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Cuatro herramientas de este sitio ejecutan la misma ecuación. Su parámetro tiene cuatro nombres.
Un condensador alcanza el 63,21 % de su alimentación en una constante de tiempo. A una muestra radiactiva le queda el 36,79 % tras una de las suyas. No es una coincidencia: es la misma resta.
Abre la herramienta RC circuit. Con una resistencia de 10 kΩ y un condensador de 100 µF, indica una constante de tiempo τ = RC = 1,00 s, y a continuación tres lecturas: tras una τ el condensador tiene 3,161 V de su alimentación de 5 V, tras tres τ tiene 4,751 V y tras cinco tiene 4,966 V, que la herramienta etiqueta como ≈ 100%.
Ahora abre radioactive decay con carbono-14. Indica una constante de desintegración λ = ln 2 / t½ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ al año, y tras cinco periodos de semidesintegración queda el 3,125 % de la muestra.
Estas dos páginas están resolviendo la misma ecuación. No una ecuación análoga: la misma, con las letras renombradas.
La ecuación y su único parámetro
Ambas son casos de
dQ/dt = −kQ
«la velocidad a la que cambia la cantidad es proporcional a cuánto hay de ella». Un condensador que se carga es la misma afirmación aplicada a la diferencia que falta hasta la tensión de alimentación. Basta definir qué es Q para haber elegido disciplina:
- Electrónica. Q es la tensión que todavía falta. k = 1/RC.
- Radiactividad. Q es el número de núcleos sin desintegrar. k = λ.
- Química. Q es la concentración de un reactivo en una reacción de primer orden. k es la constante de velocidad.
- Fisiología. Q es la tensión a través de la membrana neuronal. k = 1/RmCm, que es lo que midieron Hodgkin y Huxley en 1952 cuando describieron el axón como un circuito RC y obtuvieron el Premio Nobel en parte por tomarse la analogía al pie de la letra.
Un solo parámetro con cuatro nombres, y su recíproco 1/k es la constante de tiempo τ. Para el condensador anterior, τ = 1,00 s. Para el carbono-14, τ = t½ / ln 2 = 8267 años. Ese número no aparece en la página de desintegración, pero sí su recíproco: el valor impreso λ = 1,21 × 10⁻⁴ da al invertirse 8264, el mismo valor dentro del redondeo que muestra la página.
De dónde sale el 63 % y por qué está en ambas páginas
Sustituye t = τ en la solución y el exponente pasa a ser exactamente −1, sea cual sea el campo:
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0,3679 Q₀
Así pues, tras una constante de tiempo queda el 36,79 % del valor original. La página de RC muestra el complementario, porque un condensador que se carga se está llenando en lugar de vaciarse: 1 − e⁻¹ = 0,6321, de donde proceden los 3,161 V de 5 V. El 63,2 % que te inculca un libro de texto de electrónica y el 36,8 % que te inculca uno de física son la misma resta aplicada al mismo número.
El convenio de 5τ tiene el mismo origen. e⁻⁵ = 0,0067, de modo que tras cinco constantes de tiempo queda un 0,67 %, lo bastante cerca de la nada como para que los ingenieros den por concluido el transitorio y la herramienta de RC imprima ≈ 100%. Es un umbral arbitrario, elegido con franqueza, y resulta arbitrario en los cuatro ámbitos a la vez.
La conversión en la que todo el mundo se equivoca
La semivida no es la constante de tiempo. Es más corta, por un factor de ln 2:
t½ = τ · ln 2 = 0,693 τ
El periodo de semidesintegración de 5730 años del carbono-14 y su constante de tiempo de 8267 años son la misma física descrita con dos umbrales distintos: uno pregunta cuándo ha desaparecido la mitad; el otro, cuándo queda 1/e. En el átomo no cambia absolutamente nada.
La consecuencia práctica es una tabla de correspondencias entre dos profesiones que nunca hablan entre sí. El «espera cinco constantes de tiempo y se habrá estabilizado» de un ingeniero equivale a 7,2 semividas. El «diez semividas y habrá desaparecido» de un físico equivale a 6,9 constantes de tiempo. Ambas afirmaciones significan la misma espera; cada una suena a una cantidad de paciencia distinta.
Y el error también se comete en sentido contrario. Leer una curva de desintegración en una gráfica y tomar el codo visible por la semivida da como resultado τ, que es un 44 % demasiado largo. La herramienta exponential tool mantiene filas separadas para el tiempo de duplicación y la semivida, junto a la tasa k que se configure, exactamente por esta razón. Puesto que t½ = ln 2 / k, una misma desintegración se describe con dos números distintos, y cuál de ellos proporciona un conjunto de datos responde a una convención antes que a un hecho.
Por qué merece la pena percatarse
Porque la extrapolación es directa y funciona en ambas direcciones.
Si sabes que el tiempo de carga de un condensador depende de RC y no de la tensión de alimentación —una batería mayor alcanza la misma fracción en el mismo instante—, entonces ya sabes por qué el periodo de semidesintegración de una muestra radiactiva no depende de la cantidad con la que empezaste, y por qué la semivida de una reacción de primer orden no depende de la concentración. Es un solo hecho, no tres, y es el hecho que hace posible la datación por radiocarbono: el ritmo del reloj no puede verse afectado por la cantidad de carbono que contenga la muestra.
Funciona también a la inversa. Quien domine las semividas ya cuenta con la intuición de por qué un condensador sobredimensionado hace que un circuito tarde en responder, y por qué una neurona con fugas en la membrana integra sus entradas a lo largo de una ventana temporal más amplia y, por tanto, dispara de forma distinta. El artículo de 1952 de las referencias es lo que sucede cuando alguien se toma esa correspondencia lo bastante en serio como para medirla.
Dónde deja de cumplirse
El isomorfismo solo se sostiene mientras la velocidad sea proporcional a la cantidad, y esa premisa es una afirmación sobre el mecanismo, no una mera comodidad matemática.
Reaction kinetics es el lugar idóneo para romperlo, porque permite definir el orden directamente. Una reacción de orden cero retira una cantidad fija por unidad de tiempo sin importar cuánta haya presente, de modo que su gráfica es una línea recta y carece por completo de constante de tiempo. El concepto no sobrevive al cambio. La eliminación del alcohol es el ejemplo clásico, y es la razón de que la regla empírica de «una copa por hora» tenga sentido: se elimina una cantidad fija por hora, así que la última copa tarda en eliminarse lo mismo que la primera. Si fuese de primer orden la regla sería inútil, pues la última copa sería la más lenta de todas en desaparecer.
El segundo orden presenta, a su vez, una tercera forma. Dos de las cuatro apariencias anteriores son de primer orden por definición —un condensador y un núcleo no tienen otra opción— y dos son de primer orden únicamente cuando la química o la biología colaboran. Vale la pena reconocer la ecuación precisamente porque esa identificación es falsable: si la gráfica logarítmica no es recta, no estás en esta familia y toda la tabla de correspondencias anterior deja de aplicarse.