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物理学をほとんど知らなくても、振り子の公式は導出できる。ほぼ、だが。
長さを重力加速度で割り、平方根をとると0.319秒になる。振り子の周期は2.006秒である。これら2つの数値の間にある隔たりは2πであり、単位を用いた代数計算をいくら重ねても、この2πを導き出すことは決してできない。
振り子の公式を忘れてしまい、教科書を開かずに再構築したいとしよう。
周期が依存する可能性のある物理量を列挙してみる。長さ L（メートル）、重力加速度 g（メートル毎秒毎秒）、おもりの質量 m（キログラム）である。求めたい答の単位は秒である。
ここで質量に着目する。キログラムはこのリストのただ1箇所にしか現れず、求めたい答の側にはどこにも存在しない。したがって、これらの物理量をどのように組み合わせても、m を含めたまま秒を作り出すことはできない。質量が除外されるのは、振り子について何かを知っているからではなく、キログラムを相殺する相手が存在しないからである。
残るは L と g である。メートルをメートル毎秒毎秒で割ると秒の2乗が得られるため、時間を導き出せる唯一の組み合わせは以下のようになる。
T ∝ √(L/g)
これで法則の全体の形が得られた。周期は長さの平方根に比例して大きくなるため、ひもの長さを4倍にすると振れる時間は2倍になる。重力の平方根に反比例して小さくなるため、同じ時計は月面ではより遅く進む。そして、質量には一切依存しない ― ガリレオの結論が、帳簿付けのような計算から復元されたのである。
どこで限界を迎えるか
実際に数値を代入してみよう。L = 1 m、g = 9.81 m/s² のとき、√(L/g) = 0.319 s となる。pendulum tool の小振幅の公式では 2.006 s が得られる。
その比率は 6.28 である。次元解析はこれ以外のすべてを解き明かしたが、この数値だけは決して導き出すことができなかった。なぜなら 2π には単位がないからである。無次元数 ― 2π、½、137、1 など ― は、この手法には一切捉えられない。単位は法則の形を完全に拘束するが、その大きさ（絶対値）にはまったく影響を与えない。
これこそがこの手法の誠実な限界線であり、魔法ではなく信頼できる技術たらしめている理由である。自分が答のどの部分を自力で導き出せていないのかを、常に正確に把握できるからだ。今回のケースでは、欠落していた係数がたまたま大きかった。T ≈ √(L/g) を再現し、それに基づいて時計を製作した物理学者は、6倍もの誤差を出すことになる。
同じ手法を、さらに2つの例に
このパターンに一度気づけば、このサイトの至る所で見つけることができる。
軌道。 周期 T、軌道サイズ a、そして単位が m³/s² である重力パラメータ GM。秒を与える唯一の組み合わせは √(a³/GM) である ― 指数も含め、ケプラーの第3法則が単位だけから導かれる。orbital period tool のスケーリング表はその結果を直接示している。軌道長半径を2倍にすると、周期は 2.83倍（すなわち 23/2）になる。次元解析はこの指数を正確に予測する。予測できないのはここでも 2π であり、形と最終的な答を隔てているのはやはりこの数値である。
脱出。 G、M、R から速度を求める場合、唯一の選択肢は √(GM/R) である。実際の脱出速度は √(2GM/R) であるため、この手法は √2 以外のすべてをもたらしてくれる。アンド、欠落している係数の差がまさにそれであることから、脱出速度は周回速度より41%速いだけであるという事実までもが、追加の計算なしに得られる。
3つの法則、3つの正確な形、アンド欠落した3つの純粋な数値。このパターンこそが、この手法の真骨頂である。
それでもなお、行う価値がある理由
バッキンガムは1914年にこれをπ定理として定式化した。k 個の独立した単位から作られる n 個の物理量の関係は、常に n − k 個の無次元グループ間の関係に書き換えることができる。振り子の場合は3つの物理量と2つの単位が存在するため、1つのグループが残る。解が単に示唆されるだけでなく必然的に決定されたのはそのためである。これがこの手法のすべてであり、振り子の議論がほかの結果になり得なかった理由である。
ここから、3つの実用的な用途が導かれる。
第1に、代数計算の検証になる。周期を導出した際にメートルという単位が残っていれば計算ミスであり、現実のデータと突き合わせる前にその間違いに気づくことができる。
第2に、どの変数を変化させるべきかを教えてくれる。振り子の議論によれば質量は無関係であるため、おもりの質量に対して周期を精密に測定する実験は何も測定していないに等しく、その結果は実験装置を組み立てる前から分かっている。
第3に、モデルのスケール変換を可能にする。水槽内の模型船は、無次元グループが実物大の船と一致しない限り無用である。造船試験が単なる長さではなく、フルード数やレイノルズ数を基準に組み立てられているのはそのためである。模型と実物の間で引き継がれるのはこれらの無次元グループであり、どのグループが存在するかを教えてくれるのが単位なのである。
この手法は、依存する要素を列挙するだけの労力で、法則の骨組みを与えてくれる。ただ、先頭に付く数値 ― 2π、√2、½ ― は骨組みには含まれず、物理学から導き出さなければならないということだけは、決して忘れてはならない。