Calculadora de ondas gravitacionais

Insira as duas massas, a distância e a frequência inicial para ver a massa chirp, a linha do tempo da fusão e a intensidade do sinal.

Valores iniciais — Calculadora de ondas gravitacionais

Massa primária m₁ (M☉)	36
Massa secundária m₂ (M☉)	29
Distância de luminosidade (Mpc)	440
Frequência inicial f₀ (Hz)	20

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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Um braço de quatro quilômetros se move menos que um próton 🖖

O LIGO detecta uma onda gravitacional observando dois braços a laser de 4 quilômetros se esticarem e se comprimirem em cerca de uma parte em 10²¹ — uma distorção algumas centenas de vezes menor que a largura de um próton. Esse sinal só se torna confiável porque a mesma forma de onda precisa aparecer em detectores separados por milhares de quilômetros, permitindo distinguir um chirp real de ruídos locais, como caminhões passando ou terremotos distantes. A frequência também não permanece fixa: à medida que os dois objetos espiralam um em direção ao outro, a energia orbital é liberada como radiação gravitacional, fazendo a onda subir em frequência até o momento da fusão — o 'chirp' que dá nome à curva desta ferramenta.

O que a massa de chirp revela 🖖

Quando dois objetos compactos espiralam um em direção ao outro, eles não emitem suas duas massas separadamente. A forma de onda é determinada quase inteiramente por uma única combinação, a massa de chirp M_c = (m₁m₂)^3/5/(m₁+m₂)^1/5. Esse único número controla a rapidez com que a frequência sobe, então medir o ritmo do chirp entrega a massa de chirp diretamente. É por isso que esta ferramenta a coloca em primeiro plano.

Fusões como sirenes padrão 🖖

A amplitude de uma onda gravitacional depende da verdadeira distância de luminosidade da fonte de um modo que os físicos podem calcular a partir de primeiros princípios — sem calibração com cefeidas ou supernovas. Isso torna cada fusão uma sirene padrão: o chirp dá as massas, a amplitude dá a distância. Combine isso com um desvio para o vermelho e você obtém uma medição independente da constante de Hubble — foi exatamente assim que a fusão de estrelas de nêutrons GW170817, em 2017, contribuiu para a questão de quão rápido o universo se expande.

Problemas resolvidos na íntegra

36 e 29 massas solares a 440 Mpc 6 passos
36 e 29 massas solares a 440 Mpc. Determine a massa chirp, a duração do sinal e a distância que os espelhos do LIGO realmente se deslocam — em seguida, encontre o único número no painel que não depende de nenhuma das entradas.
1. As duas massas entram na forma de onda em apenas uma combinação, e é esta. A massa chirp é o que um detetor mede diretamente — as massas individuais têm de ser extraídas mais tarde, a partir da parte do sinal que esta fórmula não consegue ver.
  
  $M = \frac{( m _{1} m _{2} ) ^{3/5}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{1/5}} = \frac{( 36 \times 29 ) ^{3/5}}{6 5 ^{1/5}} = \frac{104 4 ^{0.6}}{6 5 ^{0.2}} = \frac{64.77}{2.305} = 28.1 M_{⊙}$
2. O tempo até à fusão varia com a massa chirp elevada a −5/3 e com a frequência de entrada elevada a −8/3. Ambos os expoentes são grandes, pelo que ambas as entradas contam muito mais do que parece.
  
  $τ \approx 2.18 (\frac{1.21}{M})^{5/3} (\frac{100}{f _{0}})^{8/3} = 2.18 (0.04306)^{5/3} (5)^{8/3} = 0.843 s$
3. A órbita circular estável mais interna é onde a inspiral tem de parar, e a sua frequência varia inversamente com a massa total: um sistema binário mais pesado funde-se a uma frequência mais baixa. Para 65 massas solares, isso corresponde a 68 Hz — perto do limite inferior da banda do LIGO, razão pela qual este evento foi ouvido como um baque em vez de um chirp.
  
  $f_{ISCO} = \frac{c ^{3}}{6 6 π G M _{tot}} = \frac{2.694 \times 1 0 ^{25}}{14.70 \times 2.711 \times 1 0 ^{22}} = 67.6 Hz$
4. A deformação é adimensional: é o alongamento fracionário do espaço. Multiplique pelo comprimento do braço para obter uma distância.
  
  $h_{peak} \approx 1.16 \times 1 0^{- 21} ⟹ Δ L = 4000 \times 1.16 \times 1 0^{- 21} = 4.6 \times 1 0^{- 18} m$
5. Compare essa distância com algo. Um protão tem 8,4 × 10⁻¹⁶ m no seu raio de carga, e os espelhos moveram-se menos de um centésimo disso.
  
  $\frac{4.6 \times 1 0 ^{- 18}}{8.41 \times 1 0 ^{- 16}} = \frac{1}{181} of a proton’s radius$
6. Agora, a linha que nunca muda. Nada a respeito do sistema binário passa para ela — isto é um teto, não uma medição.
  
  $L_{GW} \sim \frac{c ^{5}}{5 G} = \frac{2.42 \times 1 0 ^{42}}{3.34 \times 1 0 ^{- 10}} = 7.26 \times 1 0^{51} W = 1.90 \times 1 0^{25} L_{⊙}$
Resposta

A luminosidade, e é c⁵/5G. Todas as outras linhas se movem quando altera um cursor; aquela é 1,90 × 10²⁵ L☉ quaisquer que sejam as massas, a distância ou a frequência inicial, porque é construída a partir da velocidade da luz e da constante gravitacional e de mais nada. É a maior potência que qualquer processo na relatividade geral pode radiar e, durante alguns milissegundos, esta fusão esteve a emitir mais potência do que a emitida sob a forma de luz por todas as estrelas do universo observável. O outro extremo da escala está no mesmo painel: 1,16 × 10⁻²¹ de deformação ao longo dos braços de 4 km do LIGO é uma variação de comprimento de 4,6 × 10⁻¹⁸ m, o que é uma 181.ª parte do raio de um protão. Ambos os números descrevem o mesmo evento.

