潜熱：飲み物の中の氷

飲み物と氷を設定し、二つが最終的にどうなるかを見てみましょう。飲み物が手放す熱は、氷を温める、氷を溶かす、溶けた水を温める、という三つの働きに分かれます。どの部分が役割を担っているのかに注目してください。

計算例 — 潜熱：飲み物の中の氷

最終温度 (°C)	4.5
固体の氷の総量 (g)	0.0
0 °C に到達する氷 (g)	67.6
飲み物を凍らせる氷 (g)	3,331
融解に使われた熱	85.6%
0 °C の水で同じ効果を得る量 (g)	1,045

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

氷が 68 g から 3.3 kg の間、答えは同じ数字になります 🖖

最初のグラスで氷のスライダーを動かしてみてください。温度は下がり、67.6 g で 0.0 °C に達した後、そこにとどまります。100 g でも、400 g でも、900 g でも、カードの表示は 0.0 °C のままです。最初の 67.6 g を超えた分は、飲み物に残された熱をすべて融解に使い果たします。融解は一つの決まった温度で起きるため、温度計を動かす余力はもう残っていません。この停滞期は 3,331 g で終わります。そこでは、300 g の水にはもはや何かを溶かすほどの熱はなく、代わりに一部が凍り始めます。追加する氷の量が 49 倍に増える間、ツールは同じ数字を表示し続けます。変わるのは、見たときに浮いている氷の量だけです。

一グラムの氷は二十グラムの冷水に相当し、飲み物が温まるとその比率は崩れる 🖖

五十グラムの冷凍庫の氷を入れると、最初のグラスは 4.5 °C になります。すでに 0 °C の水で 4.5 °C にするには 1,045 g 必要であり、それはツールの横に表示されています。比率は二十対一で、飲み物自体の質量の三倍以上にもなります。その理由は内訳バーを見れば分かります。融解には氷一グラムあたり 334 J の熱が奪われますが、0 °C の水一グラムが一度温まるのに奪える熱は 4.186 J にすぎず、ここでは四度半しか温まりません。今度は氷には触れず、飲み物を 80 °C まで上げてみましょう。水に換算した数値は 129 g まで下がり、氷のわずか二倍になります。冷たい水は今や、四度ではなく八十度分の温まる余力を持っているからです。どうしても冷たく保ちたい飲み物においてこそ、氷はその真価を最大限に発揮するのです。

冷凍庫の十八度分の冷気は 1.3 度の冷却に相当する 🖖

−18 °C の氷は 0 °C の氷よりもはるかに冷たく感じますが、グラスの中ではその差はほとんど意味を持ちません。最初の二つのプリセットを切り替えてみてください。4.5 °C と 5.7 °C です。氷は熱を蓄えるのが苦手で、液体の水が 4.186 J なのに対し、一グラム一度あたり 2.09 J しかありません。そのため、50 g の氷を −18 °C から融点まで引き上げるのに吸収する熱は 1,881 J であり、その後の融解で吸収される 16,700 J に比べればわずかなものです。内訳バーの最初のセグメントが、その十分の一を表しています。交換レートは m_ice·c_ice / (m_total·c_water) = 0.071 °C となり、冷凍庫が一度下がるごとの飲み物の温度低下を示しています。この関係は下限までずっと直線的です。スライダーの最低温度である −30 °C では、グラスの温度は 4.5 °C ではなく 3.6 °C になります。

全プロセスの詳細解説

80 °Cの250 gのマグカップの紅茶のための冷凍庫の氷 7 ステップ
80 °C のお茶が入った 250 g のマグカップがあり、今すぐ 55 °C で飲みたいとします。それには冷凍庫の氷がどれくらい必要でしょうか。また、マグカップ自体の存在によって答えはどのくらい変わるでしょうか。
1. まずお茶から考えましょう。まだ氷のことは考えません。お茶は一定量の熱を放出する必要があります。その量は、お茶の質量に水の比熱容量を掛け、さらに求める温度降下分を掛けたものです。
  
  $Q = m c Δ T = 250 \times 4.186 \times (80 - 55) = 26, 163 J$
2. 次に氷一グラムの働きを計算します。55 °C のお茶になるまでに、氷は三つの働きをします。−18 °C から融点まで温まり、溶け、そして溶けた水が 55 °C まで温まるという過程です。忘れられがちなのがこの三つ目の働きですが、この温度帯では三つのうち二番目に大きな割合を占めます。
  
