Comparateur de vitesse de libération

Déterminez la vitesse à laquelle un objet lancé depuis la Terre ne revient jamais — puis utilisez-la pour expliquer pourquoi la Terre possède toujours de l'azote, perd lentement son hydrogène, et pourquoi la Lune n'a pas d'air du tout. Terre : M = 5.972 × 10²⁴ kg, R = 6371 km.

1. « Ne revient jamais » est une affirmation sur l'énergie, pas sur la hauteur. L'attraction de la gravité diminue avec la distance mais ne s'annule jamais, donc la condition est que l'énergie cinétique soit au moins égale à la profondeur du puits gravitationnel dans lequel se trouve l'objet.

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}\ge 0$$

2. Fixez le total à zéro — le cas limite, arriver à l'infini avec plus rien — et résolvez. La masse propre du projectile s'annule, ce qui est la première surprise : une balle et un rocher ont besoin d'exactement la même vitesse.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

3. Injectez les chiffres de la Terre. C'est la valeur que le comparateur ci-dessus affiche lorsque la Terre est sélectionnée, et il convient de remarquer qu'il s'agit d'une vitesse, pas d'une poussée : rien ici ne dit comment vous l'atteignez.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11186m/s\approx 11.2km/s$$

4. Utilisez maintenant le fait que m s'est annulée. Cela s'applique tout autant à une molécule d'azote qu'à une fusée. Les molécules de gaz ne se déplacent pas toutes à une seule vitesse, mais la vitesse quadratique moyenne découle de la seule température.

   $$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:{\mathrm{H}}_2\text{at}288\mathrm{K}=1.90km/s,{\mathrm{N}}_2=0.51km/s$$

5. Un gaz ne disparaît pas dès qu’une molécule dépasse la vitesse de libération : la partie rapide de la distribution s’échappe peu à peu, sur des milliards d’années. Selon la règle empirique usuelle, un astre retient un gaz si sa vitesse de libération vaut au moins six fois environ la vitesse moléculaire. La ligne de la Lune est établie à sa propre température. En l’absence d’atmosphère pour répartir la chaleur, sa face éclairée atteint environ 390 K, ce qui porte la vitesse de l’azote à 0,59 km/s.

   $$\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\text{Earth},{\mathrm{N}}_2=22\text{Earth},{\mathrm{H}}_2=5.9\text{Moon},{\mathrm{N}}_2=4.0$$

11,2 km/s échappent à la Terre. Ils n'échappent pas au Soleil : ils vous laissent dans la poigne du Soleil à la distance de la Terre, en orbite à côté de la planète que vous venez de quitter. Calculez ce que quitter le Système solaire coûte réellement.

1. Partez du chiffre affiché et du bilan d'énergie qui l'a produit : l'énergie cinétique annulant exactement la profondeur du puits gravitationnel.

   $$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11.19\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. Changez maintenant de centre. La Terre elle-même tombe autour du Soleil, à une vitesse fixée par la même loi à une unité astronomique de distance.

   $$v_{\oplus }=\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times 10^{-11})(1.989\times 10^{30})}{1.496\times 10^{11}}}=29.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

3. Échapper au Soleil depuis cette distance demande √2 fois la vitesse circulaire — exactement la même relation, car l'arithmétique se moque de savoir quel corps vous retient.

   $$v_{\mathrm{esc},\odot }(1\mathrm{AU})=\sqrt{2}{v}_{\oplus }=1.4142\times 29.79=42.13\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. Soustrayez, et voyez ce qui vous est offert. Vous filez déjà à 29,79 et il vous faut 42,13 : seule la différence manque — et vous l'obtenez gratuitement en partant dans le sens où la Terre avance déjà.

   $$\Delta v=42.13-29.79=12.34\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

5. Reste à sortir de la Terre, et ce sont les énergies qui s'additionnent, pas les vitesses. D'où la composition au carré : la vitesse nécessaire au sol est l'hypoténuse, pas la somme.

   $$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}\Delta v^2⟹v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^2+\Delta v^2}=\sqrt{11.19^2+12.34^2}=16.65\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

6. Retournez-vous maintenant et partez contre le mouvement terrestre. Les deux vitesses cessent de se compenser et s'ajoutent.

   $$v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^2+(42.13+29.79{)}^2}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$