Este texto es una traducción automática y la versión original está en inglés. Leer el original
Cuatro herramientas de este sitio ejecutan la misma ecuación. Su parámetro tiene cuatro nombres.
Un condensador alcanza el 63,21% de su tensión de alimentación en una constante de tiempo. A una muestra radiactiva le queda el 36,79% tras una constante propia. No es una coincidencia: es la misma resta.
Abre la herramienta RC circuit. Con una resistencia de 10 kΩ y un condensador de 100 µF, indica una constante de tiempo τ = RC = 1,00 s, y a continuación tres lecturas: tras una τ el condensador almacena 3,161 V de su alimentación de 5 V, tras tres τ almacena 4,751 V, y tras cinco almacena 4,966 V —que la herramienta etiqueta como ≈ 100%.
Abre ahora radioactive decay con carbono-14. Muestra una constante de desintegración λ = ln 2 / t½ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ por año, y tras cinco semividas, permanece el 3,125% de la muestra.
Estas dos páginas están resolviendo la misma ecuación. No una ecuación análoga: la misma, con las letras renombradas.
La ecuación y su único parámetro
Ambas son instancias de
dQ/dt = −kQ
«la velocidad a la que cambia la magnitud es proporcional a la cantidad que hay de ella». La carga de un condensador es la misma afirmación aplicada a la diferencia que falta hasta la tensión de alimentación. Defina qué es Q y habrá elegido una herramienta:
- Electrónica. Q es la tensión que aún falta. k = 1/RC.
- Radiactividad. Q es el número de núcleos sin desintegrar. k = λ.
- Química. Q es la concentración de un reactivo en una reacción de primer orden. k es la constante de velocidad.
- Fisiología. Q es la tensión a través de una membrana neuronal. k = 1/RmCm, que es lo que midieron Hodgkin y Huxley en 1952 cuando describieron el axón como un circuito RC y obtuvieron el Premio Nobel en parte por llevar la analogía al pie de la letra.
Un parámetro con cuatro nombres, y su recíproco 1/k es la constante de tiempo τ. Para el condensador anterior, τ = 1,00 s. Para el carbono-14, τ = t½ / ln 2 = 8.267 años. Ese número no aparece en la página de desintegración, pero su recíproco sí: la λ impresa = 1,21 × 10⁻⁴ se invierte a 8.264, el mismo valor considerando el redondeo que muestra la página.
De dónde sale el 63% y por qué está en ambas páginas
Sustituya t = τ en la solución y el exponente se convierte exactamente en −1, sea cual sea el dominio:
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0,3679 Q₀
Así pues, tras una constante de tiempo, queda el 36,79% del original. La página de RC muestra el complemento, porque un condensador en carga se está llenando en lugar de vaciarse: 1 − e⁻¹ = 0,6321, de donde proceden los 3,161 V de los 5 V. El 63,2% que machaca un libro de texto de electrónica y el 36,8% que machaca un libro de texto de física son la misma resta al mismo número.
La convención de 5τ tiene el mismo origen. e⁻⁵ = 0,0067, por lo que tras cinco constantes de tiempo queda un 0,67% —lo bastante cerca de nada como para que los ingenieros den por concluido el transitorio y la herramienta de RC muestre ≈ 100%. Es un umbral arbitrario, elegido con honestidad, y es arbitrario en los cuatro dominios a la vez.
La conversión en la que todo el mundo se equivoca
La semivida no es la constante de tiempo. Es más corta, por un factor de ln 2:
t½ = τ · ln 2 = 0,693 τ
La semivida de 5.730 años del carbono-14 y su constante de tiempo de 8.267 años son la misma física descrita con dos umbrales distintos: uno pregunta cuándo se ha ido la mitad y el otro cuándo queda 1/e. Nada en el átomo cambia.
La consecuencia práctica es una tabla de traducción entre dos profesiones que nunca hablan entre sí. El «espere cinco constantes de tiempo y se habrá estabilizado» de un ingeniero equivale a 7,2 semividas. El «diez semividas y ha desaparecido» de un físico equivale a 6,9 constantes de tiempo. Ambos expresan la misma espera; cada uno suena a una cantidad de paciencia diferente.
Y el error funciona también en sentido contrario. Leer una curva de desintegración en una gráfica y llamar semivida al codo visible da como resultado τ, que es un 44% demasiado largo. La herramienta exponential tool muestra k y el tiempo de duplicación o la semivida uno al lado del otro exactamente por esta razón: los dos números nunca son iguales, y cuál de ellos proporciona un conjunto de datos es una convención más que un hecho.
Por qué vale la pena darse cuenta
Porque la transferencia es gratuita y funciona en ambas direcciones.
Si sabe que el tiempo de carga de un condensador depende de RC y no de la tensión de alimentación —una batería más grande alcanza la misma fracción en el mismo instante—, entonces ya sabe por qué la semivida de una muestra radiactiva no depende de la cantidad inicial, y por qué el tiempo de semirreacción de una reacción de primer orden no depende de la concentración. Eso es un solo hecho, no tres, y es el hecho que hace posible la datación por carbono: la velocidad del reloj no puede verse afectada por la cantidad de carbono que contenga la muestra.
También funciona al revés. Cualquiera que esté familiarizado con las semividas ya tiene la intuición de por qué un condensador sobredimensionado hace que un circuito sea lento en responder, y por qué una neurona con una membrana con fugas integra sus entradas a lo largo de una ventana más amplia y, por tanto, se dispara de forma diferente. El artículo de 1952 de las referencias es lo que ocurre cuando alguien se toma esa transferencia lo bastante en serio como para medirla.
Dónde deja de ser cierto
El isomorfismo se mantiene solo mientras la velocidad sea proporcional a la cantidad, y esa suposición es una afirmación sobre el mecanismo, no una conveniencia matemática.
Reaction kinetics es el lugar donde romperlo, porque le permite fijar el orden directamente. Una reacción de orden cero elimina una cantidad fija por unidad de tiempo sin importar cuánto haya presente, por lo que su gráfica es una línea recta y no tiene constante de tiempo propiamente dicha: el concepto no sobrevive al cambio. La eliminación del alcohol es el ejemplo típico, razón por la cual existe la regla empírica de «una bebida por hora»: si fuera de primer orden, recuperar la sobriedad tendría una semivida y la última bebida tardaría tanto en eliminarse como la primera.
El segundo orden presenta una tercera forma diferente. Dos de los cuatro disfraces anteriores son de primer orden por construcción —un condensador y un núcleo no tienen elección— y dos lo son solo cuando la química o la biología colaboran. Vale la pena reconocer la ecuación precisamente porque ese reconocimiento es falsable: si la gráfica logarítmica no es una recta, no está en esta familia y la tabla completa de traducciones anterior no es aplicable.