Calculadora de buraco negro

Insira uma massa em massas solares para explorar a geometria e a termodinâmica de buracos negros — de microburacos negros a motores de quasares supermassivos.

Exemplo resolvido — Calculadora de buraco negro

Schwarzschild	29.5 km
Esfera de fótons	44.3 km
ISCO	88.6 km
Temp. de Hawking	6.17 nK

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Nada do que cai se perde, apenas se embaralha 🖖

Em 1974, Hawking mostrou que efeitos quânticos próximos ao horizonte de eventos fazem os buracos negros irradiarem termicamente — como se fossem um corpo negro à temperatura T_H ∝ 1/M. Ao irradiar, o buraco perde massa e encolhe, evaporando-se completamente com o tempo. Mas aqui está o paradoxo: a radiação térmica não carrega nenhuma informação sobre o que caiu nele. A mecânica quântica exige que a informação nunca seja destruída — mas o cálculo de Hawking parece apagá-la. Esse é o paradoxo da informação do buraco negro. Décadas de debate não produziram uma solução, até que trabalhos recentes envolvendo 'ilhas' e a curva de Page sugeriram que a informação pode estar codificada em correlações quânticas sutis na própria radiação de Hawking — uma estrutura de emaranhamento invisível para observadores locais. O paradoxo não está totalmente resolvido, mas o consenso atual é que a unitariedade sobrevive: a informação escapa, codificada de uma forma que exige uma teoria completa da gravidade quântica para ser decodificada.

Um único número define toda a geometria 🖖

Um buraco negro sem rotação é descrito inteiramente pela sua massa. Conhecido o raio de Schwarzschild r_s = 2GM/c², cada outro marco decorre como um múltiplo fixo: a esfera de fótons em 1.5 r_s e a órbita estável mais interna em 3 r_s. Dobre a massa e todos dobram com ela. Como buraco negro, o Sol teria apenas ~3 km de diâmetro; a Terra, meros ~9 mm.

Buracos negros esquentam ao encolher 🖖

Objetos comuns esfriam ao perder energia; buracos negros fazem o oposto. Como T_H ∝ 1/M, irradiar massa deixa o buraco mais quente, não mais frio — uma capacidade térmica negativa. A evaporação, por isso, dispara: quanto menor o buraco fica, mais rápido irradia, terminando num clarão final. Isso também significa que um buraco negro nunca pode atingir um equilíbrio térmico estável com um banho de calor ilimitado.

Problema resolvido na íntegra

O horizonte de eventos de um buraco negro de 10 massas solares 5 passos
Determine o horizonte de acontecimentos de um buraco negro de 10 massas solares e, em seguida, responda a algo que parece absurdo: quão denso tem de ser um buraco negro?
1. Tome o resultado da velocidade de escape e pergunte em que ponto ele iguala a velocidade da luz. Este é o atalho newtoniano — uma dedução completa exige a relatividade geral — e dá, por coincidência, exatamente a resposta correta, o que é um acidente histórico que vale a pena conhecer: Michell escreveu-o em 1783.
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = c ⟹ R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$
2. Substitua dez massas solares. A calculadora acima apresenta este raio, e a característica marcante é a proporcionalidade em vez do número: R_s varia linearmente com a massa.
  
  $R_{s} = \frac{2 ( 6.674 \times 1 0 ^{- 11} ) ( 10 \times 1.989 \times 1 0 ^{30} )}{( 2.998 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 2.95 \times 1 0^{4} m = 29.5 km$
3. Outros dois raios seguem-se como múltiplos fixos, razão pela qual a ferramenta os apresenta juntos: a própria luz pode orbitar a 1,5R_s, e nenhuma órbita circular estável existe no interior de 3R_s — essa extremidade interna é o que determina o tamanho de um disco de acreção.
  
  $r_{ph} = 1.5 R_{s} = 44.3 km, r_{ISCO} = 3 R_{s} = 88.6 km$
4. Agora a consequência. A densidade é a massa a dividir pelo volume, e o volume varia com o cubo do raio enquanto o raio varia com a massa — logo, a densidade diminui com o inverso do quadrado da massa. Buracos negros maiores são menos densos.
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R _{s}^{3}} \propto \frac{M}{M ^{3}} = \frac{1}{M ^{2}}$
5. Coloque números nisto. Um buraco negro de massa estelar é mais denso do que um núcleo atómico. Um supermassivo não o é.
  
  $M = 10 M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{17} kg/ m^{3} M = 1 0^{8} M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$
Resposta

29,5 km, com a esfera de fotões a 44,3 km e a órbita estável mais interna a 88,6 km. Mas a última linha é a que altera a perceção do objeto: um buraco negro com 10⁸ massas solares tem uma densidade média de cerca de 1800 kg/m³ — um pouco mais denso do que a água, menos denso do que o ferro. Poderia cruzar o horizonte de um sem notar nada localmente. «Buraco negro» nomeia uma geometria, não uma substância, e o horizonte é um local onde a fuga se torna impossível, em vez de uma superfície feita do quer que seja.

$R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}} \propto M ⟹ ρ \propto \frac{1}{M ^{2}}$

Referências (2)

Insight blocks 1 and 3 — the radiation, and the 1/M temperature that makes evaporation run away: S. W. Hawking, "Black hole explosions?" Nature 248, 30–31, 1974.
The curve block 1 names: D. N. Page, "Information in black hole radiation." Physical Review Letters 71(23), 3743–3746, 1993 — where the entropy of the radiation is argued to turn over rather than rise forever.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.