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光電効果と限界値

金属に単色光を当てて飛び出してくるものを測定してみましょう。あるいは、水銀ランプの輝線を使ってミリカンの実験を行うこともできます。図の下にある表では、光子のエネルギー、最も速い電子、そして電流を計算しています。

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レッスン

理論 — 光電効果と限界値

金属に光を当てると、表面から電子が飛び出すことがあります。これが光電効果です。光は E = hf のエネルギーを持つ光子として届き、それぞれの光子が持つすべてのエネルギーを一つの電子に与えることができます。電子を金属から引き離すには仕事関数 φ だけのエネルギーを消費するため、最も速い電子は K = hf − φ のエネルギーを持って飛び出します。限界振動数 f₀ = φ ÷ h を下回ると、電子はほとんど飛び出してきません。この限界値がくっきりと現れるのは絶対零度のときだけであり、実際には温度の影響によって限界値の下にもわずかな尾を引くように反応が残ります。阻止電圧 Vs は、最も速い電子を押し戻すための逆方向の電圧であり、eVs = K という関係にあります。K の値はこの阻止電圧を介して測定されます。

各記号の意味

f
光の振動数（c ÷ λ）。単位は THz。これ単独で各光子のエネルギーが決まります
φ
仕事関数。単位は eV。金属が一つの電子を手放すために要求するエネルギーです
K
最も速い電子の運動エネルギー（hf − φ）。光の明るさには依存しません
V_s
阻止電圧。単位はボルト。数値としては電子ボルトで表した K と等しくなります
η
量子収率。光子が電子を引き離す割合。電流の大きさにのみ影響を与えます
成り立たない場合
仕事関数は、元素の種類だけでなく表面の状態にも依存します。ここでナトリウムに用いた2.75 eVという値は、1977年のマイケルソンによるものです。多くの教科書には2.28や2.36 eVと記載されており、もし2.28 eVであれば緑色の光でもナトリウムから電子を引き離すことができます。測定値にばらつきがあるのは、結晶面による違いもありますが、空気に触れた表面はもはや別の性質を持つ表面になってしまうからです。だからこそ、ミリカンは真空中で金属を新しく削り出しながら実験を行ったのです。

光を明るくすると電子の数が増えるだけで、速くはならない 🖖

ナトリウムに紫色の光を押してから、2倍の明るさを押してみてください。電流は326.4から652.8 nAへと二倍に増えますが、最も速い電子が持つエネルギーはどちらも0.314 eVであり、速さも共に332 km/sのままです。もし光が波だとすれば、違う結果が予想されるはずです。強い波は電子を激しく揺さぶり、より速く弾き飛ばすと考えられるからです。これに対するアインシュタインの説明は、光はそれぞれがhfのエネルギーを持つ「粒の集まり」として届くというものでした。光が明るいということは、一秒間に届く粒の数が多いということです。一つの粒が引き離せる電子はせいぜい一つであり、仕事関数を支払った残りのエネルギーがその電子に渡されます。これが1905年に発表されたアインシュタインの光電方程式、K = hf − φです。彼がノーベル賞を受賞したのは相対性理論ではなく、この業績によるものでした。

限界値を下回ると、どんなに光を当てても電子は一つも飛び出さない 🖖

ナトリウムに赤色の光を押してみてください。紫色の光のときと比べてランプの出力は十倍になり、十六倍もの光子が降り注ぎます。それでも、どの陽極電圧や量子収率を選んでも電流は0.0 nAのままです。赤色の光子は一つあたり1.907 eVのエネルギーを持っていますが、ナトリウムは2.75 eV未満では電子を手放そうとしません。ランプ程度の明るさでは、二つの光子がエネルギーを合わせて一つの電子に働きかけることは現実には起こりません（それには集光したパルスレーザーが必要です）。そのため、一秒間に3.27 × 10¹⁶個の弱い光子を当てても、ただ一つの光子を当てたときと同じように、飛び出す電子はゼロのままなのです。スライダーの下にある波長バーでは、ナトリウムの限界波長である450.9 nmより先が斜線で塗りつぶされており、紫色を除く可視光のほぼ全域が届かないことがわかります。次にセシウムに緑色の光を押すと、今度は緑色の光が反応を起こします。セシウムは2.14 eVで電子を手放すからです。多くの光電管でセシウムが使われてきたのはこのためです。純粋な金属そのままではなく、銀・酸素・セシウムの化合物やアンチモン化セシウムの形で用いられ、純金属よりもさらに赤外寄りの波長まで感度を広げています。

どんな金属でもグラフの傾きは同じになり、その傾きはプランク定数を表す 🖖

下のグラフは、六種類すべての金属について振動数と阻止電圧の関係を描いたものです。それぞれが直線を描き、これら六本の直線はすべて平行になります。金属の種類は直線がどこでゼロと交わるかを決めるだけであり、その傾きはどれも h ÷ e になります。ミリカンの実験（ナトリウム）を押してみてください。五つの水銀輝線に対して、少しのノイズを含みながら測定されたそれぞれの阻止電圧を通る直線を最小二乗法で引くと、h = 6.610 × 10⁻³⁴ J·s となります。これは定義値より0.24%低い値です。ロバート・ミリカンは1916年にこうした測定結果を発表しましたが、後の彼自身の言葉によれば、アインシュタインの方程式が間違っていることを証明しようとしてのことでした。皮肉にもグラフの傾きは放射測定から得られたプランク定数と見事に一致しましたが、当の論文の中で彼はこの方程式の背後にある理論を「到底受け入れられない」と評しています。

全プロセスの詳細解説

  1. 亜鉛板に当てる紫外線 5 ステップ

    仕事関数が4.33 eVの亜鉛板に、水銀ランプの253.65 nmの輝線を当てます。このときの光子のエネルギー、最も速い電子のエネルギーとその速さ、阻止電圧、そして亜鉛から電子を引き離せる最大の波長を求めてみましょう。亜鉛に紫外線を押して、それぞれの数値を確認してください。

    この問題をツールで開く

    1. hc = 1239.84 eV·nm を用いて、光子のエネルギーを電子ボルトで求めます：

    2. そこから仕事関数を引いて、最も速い電子のエネルギーを求めます：

    3. そのエネルギーをボルト単位で表したものが阻止電圧になります：

    4. K をジュール単位にして、K = ½mv² から速さを求めます：

    5. 限界波長は、光子のエネルギーが仕事関数と等しくなる波長です：

    解答

    光子は4.888 eVのエネルギーを持ち、最も速い電子は0.558 eV、速さ443 km/sで飛び出し、0.558 Vの逆電圧で止まります。亜鉛は286.3 nmより長い波長には反応しません。これは紫外領域です。屋外であっても、太陽光は亜鉛から電子をほとんど引き離すことができません。オゾン層がおよそ295 nmより短い波長の光をほぼ吸収してしまう一方で、亜鉛には286.3 nm以下の波長が必要だからです。

学習の道すじ

量子力学：波としての物質

参考文献 (3)

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。