Lente gravitacional

Uma lente massiva curva a luz de uma fonte de fundo. Ajuste a massa, as distâncias e o deslocamento da fonte para explorar anéis de Einstein e pares de arcos.

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O lenteamento pesa o que nunca brilha 🖖

O raio de Einstein θ_E calculado por esta ferramenta depende da massa da lente e das três distâncias — e de mais nada. A luminosidade não entra no cálculo. Por isso, a lente gravitacional permite uma das raras medições de massa que não exigem que a matéria emita qualquer radiação. Isso é importante, pois a maior parte da matéria não a emite: o ajuste dos dados de 2018 do Planck atribui à matéria escura fria cerca de 26,1% da densidade de energia, contra 4,9% da matéria comum, uma razão superior a cinco para um. Se estimarmos a massa de uma galáxia em primeiro plano pela luz das suas estrelas, deixamos escapar a maior parte; se a estimarmos pela deflexão que provoca na luz de um quasar ao fundo, obtemos toda a massa ao longo da linha de visão, luminosa ou não. O primeiro anel de Einstein completo foi observado em pormenor não na luz visível, mas no infravermelho: B1938+666, fotografado com a câmara NICMOS do Hubble e descrito por King e colaboradores em 1998.

Uma galáxia como lupa 🖖

Qualquer concentração de massa curva o espaço ao seu redor, e a luz que passa por perto segue essa curvatura — assim uma galáxia em primeiro plano desvia a luz de um objeto mais distante situado atrás dela. Em vez de uma imagem, veem-se duas, um arco ou um anel completo, e cada uma aparece mais brilhante. Quanto mais massiva a lente e mais preciso o alinhamento, maior o raio de Einstein θ_E que esta ferramenta calcula. Os astrônomos aproveitam isso como uma teleobjetiva gratuita para estudar galáxias fracas demais para serem vistas diretamente.

Uma lente que focaliza numa linha, não num ponto 🖖

Uma lente gravitacional é um instrumento óptico surpreendentemente ruim. Uma lente convergente de vidro desvia mais os raios quanto mais longe do centro eles passam, concentrando a luz paralela num único foco; a gravidade faz o oposto — o desvio α = 4GM/(c²b) cresce quanto mais perto da massa a luz passa. Por isso os raios paralelos nunca se encontram num ponto, mas acumulam-se ao longo de uma linha que se estende ao infinito. É justamente esse 'defeito' que espalha as fontes em anéis e arcos, em vez de pontos nítidos.

Problema resolvido na íntegra

Uma lente de 10¹² massas solares a meio caminho de uma fonte a 1000 Mpc de distância 6 passos
Uma lente de 10¹² massas solares a meia distância de uma fonte a 1000 Mpc. Determine o raio de Einstein e, em seguida, descubra o que faz as lentes gravitacionais valerem a pena.
1. Apenas uma fórmula, e a geometria reside inteiramente na combinação de distâncias. Note-se que não se trata da distância à lente ou à fonte, mas sim da razão D_LS/(D_LD_S) — uma lente a meio do caminho vale muito mais do que uma situada logo à frente da fonte.
  
  $θ_{E} = \frac{4 GM}{c ^{2}} \cdot \frac{D _{L S}}{D _{L} D _{S}} M = 1 0^{12} M_{⊙}, D_{L} = 500, D_{S} = 1000, D_{L S} = 500 Mpc$
2. Considere primeiro o fator de massa. 10¹² massas solares é uma galáxia, e 4GM/c² é um comprimento de cerca de seis mil milhões de milhões de metros — o que parece enorme e é cerca de meio ano-luz.
  
  $\frac{4 GM}{c ^{2}} = \frac{4 ( 6.674 \times 1 0 ^{- 11} ) ( 1.989 \times 1 0 ^{42} )}{8.988 \times 1 0 ^{16}} = 5.908 \times 1 0^{15} m$
3. O fator de distância é o inverso de um comprimento e, com estas três distâncias, reduz-se exatamente a um sobre 1000 Mpc.
  
