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Quatro ferramentas neste site executam a mesma equação. O seu parâmetro tem quatro nomes.
Um condensador atinge 63,21% da sua alimentação ao fim de uma constante de tempo. Uma amostra radioativa fica com 36,79% após uma constante própria. Isto não é uma coincidência: é a mesma subtração.
Abra a ferramenta RC circuit. Com uma resistência de 10 kΩ e um condensador de 100 µF, a ferramenta indica uma constante de tempo τ = RC = 1,00 s e, em seguida, três leituras: após um τ, o condensador apresenta 3,161 V da sua alimentação de 5 V; após três τ, apresenta 4,751 V; e após cinco, apresenta 4,966 V, que a ferramenta classifica como ≈ 100%.
Abra agora radioactive decay com o carbono-14. A ferramenta indica uma constante de decaimento λ = ln 2 / t½ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ por ano e, após cinco semividas, resta 3,125% da amostra.
Estas duas páginas estão a resolver a mesma equação. Não uma equação análoga — a mesma, com as variáveis renomeadas.
A equação e o seu parâmetro único
Ambas são instâncias de
dQ/dt = −kQ
«a taxa a que a grandeza varia é proporcional à quantidade existente». O carregamento de um condensador é a mesma afirmação relativamente à diferença que resta até à tensão de alimentação. Defina o que é Q e terá escolhido uma disciplina:
- Eletrónica. Q é a tensão que ainda falta. k = 1/RC.
- Radioatividade. Q é o número de núcleos por decair. k = λ.
- Química. Q é a concentração de um reagente numa reação de primeira ordem. k é a constante de velocidade.
- Fisiologia. Q é a tensão através de uma membrana nervosa. k = 1/RmCm, que foi o que Hodgkin e Huxley mediram em 1952 quando descreveram o axónio como um circuito RC e receberam o Prémio Nobel em parte por terem levado a analogia à letra.
Um parâmetro com quatro nomes, e o seu inverso 1/k é a constante de tempo τ. Para o condensador acima, τ = 1,00 s. Para o carbono-14, τ = t½ / ln 2 = 8267 anos. Esse número não surge na página do decaimento, mas o seu inverso sim: o valor indicado de λ = 1,21 × 10⁻⁴ inverte-se para 8264, o mesmo valor dentro do arredondamento apresentado na página.
De onde vêm os 63% e por que razão estão em ambas as páginas
Substitua t = τ na solução e o expoente torna-se exatamente −1, qualquer que seja o domínio:
Q(τ) = Q₀ e⁻¹ = 0,3679 Q₀
Assim, ao fim de uma constante de tempo, resta 36,79% do valor original. A página do RC apresenta o complemento, porque um condensador a carregar está a encher em vez de esvaziar: 1 − e⁻¹ = 0,6321, que é de onde vêm 3,161 V em 5 V. Os 63,2% que um manual de eletrónica nos incute e os 36,8% que um manual de física nos incute são a mesma subtração ao mesmo número.
A convenção de 5τ tem a mesma origem. e⁻⁵ = 0,0067, pelo que após cinco constantes de tempo resta 0,67%, valor suficientemente próximo de zero para que os engenheiros considerem o transitório concluído e a ferramenta do RC apresente ≈ 100%. É um limiar arbitrário, honestamente escolhido, e é arbitrário em cada um dos quatro domínios em simultâneo.
A conversão em que todos se enganam
A semivida não é a constante de tempo. É mais curta, por um fator de ln 2:
t½ = τ · ln 2 = 0,693 τ
A semivida de 5730 anos do carbono-14 e a sua constante de tempo de 8267 anos são a mesma física descrita com dois limiares diferentes: um indaga quando metade desapareceu; o outro, quando resta 1/e. Nada no átomo se altera.
A consequência prática é uma tabela de conversão entre duas profissões que nunca comunicam entre si. O «aguarde cinco constantes de tempo e estabilizou» de um engenheiro corresponde a 7,2 semividas. O «dez semividas e desapareceu» de um físico equivale a 6,9 constantes de tempo. Ambos significam a mesma espera; cada um soa a uma quantidade diferente de paciência.
E o erro também acontece no sentido oposto. Ler uma curva de decaimento num gráfico e chamar semivida ao cotovelo visível resulta em τ, que é 44% demasiado longo. A exponential tool mantém linhas separadas para o tempo de duplicação e para a semivida, ao lado da taxa k definida por si, exatamente por esta razão. Como t½ = ln 2 / k, um mesmo decaimento traduz-se em dois números distintos, e qual deles é fornecido por um conjunto de dados é uma convenção e não um facto.
Por que vale a pena reparar nisto
Porque a transposição é gratuita e funciona em ambos os sentidos.
Se sabe que o tempo de carga de um condensador depende de RC e não da tensão de alimentação — uma bateria maior atinge a mesma fração no mesmo instante —, então já sabe por que razão a semivida de uma amostra radioativa não depende da quantidade inicial, e por que razão o tempo de meia-reação de uma reação de primeira ordem não depende da concentração. Trata-se de um único facto, e não de três, e é esse o facto que torna a datação por radiocarbono viável: a cadência do relógio não pode ser afetada pela quantidade de carbono que a amostra por acaso contenha.
E o inverso também se verifica. Quem estiver familiarizado com semividas já possui a intuição de por que razão um condensador sobredimensionado torna a resposta de um circuito lenta, e por que razão um neurónio com uma membrana permeável integra os seus estímulos ao longo de uma janela mais alargada e, portanto, dispara de modo diferente. O artigo de 1952 referido na bibliografia é o que acontece quando alguém leva essa transposição suficientemente a sério para a quantificar.
Onde deixa de ser verdade
O isomorfismo só se mantém enquanto a taxa for proporcional à quantidade, e essa premissa é uma afirmação sobre o mecanismo, não uma mera conveniência matemática.
Reaction kinetics é o local onde isso se rompe, porque permite definir a ordem diretamente. Uma reação de ordem zero elimina uma quantidade fixa por unidade de tempo, independentemente de quanto esteja presente, pelo que o seu gráfico é uma linha reta e não tem qualquer constante de tempo digna desse nome. O conceito não sobrevive à mudança. A eliminação do álcool é o exemplo clássico, e é a razão pela qual a regra empírica de «uma bebida por hora» pode sequer existir: é eliminada uma quantidade fixa por hora, pelo que a última bebida demora tanto tempo a ser processada quanto a primeira. Se fosse de primeira ordem, a regra seria inútil, porque a última bebida seria então a mais lenta de todas a desaparecer.
Uma reação de segunda ordem tem ainda uma terceira forma. Dois dos quatro disfarces acima são de primeira ordem por construção — um condensador e um núcleo não têm escolha — e dois são de primeira ordem apenas quando a química ou a biologia colaboram. Vale a pena reconhecer a equação precisamente porque esse reconhecimento é falseável: se o gráfico logarítmico não for uma reta, não pertence a esta família, e toda a tabela de equivalências acima não se aplica.