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Vous pouvez retrouver la formule du pendule sans connaître la physique. Ou presque.
La longueur divisée par la pesanteur, sous la racine carrée, donne 0,319 seconde. Le pendule met 2,006 secondes. L'écart entre ces deux nombres est de 2π, et aucun calcul d'algèbre sur les unités ne le donnera jamais.
Supposons que vous ayez oublié la formule du pendule et que vous souhaitiez la retrouver sans ouvrir de manuel.
Dressez la liste de ce dont la période pourrait dépendre : la longueur L, en mètres. Le champ de pesanteur g, en mètres par seconde carrée. La masse de la bille m, en kilogrammes. Vous cherchez un résultat en secondes.
Examinez maintenant la masse. Les kilogrammes n'apparaissent qu'à un seul endroit dans cette liste et nulle part dans le résultat ; aucune combinaison de ces grandeurs ne peut donc produire des secondes tout en incluant m. La masse est donc exclue — non pas parce que vous savez quoi que ce soit sur les pendules, mais parce qu'il n'y a rien avec quoi simplifier les kilogrammes.
Il ne reste donc que L et g. Des mètres divisés par des mètres par seconde carrée donnent des secondes carrées ; la seule combinaison qui produise un temps est donc
T ∝ √(L/g)
Vous avez maintenant la forme entière de la loi. La période augmente comme la racine carrée de la longueur, si bien que quadrupler le fil double l'oscillation. Elle diminue comme la racine carrée de la pesanteur, ainsi une même horloge marche plus lentement sur la Lune. Et elle ne dépend absolument pas de la masse — le résultat de Galilée, retrouvé par simple comptabilité.
Où la méthode s'arrête
Passons aux chiffres. Pour L = 1 m et g = 9,81 m/s², √(L/g) = 0,319 s. La formule des petits angles du pendulum tool donne 2,006 s.
Le rapport est de 6,28. L'analyse dimensionnelle a tout déterminé sauf cela, et elle n'aurait jamais pu l'obtenir, car 2π n'a pas d'unité. Tout nombre sans dimension — 2π, ½, 137, un — est invisible pour la méthode. Les unités contraignent totalement la forme d'une loi, et pas du tout son ordre de grandeur.
C'est sa frontière honnête, et c'est ce qui rend la technique fiable plutôt que magique : vous savez toujours précisément quelle partie de la réponse vous n'avez pas établie. Dans le cas présent, le facteur manquant se trouve être important. Un physicien qui reconstituerait T ≈ √(L/g) et construirait une horloge sur cette base se tromperait d'un facteur six.
Le même procédé, deux fois encore
Une fois le schéma remarqué, on le retrouve partout sur ce site.
Orbites. Une période T, une taille d'orbite a, et le paramètre gravitationnel GM, dont les unités sont des m³/s². La seule combinaison donnant des secondes est √(a³/GM) — la troisième loi de Kepler, exposant compris, issue des unités. Le tableau de changement d'échelle de l'outil orbital period tool en montre directement la conséquence : doublez l'axe et la période augmente d'un facteur 2,83, soit 23/2. L'analyse dimensionnelle prédit exactement cet exposant. Elle ne prédit pas le 2π, qui est à nouveau ce qui sépare la forme du résultat.
Vitesse de libération. Une vitesse dérivée de G, M et R : √(GM/R) est la seule option. La véritable vitesse de libération est √(2GM/R), la méthode fournit donc tout sauf un √2 — et elle offre gratuitement le fait que s'échapper n'est que 41 % plus rapide qu'orbiter, puisque les facteurs manquants diffèrent exactement de cette valeur.
Trois lois, trois formes correctes, trois nombres purs manquants. Ce schéma est la signature de la méthode.
Pourquoi cela vaut malgré tout la peine
Buckingham a formalisé cela en 1914 sous la forme du théorème π : une relation entre n grandeurs construites à partir de k unités indépendantes peut toujours se réécrire sous la forme d'une relation entre n − k groupes sans dimension. Le pendule fait intervenir trois grandeurs et deux unités, un seul groupe subsiste donc — c'est pourquoi le résultat s'imposait de manière stricte au lieu d'être simplement suggéré. Voilà tout le contenu de la méthode, et c'est la raison pour laquelle le raisonnement du pendule ne pouvait pas aboutir autrement.
Trois applications pratiques en découlent.
Elle permet de vérifier vos calculs. Si vous établissez l'expression d'une période et qu'il y reste des mètres, vous avez commis une erreur, et vous le savez avant même de vérifier quoi que ce soit par rapport à la réalité.
Elle vous indique quels paramètres faire varier. Le raisonnement sur le pendule montre que la masse ne peut pas intervenir — ainsi, une expérience qui mesurerait soigneusement la période en fonction de la masse de la bille ne mesurerait rien, et son résultat était connu avant même de construire le montage.
Et elle permet de changer l'échelle des modèles. Une maquette de navire dans un bassin d'essais ne sert à rien si les groupes sans dimension ne correspondent pas à ceux du navire grandeur nature, c'est pourquoi les essais navals sont organisés autour des nombres de Froude et de Reynolds plutôt qu'autour des longueurs. Ce sont les groupes qui se transposent du modèle à la réalité ; ce sont les unités qui vous indiquent quels groupes existent.
La méthode vous donne l'ossature d'une loi pour le simple coût d'en dresser la liste des dépendances. N'oubliez simplement jamais que le nombre placé devant — le 2π, le √2, le ½ — ne figure pas dans cette ossature, et doit provenir de la physique.