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Puedes deducir la fórmula del péndulo sin saber nada de física. Casi.
La longitud dividida por la gravedad, tras extraer la raíz cuadrada, da 0,319 segundos. El péndulo tarda 2,006. La diferencia entre esos dos números es 2π, y ningún cálculo algebraico con unidades podrá obtenerlo jamás.
Supón que has olvidado la fórmula del péndulo y quieres reconstruirla sin abrir un libro de texto.
Haz una lista de todo aquello de lo que podría depender el periodo: la longitud L, en metros. El campo gravitatorio g, en metros por segundo al cuadrado. La masa m de la plomada, en kilogramos. Buscas una respuesta en segundos.
Observa ahora la masa. Los kilogramos aparecen exactamente en un lugar de esa lista y en ninguno en el resultado, por lo que ninguna combinación de estas magnitudes puede producir segundos e incluir m. La masa queda fuera; no por saber algo sobre péndulos, sino porque no hay nada con lo que los kilogramos puedan cancelarse.
Eso nos deja con L y g. Los metros divididos entre metros por segundo al cuadrado dan segundos al cuadrado, de modo que la única combinación que produce un tiempo es
T ∝ √(L/g)
Ahora se tiene la forma completa de la ley. El periodo aumenta con la raíz cuadrada de la longitud, así que cuadruplicar el hilo duplica la oscilación. Disminuye con la raíz cuadrada de la gravedad, por lo que un mismo reloj marcha más despacio en la Luna. Y no depende en absoluto de la masa: el resultado de Galileo, recuperado mediante mera contabilidad.
Dónde se detiene
Introduce los números. Para L = 1 m y g = 9,81 m/s², √(L/g) = 0,319 s. La fórmula para ángulos pequeños de la herramienta pendulum tool da 2,006 s.
La proporción es 6,28. El análisis dimensional obtuvo todo excepto eso, y nunca habría podido obtenerlo, porque 2π no tiene unidades. Cualquier número adimensional —2π, ½, 137, uno— es invisible para el método. Las unidades condicionan por completo la forma de una ley, pero en absoluto su magnitud.
Este es el límite honesto, y es lo que hace que la técnica sea fiable en lugar de mágica: siempre se sabe con precisión qué parte de la respuesta no se ha deducido. En este caso, el factor faltante resulta ser grande. