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Quatro ferramentas neste site executam a mesma equação. O seu parâmetro tem quatro nomes.
Um condensador atinge 63,21% da sua tensão de alimentação numa constante de tempo. Numa amostra radioativa resta 36,79% após uma constante de tempo própria. Isto não é uma coincidência: é a mesma subtração.
Abra a ferramenta RC circuit. Com um resistor de 10 kΩ e um condensador de 100 µF, indica uma constante de tempo τ = RC = 1,00 s e, em seguida, três leituras: após um τ o condensador retém 3,161 V da sua alimentação de 5 V, após três τ retém 4,751 V e após cinco retém 4,966 V — que a ferramenta assinala como ≈ 100%.
Abra agora radioactive decay com carbono-14. Indica uma constante de decaimento λ = ln 2 / t½ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ por ano e, após cinco meias-vidas, resta 3,125% da amostra.
Estas duas páginas estão a resolver a mesma equação. Não uma equação análoga — a mesma, apenas com as letras renomeadas.
A equação e o seu único parâmetro
Ambas são instâncias de
dQ/dt = −kQ
"a taxa à qual a grandeza varia é proporcional à quantidade existente." Um condensador a carregar é a mesma afirmação sobre a diferença restante até à tensão de alimentação. Defina o que é Q e terá escolhido uma ferramenta:
- Eletrónica. Q é a tensão que ainda falta. k = 1/RC.
- Radioatividade. Q é o número de núcleos não desintegrados. k = λ.
- Química. Q é a concentração de um reagente numa reação de primeira ordem. k é a constante de velocidade.
- Fisiologia. Q é a tensão através da membrana de um nervo. k = 1/RmCm, que foi o que Hodgkin e Huxley mediram em 1952 quando descreveram o axónio como um circuito RC e receberam o Prémio Nobel em parte por levarem a analogia à letra.
Um parâmetro com quatro nomes, e o seu recíproco 1/k é a constante de tempo τ. Para o condensador acima, τ = 1,00 s. Para o carbono-14, τ = t½ / ln 2 = 8267 anos. Esse número não aparece na página de decaimento, mas o seu recíproco aparece: o λ impresso de 1,21 × 10⁻⁴ inverte-se para 8264, o mesmo valor dentro do arredondamento apresentado na página.
De onde vem os 63% e porque estão em ambas as páginas
Substitua t = τ na solução e o expoente torna-se exatamente −1, seja qual for o domínio:
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0,3679 Q₀
Assim, após uma constante de tempo, resta 36,79% do valor original. A página RC imprime o complemento, porque um condensador a carregar está a encher e não a esvaziar: 1 − e⁻¹ = 0,6321, que é de onde vêm os 3,161 V de 5 V. Os 63,2% que um manual de eletrónica lhe inculca e os 36,8% que um manual de física lhe inculca são a mesma subtração ao mesmo número.
A convenção dos 5τ tem a mesma origem. e⁻⁵ = 0,0067, pelo que após cinco constantes de tempo resta 0,67% — suficientemente perto de zero para que os engenheiros considerem o regime transitório terminado e a ferramenta RC imprima ≈ 100%. É um limiar arbitrário, escolhido de forma honesta, e é arbitrário em cada um dos quatro domínios em simultâneo.
A conversão em que todos erram
A meia-vida não é a constante de tempo. É mais curta, por um fator de ln 2:
t½ = τ · ln 2 = 0,693 τ
A meia-vida de 5730 anos do carbono-14 e a sua constante de tempo de 8267 anos são a mesma física descrita com dois limiares diferentes — um pergunta quando metade desapareceu, o outro quando resta 1/e. Nada no átomo muda.
A consequência prática é uma tabela de tradução entre duas profissões que nunca conversam entre si. O "aguarde cinco constantes de tempo e estabilizou" de um engenheiro equivale a 7,2 meias-vidas. O "dez meias-vidas e desapareceu" de um físico equivale a 6,9 constantes de tempo. Ambos significam a mesma espera; cada um soa a uma quantidade diferente de paciência.
E o erro também ocorre no sentido inverso. Ler uma curva de decaimento num gráfico e chamar meia-vida ao joelho visível dá-lhe τ, que é 44% longo demais. A exponential tool imprime k e o tempo de duplicação ou de redução para metade lado a lado exatamente por essa razão: os dois números nunca são iguais, e qual deles um conjunto de dados apresenta é uma convenção e não um facto.
Porquê dar-se ao trabalho de reparar
Porque a transferência é gratuita e funciona em ambos os sentidos.
Se sabe que o tempo de carga de um condensador depende de RC e não da tensão de alimentação — uma bateria maior atinge a mesma fração no mesmo instante —, então já sabe por que razão a meia-vida de uma amostra radioativa não depende da quantidade inicial, e por que razão o tempo de meia-reação de uma reação de primeira ordem não depende da concentração. É um único facto, não três, e é o facto que torna a datação por carbono sequer possível: o ritmo do relógio não pode ser afetado pela quantidade de carbono que a amostra por acaso contenha.
Também funciona no sentido inverso. Qualquer pessoa familiarizada com meias-vidas já possui a intuição de por que razão um condensador sobredimensionado torna um circuito lento a responder, e por que razão um neurónio com uma membrana com fugas integra as suas entradas numa janela temporal mais longa e, portanto, dispara de forma diferente. O artigo de 1952 nas referências é o que acontece quando alguém leva essa transferência suficientemente a sério para a medir.
Onde deixa de ser verdade
O isomorfismo mantém-se apenas enquanto a taxa for proporcional à quantidade, e essa hipótese é uma afirmação sobre o mecanismo, não uma conveniência matemática.
Reaction kinetics é o local para quebrar essa regra, porque lhe permite definir a ordem diretamente. Uma reação de ordem zero remove uma quantidade fixa por unidade de tempo, independentemente de quanto esteja presente, pelo que o seu gráfico é uma linha reta e não tem qualquer constante de tempo apreciável — o conceito não sobrevive à alteração. A eliminação do álcool é o exemplo clássico, razão pela qual existe a regra empírica de "uma bebida por hora": se fosse de primeira ordem, o processo de ficar sóbrio teria uma meia-vida e a última bebida levaria tanto tempo a ser eliminada como a primeira.
A segunda ordem apresenta ainda uma terceira forma. Dois dos quatro trajes acima são de primeira ordem por construção — um condensador e um núcleo não têm escolha — e dois são de primeira ordem apenas quando a química ou a biologia colaboram. Vale a pena reconhecer a equação precisely porque o reconhecimento é falsificável: se o gráfico logarítmico não for reto, não está nesta família, e toda a tabela de traduções acima não se aplica.