  $2.09 \times 18 + 334 + 4.186 \times 55 = 601.85 J g^{- 1}$
3. 一方の数値をもう一方の数値で割ります。これが一段階で計算できるのは、最終温度が最初から 55 °C に固定されていたからにすぎません。もし問題が最終温度を尋ねるものであれば、溶けた水の割合は答えに依存するため、数式に数値を代入するのではなく代数として解く必要がありました。
  
  $m_{ice} = \frac{26 , 163}{601.85} = 43.5 g$
4. 確認してみましょう。ツールで 80 °C の 250 g に対して −18 °C の氷を 43.5 g に設定すると、最終温度のカードには 55.0 °C と表示されます。
  
  $T_{f} = 55.0^{\circ} C$
5. 手抜きの代替案と比較してみます。すでに 0 °C になっている水は三つ目の働きしかせず、一グラムあたり 230.23 J であるため、113.6 g 必要になります。マグカップの中の温度は同じでも、お茶には 70 g 多くの水が含まれることになります。
  
  $\frac{26 , 163}{4.186 \times 55} = \frac{26 , 163}{230.23} = 113.6 g$
6. 目の前のページでモデル化されていないのが次の点です。ここでは容器の熱容量を全く考慮していません。80 °C になっている 350 g の陶器のマグカップも 55 °C まで下がる必要があり、陶器は一グラム一度あたり約 0.84 J の熱を保持します。
  
  $350 \times 0.84 \times 25 = 7, 350 J$
7. そのため、実際のマグカップでは、お茶単体で必要な量よりも 28% 多くの氷が必要になります。お茶の 1,047 J に対して陶器はケルビンあたり 294 J であり、これはテーブル上の熱質量の 22% を占めますが、ここより上のすべての数字から抜け落ちています。
  
  $m_{ice} = \frac{26 , 163 + 7 , 350}{601.85} = 55.7 g \frac{294}{294 + 1 , 047} = 22%$
解答

熱を蓄えない容器であれば 43.5 g の氷、実際のマグカップであれば約 56 g です。ツールが表示するのは前者であり、後者を表示することはできません。これが、熱量測定の実験が熱量計を測ることから始まる理由です。マグカップのケルビンあたり 294 J というのは、姿を変えた 70 g の水であり、その量には装置の水当量という名前がついています。濃いお茶に 43 g の氷を放り込んで、それでもまだ熱くて飲めないことに気づいた人は皆、この事実を身をもって測定したことになります。
冷凍庫の氷 900 g を積んだクーラーボックスを、度ではなく時間で測る 7 ステップ
氷に埋もれたカップ を押してみてください。−25 °C の氷 900 g が、4 °C の水 120 g を包んでいます。パネルの表示は −2.3 °C、固体の氷は 1,020 g、融解に使われた熱は 0.0% です。この中身がふたたび液体に戻るまでに箱がどれだけの熱を受け取れるかを求め、そのうえで冷凍庫の余分な冷たさに価値があったのかを判断しましょう。
1. 氷のカードは入れた量より大きな値を示していますから、まずはそこから。混合物が 0 °C で落ち着くには、氷を −25 から融点まで温めなければならず、それには 47,025 J かかります。飲み物が出せるのは、0 まで冷えることで 2,009 J、さらに完全に凍ることで 40,080 J。両方を合わせても届きません。ですから水は 120 g すべてが凍り、カードに出ている氷の質量は箱の中身そのものになります。
  
  $120 \times 4.186 \times 4 + 120 \times 334 = 42, 089 J < 900 \times 2.09 \times 25 = 47, 025 J$
2. 中身はこれですべて固体です。足りない 4,936 J は、1,020 g 全体が氷点下まで冷えることで支払われます。氷が蓄えられるのは一グラム一度あたり 2.09 J ですから、割り算をします。
  
  $T_{f} = \frac{42 , 089 - 47 , 025}{1 , 020 \times 2.09} = \frac{- 4 , 936}{2 , 131.8} = - 2.3^{\circ} C$
3. 温度の話はここで終わり、役に立つ話がここから始まります。何も溶けていないので「融解に使われた熱」は 0.0%、内訳バーの区画も一つだけです。そして冷えた水をどれだけ足したところで飲み物を氷点下にはできませんから、「0 °C の水で同じ効果を得る量」は ∞ と表示されます。三つのカードが同じことを言っています。これは飲み物ではなく、貯蔵庫です。
  
