direkt an der Kurve ablesen lassen. Die orange gestrichelte Linie macht Schritt 4 sichtbar: Sie verlässt den Ursprung mit der Anfangssteigung K·A/τ und trifft die graue Linie bei genau einer Zeitkonstante, mit einem Punkt auf dem Schnitt. Das blaue Band ist ±2% des Endwerts — die übliche technische Definition von „angekommen“ —, und die senkrechte Marke ist der Zeitpunkt aus dem Zeit-Feld. Die Tabelle darunter hebt jeweils die τ-Zeile hervor, auf der du gerade stehst.

Setzt voraus: Ein einziger Speicher, ein vor dem Sprung ruhendes System und ein augenblicklich anliegender Sprung. Vorausgesetzt wird außerdem Linearität: Verdoppelst du den Sprung, verdoppelt sich jeder Punkt der Kurve — genau deshalb liegen die Meilenstein-Prozentwerte fest. Sättigung wird nirgends modelliert; eine Verstärkung von 10 und ein Sprung von 10 sagen bereitwillig einen Ausgang von 100 voraus, den ein realer Aktor nicht liefern könnte.
Versagt, wenn: Eine Antwort erster Ordnung ist monoton — sie kann ihren Endwert nie überschwingen und nie schwingen. Wenn ein reales System also nachschwingt oder sein Ziel überschreitet, bevor es sich einpendelt, ist es nicht von erster Ordnung, und kein Wert von τ passt dazu. Dafür braucht es mindestens zwei Speicher, woraus das Verhalten zweiter Ordnung eines gedämpften Schwingers entsteht. Totzeit bricht es anders: Eine Transportverzögerung schiebt die gesamte Kurve nach rechts, ohne ihre Form zu ändern, und lässt sich deshalb ebenso wenig in τ hineinstecken.

Die Zeitkonstante gehört zum System; die Sprunggröße nicht 🖖

Änderst du das Eingangssignal, skaliert die gesamte Kurve, doch die Uhr bewegt sich nicht. Mit τ = 3 hat die Antwort nach drei Sekunden 63.21% ihres Weges zurückgelegt — und dort steht noch immer 63.21%, egal ob die Sprunggröße 1 oder 5 beträgt und ob die Verstärkung 1 oder 4 ist. Nur τ beeinflusst den Zeitablauf: Erhöhe den Wert auf 10, und dieselben drei Sekunden bringen nur 25.92%. Deshalb wird eine Zeitkonstante als Eigenschaft eines Motors, eines Thermometers oder eines RC-Glieds angegeben, ohne dass jemand erwähnen müsste, was damit gemacht wurde. Die Verstärkung und die Sprunggröße entscheiden darüber, wohin der Ausgang gelangt; τ allein entscheidet, wie lange es dauert, bis er dort ankommt.

Der erste Augenblick weiß schon, wo er enden wird 🖖

Die Antwort verlässt den Ursprung mit der Steigung K·A/τ. Verlängerst du diese Gerade — die gestrichelte orange Linie oben —, so schneidet sie den Endwert bei genau t = τ. Immer: bei jeder Verstärkung, jeder Sprunghöhe, jeder Zeitkonstante, und bei negativen Sprüngen ebenso. So liest du eine Zeitkonstante mit einem Lineal und ohne jede Rechnung von einer Oszilloskopspur ab: Lege die Tangente am Anfang an, suche den Schnittpunkt mit dem Endniveau, lies die Zeit ab. Die Kurve selbst ist in diesem Moment noch längst nicht fertig — sie hat 63,21% geschafft —, weil sie seit dem ersten Augenblick langsamer wird und die Tangente der einzige Teil der Bewegung ist, der nie langsamer wurde.

Ein Thermometer, ein Motor und ein Kondensator sind dieselbe Gleichung 🖖

Die Achsen auf dieser Seite tragen keine Einheiten, und das ist Absicht. τ·dy/dt + y = K·A beschreibt alles, was einen Ort zum Speichern und einen Weg zum Verlieren hat, und τ ist in jedem Fall die Größe des Speichers geteilt durch die Geschwindigkeit, mit der er sich leert. Bei einem Kondensator über einen Widerstand ist das R·C. Bei einem Thermometer in bewegter Luft die Wärmekapazität geteilt durch Wärmeübergangskoeffizient mal Fläche. Bei einem hochlaufenden Motor Trägheit geteilt durch Dämpfung. Bei einem gut durchmischten Behälter Volumen geteilt durch Durchfluss. Vier verschiedene Wissenschaften, eine Kurve, eine Zahl — deshalb kann die Regelungstechnik von einer „Verzögerung erster Ordnung“ sprechen, ohne je zu sagen, woraus das Ding besteht.

