量子トンネル効果

粒子とそのエネルギーE、行く手を遮る障壁の高さUと幅aを選びます。ページ上では、障壁の手前、内部、向こう側のそれぞれでシュレーディンガー方程式を厳密に解き、波形を描きます。透過する割合と、厚い障壁に対する近似式16E(U − E)/U² · e^−2κaも並べて表示します。

計算例 — 量子トンネル効果

障壁外の波数	3.623 nm⁻¹
障壁外の波長	1.734 nm
障壁内の減衰定数	3.623 nm⁻¹
1/κを単位とした障壁幅	1.811
厳密な透過率	10.14%
厚い障壁での近似値	10.68%
幅が0.1 nm増すとTが何分の1になるか	2.009×
厚い障壁近似による同じ比	2.064×

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レッスン

理論 — 量子トンネル効果

量子トンネル効果とは、粒子のエネルギーEがポテンシャルエネルギーUより低く、古典力学では通過できない領域を粒子が越える現象です。このような障壁の内部では、波動関数は振動しません。e^−κxとe^+κxが重なった形になり、厚い障壁ではそのほとんどを減衰する成分が占めます。ここでκ = √(2m(U − E))/ħです。反対側まで残った振幅は、その先を進行波として伝わります。透過係数Tは、入射する確率流のうち障壁を通り抜ける割合です。矩形障壁では閉形式の厳密解が得られ、κaが2を超えれば、16E(U − E)/U² · e^−2κaとの誤差は4%以内です。

各記号の意味

E: 障壁の外側での粒子の運動エネルギー
U: 障壁の高さ。内部で粒子がもつポテンシャルエネルギー
a: 障壁の幅
κ: 障壁内部での減衰定数。厚い障壁では、距離1/(2κ)進むごとに|ψ|²がe分の一になる
T: 透過係数。通り抜ける粒子の割合で、反射される割合はR = 1 − T

前提: 一次元で、両側が垂直、上面が平らな障壁を考え、その左右のポテンシャルは等しいものとします。粒子は波束ではなく、一定のエネルギーをもつ平面波です。そのため、Tは粒子一個あたりの確率になります。相対論的効果は考えません。ここで扱うエネルギーは電子ボルトの範囲であり、電子の静止エネルギー511 keVに比べて十分に小さいからです。
成り立たない場合: 実在する障壁の側面には傾斜があります。顕微鏡の真空間隙では、電子が両側の金属に誘起する鏡像電荷によって障壁が低くなり、角も丸くなります。さらに、印加電圧によって上面が傾きます。電場が十分に強いと障壁は三角形になり、冷たい金属中の電子がトンネル効果で外へ出ます。これが電界放出で、ここで用いる式ではなくフォウラー・ノルドハイム則に従います。滑らかな障壁にWKB近似を用いる場合は、κaを障壁全体にわたるκ(x)の積分で置き換えます。また、実験で送り出されるのはエネルギーに幅のある波束です。透過率はその分布について平均されるため、障壁より高い領域に現れる鋭い共鳴はぼやけます。

0.4 nmを超えると、隙間が0.1 nm広がるたびに電流は8.8分の1になる 🖖

STM間隙を押してみよう。電子のエネルギーは障壁頂上より4.5 eV低く、これは金属の仕事関数と同程度である。間隙は0.5 nm。ここから0.1 nm広げるとTは8.789分の1になり、厚い障壁近似e^{2κ × 0.1 nm}では8.790分の1と求まる。結果の下の表を見ると、幅0.4 nm以降はどの段でも同じ比が0.3%以内で続いている。最初の数段だけは減少率が小さく、0.1 nmから0.2 nmでは7.293分の1である。これほど薄いと、1/κを基準にしてもまだ厚い障壁ではないからだ。ゲルト・ビーニッヒ、ハインリッヒ・ローラーらは、IBMチューリッヒ研究所でこの急激な距離依存性を利用した走査型トンネル顕微鏡を製作し、1982年に発表した。探針を走査しながら電流を一定に保てば、その高さが表面の起伏をなぞる。先端から0.2 nm奥にある原子では、表の二段分に相当して電流が約77分の1になるため、電流のほぼすべてが先端の一個の原子を通る。8.8という値はEにも依存しない。U − Eを4.5 eVに保ったままEとUを一緒に変えても8.79のままである。κ = √(2m(U − E))/ħに入るのは、その差だけだからだ。