  $Q = 1, 020 \times 2.09 \times 2.315 + 1, 020 \times 334 = 4, 936 + 340, 680 = 345, 616 J$
4. そこで、クーラーボックスが本当に答えるべき問いを立てましょう。中身が 0 °C の液体の水になって冷却が終わるまでに、どれだけの熱が入ってこられるでしょうか。固体を融点まで温め戻し、それから 1,020 g をすべて溶かします。345.6 キロジュールです。
  
  $900 \times 334 = 300, 600 (87.0%); 900 \times 2.09 \times 25 = 47, 025 (13.6%); - 120 \times 4.186 \times 4 = - 2, 009 (- 0.6%)$
5. 内訳に分けると、その順位が見どころになります。詰めた氷の融解熱が蓄えの 87%。冷凍庫の 25 度ぶんの冷たさが 13.6%。飲み物自体はマイナスで、温かいまま入ってきたぶん、蓄えを少し使ってしまいます。
  
  $t = \frac{345 , 616 J}{3 W} = 115, 205 s = 32.0 h$
6. 次に熱の漏れを加えます。暖かい部屋に置いた小さな箱で 3 ワット、三分の一秒ごとに一ジュールという割合です。割り算をすれば、蓄えは 32 時間分。
  
  $t_{- 18} = \frac{900 ( 334 + 2.09 \times 18 ) - 2 , 009}{3} = \frac{332 , 449}{3} = 30.8 h$
7. 今度は −25 °C の冷凍ストッカーではなく、−18 °C の家庭用冷凍庫の氷でやり直します。蓄えは 332 kJ に落ち、箱は 30.8 時間もちます。七度ぶんの冷たさは 1.2 時間、25 度ぶんすべてでも 32 時間のうちの 4.4 時間にしかなりません。氷に換算すれば 122 グラム、積んだ量の八分の一です。
  
  $\frac{m _{i} c _{ice}}{c _{ice} ∣ T _{i} ∣ + L} = \frac{900 \times 2.09}{386.25} = 4.87 g per^{\circ} C \Rightarrow 25^{\circ} C \equiv 122 g$
解答

蓄えは 345.6 kJ、3 ワットの漏れなら 32 時間分で、そのうち 13.6% は氷ではなく冷凍庫から来ています。より冷たい氷には価値があり、そしてその価値は大きくありません。冷凍庫をさらに七度下げて稼げる時間は、氷を 120 g 足したときとほぼ同じです。

一つ上の考察は、同じ余分な冷たさを冷凍庫一度あたり飲み物 0.071 °C と値付けして、ほとんど無意味だと言っています。どちらの読み方も正しいのは、飲み物とクーラーボックスが別の問いを立てているからです。飲み物が求めるのは温度で、温度を決めるのは融解です。融解は氷が何度から始まろうと一つの決まった値で起こります。箱が求めるのは時間で、時間を決めるのはジュールです。こちらでは氷点下の一度一度が実在し、きちんと勘定に入ります。ツールが温度を表示するのは、人が最初に持ち込む問いが飲み物だからです。そのすべての背後にある量は、モジュールが内部に持ちながら決して表示しないエンタルピー、つまり 0 °C の液体の水を基準に測った中身全体です。それをジュールで手にしてしまえば、クーラーボックスも、ピクニックも、冷凍庫の故障も、すべて同じ割り算になります。

$Q_{reserve} = - H = m_{i} (L + c_{ice} ∣ T_{i} ∣) - m_{w} c T_{w}$

42Math チーム · 更新 2026-08-26

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例題

グラスの水に冷凍庫の氷 - 20 °C、300 g の水に −18 °C の冷凍庫の氷 50 g を入れると、4.5 °C で安定し、氷はすべてなくなります。水が手放した熱の 85.6% が融解に使われます。
同じ氷を 0 °C で - −18 °C ではなく 0 °C の同じ氷 50 g を使うと、グラスの温度は 5.7 °C になります。冷凍庫がもたらした十八度の冷気は、1.3 °C 分の冷却に相当します。
グラスの容量を超える氷 - 同じグラスに 150 g の冷凍庫の氷を入れると 0.0 °C に達し、91.7 g が溶けずに浮いています。67.6 g を超えれば、どれだけ入れても同じ 0.0 °C になります。
55 °C に冷ました紅茶 - 43.5 g の冷凍庫の氷で、250 g のお茶が 80 °C から 55.0 °C に下がります。すでに 0 °C の水で同じ温度にするには、114 g が必要になります。
氷に埋もれたカップ - −25 °C の氷 900 g の中に 4 °C の水 120 g を置くと、完全に凍結して −2.3 °C に終わります。氷が 806 g を超えた時点で凍結が始まります。