$M = 28.1 M_{⊙}, τ = 843 ms, f_{ISCO} = 67.6 Hz, L_{GW} = \frac{c ^{5}}{5 G}$
Duas estrelas de neutrões com 1,4 massas solares cada a 100 Mpc 5 passos
Duas estrelas de neutrões com 1,4 massas solares cada, a 100 Mpc. Preveja cada linha a partir da resposta dos buracos negros acima sem recalcular nada, utilizando apenas os expoentes.
1. Recalcule apenas a massa chirp. Para massas iguais, ela reduz-se a 2^−1/5 vezes a massa comum, o que dá 1,22 para um par de 1,4.
  
  $M = \frac{( 1.4 \times 1.4 ) ^{3/5}}{2. 8 ^{1/5}} = \frac{1.9 6 ^{0.6}}{2. 8 ^{0.2}} = \frac{1.4869}{1.2200} = 1.22 M_{⊙}$
2. Tudo o resto é uma razão. O expoente da duração é −5/3, pelo que deve formar primeiro a razão entre massas e elevá-la uma vez.
  
  $\frac{τ _{NS}}{τ _{BH}} = (\frac{M _{BH}}{M _{NS}})^{5/3} = (\frac{28.10}{1.219})^{5/3} = 23.0 5^{5/3} = 187$
3. Aplique-a aos 0,843 s do problema anterior. Sem integrais, sem constantes, sem nenhuma fórmula para além do expoente.
  
  $τ = 0.843 \times 187 = 157 s = 2.6 min$
4. A frequência da ISCO é inversamente proporcional à massa total, pelo que o mesmo truque com um expoente muito menor dá a frequência no final.
  
  $f_{ISCO} \propto \frac{1}{M _{tot}} : 67.6 \times \frac{65}{2.8} = 1570 Hz$
5. A deformação comporta duas dependências em simultâneo — aumenta com a massa chirp elevada a 5/3, diminui com a distância — e este par é simultaneamente mais leve e mais próximo, pelo que os efeitos se anulam parcialmente.
  
  $h \propto \frac{M ^{5/3}}{d _{L}} : 1.16 \times 1 0^{- 21} \times (\frac{1.219}{28.10})^{5/3} \times \frac{440}{100} = 2.2 \times 1 0^{- 22}$
Resposta

Toda a diferença reside numa única lei de potência: 187. A massa chirp cai de 28,10 para 1,22 e, como o tempo de inspiral varia com ℳ^−5/3, dividir por 23 a massa multiplica o tempo por 23^5/3 = 187. Isso transforma 0,84 segundos em 157, razão pela qual a fusão de estrelas de neutrões é a única que o LIGO pode anunciar enquanto ainda está a acontecer — 2,6 minutos é tempo suficiente para apontar telescópios, e o GW170817 é a razão pela qual alguém viu a quilonova. A mesma alavanca funciona contra si no outro extremo: f_ISCO varia como 1/M, pelo que a fusão termina a 1570 Hz, bem acima de onde os detetores são mais sensíveis. Binários leves são fáceis de ouvir aproximar-se e difíceis de ouvir chegar.

$M = 1.22 M_{⊙} ⟹ τ \times 187, f_{ISCO} \times 23, h \div 5$

Referências (3)

The detection the first block describes, and its measured strain: B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger." Physical Review Letters 116(6), 061102, 2016.
The neutron-star merger behind the gw170817 preset: B. P. Abbott et al., "GW170817: Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral." Physical Review Letters 119(16), 161101, 2017.
The chirp-mass and peak-strain expressions the tool evaluates: M. Maggiore, Gravitational Waves, Volume 1: Theory and Experiments, §4.1. Oxford University Press, 2008. ISBN 978-0-19-857074-5.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-05

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Problemas de exemplo

GW150914 - GW150914: primeira detecção, massa de chirp ~28.1 Msun
GW170817 - Estrelas de nêutrons de 1,17 e 1,36 massas solares geram uma massa de chirp de 1,10, inferior a ambas. Esse número solitário é o que a forma de onda codifica, garantindo 3,1 minutos de permanência na banda a partir dos 20 Hz. Quando a frequência inicial é elevada em dez hertz, o tempo desce para 1,1 minutos. Dois terços do sinal residem na fatia mais grave da banda, a zona mais difícil para se construir um detector.
Fusão NS-NS - Duas estrelas de nêutrons clássicas de 1,4 massas solares apresentam uma massa de chirp de 1,22 e 2,6 minutos de duração desde os 20 Hz até à fusão. Este período é mais breve do que o do evento GW170817, apesar de o GW170817 ser o par mais leve. A massa dita o movimento em espiral, pelo que o binário mais massivo é aquele que concede menos tempo de escuta. Os 1570,1 Hz abaixo correspondem à frequência ISCO, o limite onde uma órbita circular estável deixa de existir e as duas estrelas colapsam juntas.
Fusão BH-BH - 160 massas solares de buraco negro reduzem a frequência ISCO para 27,5 Hz, situando-se marginalmente acima dos 20 Hz onde o gráfico se inicia. A totalidade do evento dura 185,7 ms dentro da banda. Não há um gorjeio ascendente que se possa cantarolar, apenas um baque. Continua a ser a mais sonora das quatro predefinições, 1,28 × 10⁻²¹, proveniente de 1000 Mpc. Esta distância supera em mais de vinte vezes a do evento GW170817.