陽子の透過確率は電子より約10⁶⁶倍小さい 🖖

電子、0.5 eVを押し、続いて陽子、0.5 eVを押そう。エネルギーも、高さ1 eVの障壁も、幅0.5 nmという条件も同じである。電子は10.14%の確率で透過する。一方、電子の1,836倍重い陽子の透過確率は1.535×10⁻⁶⁷にすぎない。質量は平方根としてκに入るので、陽子のκaは電子のわずか√1,836 ≈ 42.85倍、すなわち77.62に対して1.811である。しかしκaは指数部にあり、e^−2κaによって43倍の差が66桁もの差に広がる。電子質量の206.8倍であるミュー粒子は両者の間に入り、9.530×10⁻²³となる。表には三種類すべてが載っている。したがって、トンネル効果は小さな物体なら何にでも現れる性質ではない。軽い粒子と薄い壁の組合せで顕著になる。幅を0.05 nmにすると、陽子のTは7.252×10⁻⁷まで上がる。

障壁を越えるエネルギーがあっても46%は反射される 🖖

1 eVに対し1.2 eVを押してみよう。電子のエネルギーは障壁より20%高いので、古典力学なら必ず越えていく。ところが、このページで得られる値はT = 53.64%。反射は障壁の端で生じる。x = 0では、波長が障壁外の1.120 nmから障壁内のより長い波長へ不連続に変わる。光がガラスに入るときに一部が反射されるように、波を伝える媒質が急に変われば、波の一部は戻ってくる。前端と後端で生じた反射波は干渉し、障壁内に半波長が整数個収まるqa = nπのとき、完全に打ち消し合ってT = 1となる。この条件はE − U = n²h²/(8ma²)であり、障壁と同じ幅をもつ<a href="/phy/particle-in-a-box">箱の中の粒子</a>のエネルギー準位に一致する。箱の準位を押そう。幅1 nmの障壁でE − U = 0.376 eV。これは幅1 nmの箱に閉じ込めた電子の基底準位で、T = 100.00%となる。エネルギーのグラフでは各準位が破線で示され、曲線はそのたびに1へ達する。

全プロセスの詳細解説

トンネル顕微鏡はどれほど小さな段差を捉えられるか 4 ステップ
走査型トンネル顕微鏡の電子回路は、トンネル電流を2%の精度で一定に保ちます。電子のエネルギーは、幅0.5 nmの隙間にある障壁の上端より4.5 eV低いものとします。電流の2%の変化は、隙間のどれだけの変化に相当するでしょうか。最初の手順としてSTMの隙間を押してください。

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1. ページには障壁内部での減衰定数が表示されます。1/κを単位にして測ると、この障壁は十分に厚いことが分かります。
  
  $κ = \frac{2 m _{e} \times 4 . 5 eV}{ℏ} = 10.87 n m^{- 1}, κa = 5.434$
2. この厚さでは、Tはe^−2κaとaに依存しない前置因子との積です。電流はTに比例するため、ln Tはaに対して直線的に減少します。
  
  $T \approx \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} e^{- 2 κa} \Rightarrow ln T = ln \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} - 2 κa$
3. 隙間をΔaだけ狭めると電流は2%増えます。これはln Tがln 1.02だけ増えることに相当します。
  
  $Δ a = \frac{ln 1 . 02}{2 κ} = \frac{0 . 019803}{21 . 736 n m ^{- 1}} = 9.111 \times 1 0^{- 4} nm = 0.9111 pm$
4. 近似式ではなく厳密式を使い、同じ1.02倍になる条件を解いても、有効数字四桁まで同じ答えになります。
  
  $T (a + Δ a) = \frac{T ( a )}{1 . 02} (exact formula) \Rightarrow Δ a = 0.9111 pm$
解答

隙間が0.9111 pm変わると、電流は2%変化します。これはボーア半径52.92 pmの五十八分の一です。電流を一定に保つだけの電子回路で、ここまで微細な変化を捉えられます。探針全体をその精度で鋭くする必要はありません。先端の原子がただ一つ、周囲の原子より試料に近ければ十分です。電流は、ほぼその原子と表面との距離だけで決まるからです。こうしてトンネル顕微鏡は、原子の高さをはるかに下回る表面の起伏まで追跡できます。

$Δ a = 0.9111 pm \approx \frac{a _{0}}{58}, a_{0} = 52.92 pm$

学習の道すじ

量子力学：波としての物質

参考文献 (3)

The rectangular barrier solved exactly, with the reflection and transmission probabilities for E below the top in closed form, the same formula this page evaluates: R. Fitzpatrick, "Square Potential Barrier", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The first scanning tunnelling microscope, which turned the exponential dependence of the tunnelling current on the gap into a picture of a surface: G. Binnig, H. Rohrer, Ch. Gerber and E. Weibel, "Surface Studies by Scanning Tunneling Microscopy", Physical Review Letters 49, 57–61 (1982).
The constants: the Planck constant and the elementary charge, exact in the SI, and the electron, muon and proton masses: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。