Aufgabe vollständig gelöst

Ausgang, der eine Zeitkonstante nach einem Sprungsignal 63,21% erreicht hat 5 Schritte
Ein System erster Ordnung befindet sich eine Zeitkonstante nach einer Sprungeingabe, und das Ausgangssignal hat 63,21% erreicht. Zeigen Sie, dass 63,21% — sowie die Anstiegszeit und die Ausregelzeit — überhaupt keine Eigenschaften dieses Systems sind.
1. Die bestimmende Gleichung besagt, dass das Ausgangssignal dem Eingangssignal mit einer Rate folgt, die proportional dazu ist, wie weit es hinterherhinkt. Die Lösung ergibt die exponentielle Annäherung, wobei die Verstärkung und die Sprunghöhe nur als vorgelagerter Multiplikator erscheinen.
  
  $τ \frac{d y}{d t} + y = K A, y (0) = 0 ⟹ y (t) = K A (1 - e^{- t / τ})$
2. Bei t = τ beträgt der erreichte Anteil also 1 − e⁻¹. Verstärkung und Sprung kürzen sich heraus: Die 63,21% sind eine Tatsache über e, nicht über dieses System.
  
  $t = τ : \frac{y}{K A} = 1 - e^{- 1} = 0.6321 = 63.21%$
3. Dieselbe Kürzung ergibt die Anstiegszeit. Invertiert man die Antwort für den Zeitpunkt bei einem beliebigen Anteil und subtrahiert dann die Zeiten für 10% und 90%, ist die Differenz τ ln 9, und ln 9 = 2,197 ist eine reine Zahl.
  
  $t_{p} = - τ ln (1 - p) : t_{r} = t_{90} - t_{10} = τ ln 9 = 2.197 τ$
4. Das Ausregeln auf innerhalb von 2% fragt danach, wann der verbleibende Exponentausdruck auf 0,02 fällt, was τ ln 50 = 3,912τ entspricht. Wieder keine Verstärkung, keine Sprunghöhe.
  
  $1 - e^{- t / τ} = 0.98 ⟹ t_{s} = τ ln 50 = 3.912 τ$
5. Was bedeutet, dass das Ganze auch rückwärts funktioniert. Misst man eine Anstiegszeit an realer Hardware, gilt τ = tᵣ/2,197 — ein einziger Stoppuhrwert charakterisiert die Dynamik vollständig.
  
  $2 τ : 86.47%, 3 τ : 95.02%, 5 τ : 99.33% τ = \frac{t _{r}}{2.197}$
Antwort

Das Werkzeug gibt 0,6321, 63,21%, eine Anstiegszeit von 2,197 und eine Ausregelzeit von 3,912 aus. Jeder dieser Werte ist τ multipliziert mit einer Konstanten, die aus e stammt, und keiner von ihnen hängt von der Verstärkung oder dem Sprung ab. Klicken Sie nacheinander auf die Voreinstellungen schnell und langsam, um die Aufteilung zu beobachten: Das Ausgangssignal, der stationäre Wert und die 63,21% bewegen sich überhaupt nicht, während sich jede Zeit auf dem Bedienfeld um exakt das Zehnfache vervielfacht — 2,197 wird zu 21,972 und 3,912 wird zu 39,120. Es gibt nur eine einzige Sprungantwort erster Ordnung auf der Welt, und τ entscheidet lediglich, wie schnell Sie sie beobachten. Zwei Zeitkonstanten erreichen 86,47%, drei erreichen 95,02%, fünf erreichen 99,33% — woher die Ingenieursregel "fünf Zeitkonstanten und es ist ausgeregelt" stammt.

$y = K A (1 - e^{- t / τ}) : 0.6321, ln 9, ln 50 are constants, not settings$

Lernpfad

Widerstand, dann Reaktanz

Führt zu RLC-Resonanz

Quellen (1)

The standard treatment of the first-order lag, including the rise and settling times this page reports and why they are pure multiples of τ: K. J. Åström & R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-21

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

schnelle Antwort - τ = 1, abgelesen bei t = 1 → 63.21% des Wegs zum Beharrungswert 1
langsame Antwort - τ = 10, abgelesen bei t = 10 → wieder 63.21%: zehnmal langsamer, gleicher Fortschritt, denn die Uhr läuft in Einheiten von τ
vier Zeitkonstanten - τ = 1, abgelesen bei t = 4 → 98,17%, was üblicherweise als „fertig“ gilt
doppelte Verstärkung - K = 2 verschiebt das Ziel auf 2, und t = 5 gegen τ = 3 erreicht 1.6222 — 81.11% des Wegs
negativer Sprung - ein Sprung von −1 drückt den Ausgang bei t = τ auf −0,6321 — dieselben 63,21% einer umgekehrten Reise