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É possível deduzir a fórmula do pêndulo sem saber física. Quase.
O comprimento dividido pela gravidade, sob a raiz quadrada, dá 0,319 segundos. O pêndulo demora 2,006. A diferença entre estes dois números é 2π, e nenhuma quantidade de álgebra com unidades alguma vez o produzirá.
Suponha que se esqueceu da fórmula do pêndulo e a quer reconstruir sem abrir um manual.
Liste do que o período poderia eventualmente depender: o comprimento L, em metros. O campo gravítico g, em metros por segundo ao quadrado. A massa do peso m, em quilogramas. Pretende-se uma resposta em segundos.
Agora observe a massa. Os quilogramas aparecem exatamente num único lugar dessa lista e em nenhum lugar da resposta, pelo que nenhuma combinação destas grandezas pode produzir segundos se incluir m. A massa fica de fora — não porque saiba algo sobre pêndulos, mas porque não há nada com que os quilogramas se simplifiquem.
Restam L e g. Metros divididos por metros por segundo ao quadrado dão segundos ao quadrado, pelo que a única combinação que produz um tempo é
T ∝ √(L/g)
Tem agora toda a estrutura da lei. O período cresce com a raiz quadrada do comprimento, pelo que quadruplicar o fio duplica a oscilação. Diminui com a raiz quadrada da gravidade, pelo que o mesmo relógio funciona mais devagar na Lua. E não depende de todo da massa — o resultado de Galileu, recuperado a partir da contabilidade.
Onde o método para
Insira os números. Para L = 1 m e g = 9,81 m/s², √(L/g) = 0,319 s. A fórmula para pequenas amplitudes da pendulum tool dá 2,006 s.
A razão é 6,28. A análise dimensional obteve tudo exceto isso, e nunca o poderia ter obtido, porque 2π não tem unidades. Qualquer número adimensional — 2π, ½, 137, um — é invisível para o método. As unidades restringem completamente a forma de uma lei e absolutamente nada da sua magnitude.
Esta é a fronteira honesta, e é o que torna a técnica fiável em vez de mágica: sabe-se sempre com precisão que parte da resposta não se conquistou. Neste caso, o fator em falta é por acaso grande. Um físico que reconstruísse T ≈ √(L/g) e construísse um relógio com base nisso teria um erro de um fator de seis.
O mesmo truque, mais duas vezes
Assim que se nota o padrão, ele está por todo o lado neste site.
Órbitas. Um período T, um tamanho de órbita a e o parâmetro gravítico GM, cujas unidades são m³/s². A única combinação que dá segundos é √(a³/GM) — a terceira lei de Kepler, expoente e tudo, obtida a partir das unidades. A tabela de escala da orbital period tool mostra a consequência diretamente: duplique o eixo e o período aumenta 2,83, ou seja, 23/2. A análise dimensional prevê esse expoente exatamente. Não prevê o 2π, que é novamente o que se interpõe entre a forma e a resposta.
Escape. Uma velocidade a partir de G, M e R: √(GM/R) é a única opção. A verdadeira velocidade de escape é √(2GM/R), pelo que o método fornece tudo exceto um √2 — e fornece, de graça, o facto de que escapar é apenas 41% mais rápido do que orbitar, já que os fatores em falta diferem exatamente por esse valor.
Três leis, três formas corretas, três números puros em falta. O padrão é a assinatura do método.
Porque vale a pena, ainda assim
Buckingham formalizou isto em 1914 sob a forma do teorema π: uma relação entre n grandezas construídas a partir de k unidades independentes pode ser sempre reescrita como uma relação entre n − k grupos adimensionais. O pêndulo tem três grandezas e duas unidades, pelo que um grupo sobrevive — motivo pelo qual a resposta foi imposta, e não meramente sugerida. Este é todo o conteúdo da técnica, e é a razão pela qual o argumento do pêndulo não poderia ter resultado de outra forma.
Seguem-se três aplicações práticas.
Verifica a sua álgebra. Se deduzir um período e lhe sobrarem metros, cometeu um erro, e sabe-o antes de verificar seja o que for contra a realidade.
Indica-lhe o que variar. O argumento do pêndulo diz que a massa não pode importar — por isso, uma experiência que meça cuidadosamente o período em função da massa do peso não está a medir nada, e o seu resultado já era conhecido antes de a montagem ser construída.
E permite mudar a escala dos modelos. Um modelo de navio num tanque é inútil a menos que os grupos adimensionais correspondam aos do navio em tamanho real, razão pela qual os testes navais são organizados em torno dos números de Froude e de Reynolds e não em torno dos comprimentos. Os grupos são o que se transfere entre o modelo e o objeto real; as unidades são o que lhe indica que grupos existem.
O método dá-lhe o esqueleto de uma lei pelo custo de listar aquilo de que ela depende. Apenas nunca se esqueça de que o número à frente — o 2π, o √2, o ½ — não está no esqueleto e tem de vir da física.