Comparador de velocidade de escape

Determine a velocidade à qual algo lançado da Terra nunca mais regressa — depois use-a para explicar por que razão a Terra ainda conserva azoto, está a perder lentamente o seu hidrogénio e por que motivo a Lua não tem ar de todo. Terra: M = 5,972 × 10²⁴ kg, R = 6371 km.

1. “Nunca mais regressa” é uma afirmação sobre energia, não sobre altura. A atração da gravidade enfraquece com a distância, mas nunca se desliga, pelo que a condição é que a energia cinética seja pelo menos tão grande quanto a profundidade do poço gravítico em que o objeto se encontra.

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}\ge 0$$

2. Iguale o total a zero — o caso limite, chegando ao infinito sem nada restante — e resolva. A própria massa do projetil cancela-se, o que é a primeira surpresa: uma bala e um rochedo precisam exatamente da mesma velocidade.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

3. Introduza os números da Terra. Este é o valor que o comparador acima apresenta quando a Terra está selecionada, e vale a pena notar que se trata de uma velocidade, não de uma propulsão: nada aqui diz como se chega a ela.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11186m/s\approx 11.2km/s$$

4. Agora use o facto de m se ter cancelado. Aplica-se tanto a uma molécula de azoto como a um foguete. As moléculas de um gás não se movem todas à mesma velocidade, mas a velocidade quadrática média decorre apenas da temperatura.

   $$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:{\mathrm{H}}_2\text{at}288\mathrm{K}=1.90km/s,{\mathrm{N}}_2=0.51km/s$$

5. Um gás não se perde assim que uma molécula ultrapassa a velocidade de escape; a cauda de altas velocidades da distribuição vai-se dissipando ao longo de milhares de milhões de anos. Segundo a regra prática habitual, um astro retém um gás se a sua velocidade de escape for, pelo menos, cerca de seis vezes superior à velocidade molecular. A linha da Lua corresponde à sua própria temperatura: sem atmosfera para distribuir o calor, a face diurna atinge cerca de 390 K, fazendo subir a velocidade do azoto para 0,59 km/s.

   $$\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\text{Earth},{\mathrm{N}}_2=22\text{Earth},{\mathrm{H}}_2=5.9\text{Moon},{\mathrm{N}}_2=4.0$$

11,2 km/s escapam à Terra. Não escapam ao Sol: deixam-no nas mãos do Sol à distância da Terra, em órbita ao lado do planeta que acabou de deixar. Calcule quanto custa realmente sair do Sistema Solar.

1. Comece pelo número do painel e pelo balanço de energia que o produziu: a energia cinética a cancelar exatamente a profundidade do poço gravítico.

   $$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11.19\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. Agora mude o centro a partir do qual mede. A própria Terra está a cair em torno do Sol, a uma velocidade fixada pela mesma lei a uma unidade astronómica de distância.

   $$v_{\oplus }=\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times 10^{-11})(1.989\times 10^{30})}{1.496\times 10^{11}}}=29.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

3. Escapar ao Sol a essa distância exige √2 vezes a velocidade circular — exatamente a mesma relação, porque à aritmética é indiferente qual dos corpos o segura.

   $$v_{\mathrm{esc},\odot }(1\mathrm{AU})=\sqrt{2}{v}_{\oplus }=1.4142\times 29.79=42.13\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. Subtraia, e repare no que lhe é oferecido. Já viaja a 29,79 e precisa de 42,13, portanto só falta a diferença — e obtém-na de graça lançando no sentido em que a Terra já se move.

   $$\Delta v=42.13-29.79=12.34\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

5. Mas ainda tem de trepar para fora da Terra, e o que se soma são as energias, não as velocidades. É por isso que os dois valores se compõem ao quadrado: a velocidade necessária à superfície é a hipotenusa, não a soma.

   $$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}\Delta v^2⟹v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^2+\Delta v^2}=\sqrt{11.19^2+12.34^2}=16.65\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

6. Agora vire-se e lance contra o movimento da Terra. As duas velocidades deixam de se cancelar e passam a somar-se.

   $$v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^2+(42.13+29.79{)}^2}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$