  $\frac{D _{L S}}{D _{L} D _{S}} = \frac{500}{500 \times 1000 Mpc} = \frac{1}{1000 Mpc} = 3.241 \times 1 0^{- 26} m^{- 1}$
4. Multiplique, calcule a raiz quadrada e converta. Um radiano tem 206 265 segundos de arco, que é a mesma constante que define o parsec.
  
  $θ_{E}^{2} = 1.915 \times 1 0^{- 10} ⟹ θ_{E} = 1.384 \times 1 0^{- 5} rad \times 206265 = 2.85 4^{''}$
5. Multiplicar o ângulo pela distância à lente dá o raio físico do anel na lente — a região da galáxia cuja massa está a causar o desvio.
  
  $R_{E} = θ_{E} D_{L} = 1.384 \times 1 0^{- 5} \times 500 Mpc = 6.92 kpc$
6. Por fim, resolva a mesma equação no sentido inverso.
  
  $M = \frac{c ^{2}}{4 G} θ_{E}^{2} \frac{D _{L} D _{S}}{D _{L S}}$
Resposta

2,854 segundos de arco, e a grande vantagem é a última linha: pode invertê-la. Isolando M, a mesma equação transforma um ângulo medido e duas distâncias numa massa — e nunca pergunta de que é feita essa massa. Nenhuma luz tem de vir dela, nenhuma órbita tem de ser cronometrada, nenhuma hipótese sobre temperatura ou ionização entra em jogo. É por isso que o efeito de lente gravitacional é o instrumento de eleição para pesarmos o que não brilha: mapas de massa de aglomerados e as medições que tornaram a matéria escura uma quantidade e não um adjetivo. A figura mostra a outra metade da resposta. Dois raios saem da fonte, passam em lados opostos da lente e chegam juntos; se rodar todo o diagrama em torno do eixo tracejado, o par de imagens transforma-se num anel.

$θ_{E} = 2.85 4^{''}, R_{E} = 6.92 kpc$

Referências (4)

The dark-matter and baryon fractions quoted in the first block: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.
The first complete Einstein ring — imaged in the infrared, not in visible light: L. J. King, N. J. Jackson, R. D. Blandford et al., "A complete infrared Einstein ring in the gravitational lens system B1938+666." Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 295, L41–L44, 1998.
Strong lensing as a mass measurement, reviewed: T. Treu, "Strong Lensing by Galaxies." Annual Review of Astronomy and Astrophysics 48, 87–125, 2010.
The deflection α = 4GM/(c²b) and the Einstein radius: P. Schneider, J. Ehlers and E. E. Falco, Gravitational Lenses, ch. 2 and 8. Springer, 1992. ISBN 978-3-540-66506-9.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-01

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Problemas de exemplo

Anel de Einstein - Uma galáxia com 10¹² massas solares, situada a 500 Mpc, atua como lente sobre uma fonte a 1000 Mpc e produz θE = 2,854 segundos de arco. Quando a fonte fica exatamente atrás da galáxia, as duas imagens unem-se num anel completo.
Par de arcos - Mantêm-se a lente e as distâncias do Anel de Einstein, mas a fonte é deslocada 0,8 segundos de arco para fora do eixo. θE permanece em 2,854; o anel divide-se em imagens nas posições +3,28 e -2,48, e a amplificação desce de um valor ilimitado para 3,67.
Lente de aglomerado - Uma massa cem vezes maior produz um raio de Einstein dez vezes maior, pois θE varia com a raiz quadrada de M: 29,87 segundos de arco. A fonte fica a um centésimo desse valor e a sua imagem é amplificada quase cem vezes.
Microlente - Uma massa solar a 8 kpc produz θE = 0,71 milissegundos de arco, quatro mil vezes menor do que o anel da galáxia. Nenhum instrumento consegue separar imagens tão próximas; por isso, a microlente é detetada como um aumento de brilho, e não como duas imagens.