See on masintõlge; originaaltekst on inglise keeles. Loe originaali
Pendli valemi saab tuletada ilma füüsikat teadmata. Peaaegu.
Pikkus jagatuna raskuskiirendusega ja võetuna ruutjuure alla on 0,319 sekundit. Pendli puhul kulub 2,006. Nende kahe arvu vaheline erinevus on 2π ning mitte mingisugune ühikutega algebra ei anna seda kunagi tulemuseks.
Oletame, et oled unustanud pendli valemi ja soovid selle ilma õpikut avamata uuesti tuletada.
Koosta nimekiri sellest, millest periood võiks üldse sõltuda: pikkus L meetrites. Raskuskiirendus g meetrites sekundi ruudu kohta. Pendlikeha mass m kilogrammides. Sa soovid vastust sekundites.
Nüüd vaata massi. Kilogrammid esinevad selles nimekirjas täpselt ühes kohas ja vastuses mitte kusagil, seega ei saa ükski nende suuruste kombinatsioon anda sekundeid, sisaldades samal ajal m-i. Mass langeb välja — mitte sellepärast, et teaksid midagi pendlitest, vaid seepärast, et kilogrammidel pole millegagi taanduda.
See jätab järele L-i ja g. Meetrid jagatuna meetritega sekundi ruudu kohta annab sekundid ruudus, seega ainus aega andev kombinatsioon on
T ∝ √(L/g)
Sul on nüüd käes seaduse kogu kuju. Periood kasvab nagu ruutjuur pikkusest, seega nööri pikkuse neljakordistamine kahekordistab võnkeaja. See kahaneb nagu ruutjuur raskuskiirendusest, seega töötab sama kell Kuul aeglasemalt. Ja see ei sõltu sugugi massist — Galileo tulemus, mis tuletati pelgalt arvepidamisest.
Kus see peatub
Pane arvud sisse. Kui L = 1 m ja g = 9,81 m/s², siis √(L/g) = 0,319 s. Tööriista pendulum tool väikese nurga valem annab tulemuseks 2,006 s.
Nende suhe on 6,28. Dimensioonianalüüs tuletas kõik peale selle ega olekski saanud seda teha, sest 2π on ühikuta suurus. Iga dimensioonita arv — 2π, ½, 137, üks — on selle meetodi jaoks nähtamatu. Ühikud määravad seaduse kuju täielikult, kuid selle suurust mitte sugugi.
See on aus piir ning teebki selle tehnika usaldusväärseks, mitte maagiliseks: tead alati täpselt, millist vastuse osa sa pole välja teeninud. Selles näites on puuduv tegur juhtumisi suur. Füüsik, kes tuletaks T ≈ √(L/g) ja ehitaks sellele tuginedes kella, eksiks kuuekordselt.
Sama trikk veel kaks korda
Kui oled seda mustrit märganud, näed seda sellel lehel igal pool.
Orbiidid. Periood T, orbiidi suurus a ja gravitatsiooniline parameeter GM, mille ühik on m³/s². Ainus sekundeid andev kombinatsioon on √(a³/GM) — Kepleri kolmas seadus, koos astendajaga ja kõigega, otse ühikutest. Tööriista orbital period tool skaalatabel näitab seda tagajärge otse: kahekordista telge ning periood pikeneb 2,83 korda, mis on 23/2. Dimensioonianalüüs ennustab seda astendajat täpselt. See ei ennusta aga arvu 2π, mis seisab taas kuju ja lõpliku vastuse vahel.
Paokiirus. Kiirus suurustest G, M ja R: √(GM/R) on ainus võimalus. Tegelik paokiirus on √(2GM/R), seega annab meetod kätte kõik peale teguri √2 — ning annab tasuta ka fakti, et escaping is only 41% faster than orbiting, kuna puuduvad tegurid erinevad täpselt selle võrra.
Kolm seadust, kolm õiget kuju, kolm puuduvat puhast arvu. See muster ongi selle meetodi käekiri.
Miks seda ikkagi tasub teha
Buckingham formaliseeris selle 1914. aastal π-teoreemina: seos n suuruse vahel, mis moodustuvad k sõltumatust ühikust, on alati ümber kirjutatav seosena n − k dimensioonita rühma vahel. Pendlil on kolm suurust ja kaks ühikut, mistõttu jääb järele üks rühm — ja just seepärast oli vastus paratamatu, mitte lihtsalt võimalik variant. See ongi selle tehnika kogu sisu ja põhjus, miks pendli arutlus ei saanudki teisiti välja kukkuda.
Sellest tuleneb kolm praktilist kasutusviisi.
See kontrollib sinu algebrat. Kui tuletad perioodi ja sellesse jäävad sisse meetrid, oled teinud vea — ning tead seda juba enne, kui midagi tegelikkusega võrdled.
See ütleb sulle, mida muuta. Pendli arutlus näitab, et mass ei saa lugeda — seega katse, mis mõõdab hoolikalt perioodi sõltuvust pendlikeha massist, ei mõõda midagi ning selle tulemus oli teada juba enne aparatuuri ehitamist.
Ja see võimaldab mudeleid skaalata. Laevamudel katsebasseinis on kasutu, kui selle dimensioonita rühmad ei vasta täismõõtmetes laevale — mistõttu korraldatakse laevakatseid Froude'i ja Reynoldsi arvude, mitte pikkuste põhjal. Rühmad on need, mis ühendavad mudelit ja päris asja; ühikud näitavad aga kätte, millised rühmad üldse eksisteerivad.
Meetod annab sulle seaduse skeleti vaid selle hinnaga, et paned kirja, millest see sõltub. Ära vaid kunagi unusta, et selle ees olev arv — 2π, √2, ½ — ei sisaldu skeletis, vaid peab tulema füüsikast endast.