Equação de Vis-Viva

A equação de vis-viva relaciona a velocidade com a posição e a forma da órbita. Escolha um corpo central e insira os parâmetros orbitais.

Exemplo resolvido — Equação de Vis-Viva

Período orbital	1.62 h

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Mesmo semieixo maior, mesma energia, mesmo período 🖖

A equação de vis-viva é a conservação de energia expressa em forma orbital. Em cada ponto, a energia mecânica específica total é ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — uma constante determinada apenas pelo semieixo maior a. Duas órbitas com o mesmo a, mas excentricidades diferentes, têm a mesma energia e o mesmo período; a excentricidade molda a trajetória sem alterar o orçamento energético. A velocidade é máxima no periélio (energia potencial mínima) e mínima no afélio. A trajetória de escape é o caso-limite a → ∞, com v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — exatamente √2 vezes a velocidade circular no mesmo raio.

Apenas dois números definem a velocidade 🖖

A equação vis-viva diz que a velocidade de um objeto em órbita depende de apenas duas coisas: sua distância atual r ao corpo central e o tamanho global da órbita, o semieixo maior a. Coloque ambos em v = √(GM(2/r − 1/a)) e você obtém a velocidade. A massa do próprio objeto nunca aparece: um clipe de papel e uma estação espacial na mesma órbita viajam exatamente à mesma velocidade.

O nome significa 'força viva' 🖖

Vis viva é o latim para 'força viva', o termo que Leibniz cunhou na década de 1680 para a grandeza mv² — a antecessora da energia cinética. Ele desencadeou uma disputa de décadas com os seguidores de Newton, que defendiam que a quantidade de movimento mv era a verdadeira 'medida do movimento'. Ambos os lados tinham parte da razão, e o v² que sobrevive nesta equação é um eco direto da força viva de Leibniz.

Problema resolvido na íntegra

Período e duas velocidades extremas de uma órbita Molniya em torno da Terra 5 passos
Uma órbita Molniya: semieixo maior de 26 560 km, excentricidade de 0,74, em torno da Terra. Encontre o seu período e as suas duas velocidades extremas, e depois o número para o qual a órbita foi realmente concebida — quanto tempo de cada passagem é passado longe. Este é o estado Molniya (HEO), com μ = GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².

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1. O semieixo maior é a média dos dois raios extremos, pelo que a excentricidade o separa simetricamente. Esta órbita passa a 535 km acima do solo numa extremidade e atinge 39 843 km na outra, mais longe do que a geostacionária.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 26560 \times 0.26 = 6905.6 km, r_{a} = a (1 + e) = 26560 \times 1.74 = 46 214.4 km$
2. O período ignora tudo isso. A terceira lei de Kepler vê apenas o semieixo maior, pelo que esta elipse demora exatamente o mesmo tempo que uma órbita circular a 26 560 km demoraria — e a resposta é o ponto fulcral do projeto, porque 11,97 h é metade de um dia sideral. O satélite volta, portanto, a traçar a mesma trajetória sobre o solo duas vezes por dia e pode ser transferido para uma estação de solo num horário fixo.
  
  $T = 2 π \frac{a ^{3}}{μ} = 2 π \frac{( 2.656 \times 1 0 ^{7} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 43079 s = 11.97 h$
3. A equação vis-viva necessita apenas do raio atual e do tamanho da órbita, e o periapside fornece ambos. O resultado é 93% da velocidade que lhe permitiria abandonar a Terra a partir dessa altitude: uma órbita muito excêntrica é uma fuga por pouco no ponto mais baixo.
  
  $v_{p} = μ (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a}) = 3.986 \times 1 0^{14} (\frac{2}{6.906 \times 1 0 ^{6}} - \frac{1}{2.656 \times 1 0 ^{7}}) = 10.021 km/s$
4. A mesma equação na outra extremidade, alterando apenas o raio, dá uma velocidade quase sete vezes menor. Esse fator não é informação nova — o momento angular rv é conservado, pelo que as duas velocidades devem estar em proporção inversa aos dois raios, e a razão dos raios já tinha sido fixada por e no passo 1.
  
  $v_{a} = μ (\frac{2}{r _{a}} - \frac{1}{a}) = 1.497 km/s, \frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{r _{a}}{r _{p}} = \frac{1 + e}{1 - e} = 6.69$
5. Lento no topo significa muito tempo no topo, e a segunda lei de Kepler torna isso exato: áreas iguais em tempos iguais, portanto uma fração do período é uma fração da área. O eixo menor corta a elipse em duas metades iguais e cruza a órbita precisamente onde r = a, pelo que a área varrida a partir da Terra no lado distante é essa metade mais o triângulo entre o foco e o eixo. Tanto a como b cancelam-se na razão, o que deixa a excentricidade isolada.
  
  $\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{\frac{1}{2} π ab + ab e}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} = 0.5 + 0.2356 = 0.7355 ⟹ 0.7355 \times 11.97 = 8.80 h$
Resposta

A ferramenta indica um período de 11,97 h, 10,021 km/s no periapside e 1,497 km/s no apoapside. O passo 5 é a razão de ser desses números: 8,80 horas de cada órbita de 11,97 horas são passadas para lá de r = a, e apenas 3,17 horas no seu interior. Três satélites em planos desfasados cobrem, portanto, um dia inteiro com mais de duas horas de sobreposição, que foi a forma como a rede soviética Molniya deu à Rússia de latitudes elevadas televisão contínua — um satélite geostacionário fica no horizonte nessas latitudes e é inútil. E ½ + e/π não contém nenhum μ nem nenhum a: uma órbita com excentricidade de 0,74 em torno de qualquer corpo passa 73,6% da sua vida no lado distante.

$\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} (a, μ cancel)$

Percurso de aprendizagem

Órbitas a partir de dois números

Referências (1)

The vis-viva equation and the energy-from-a alone result: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §1.4–1.6. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.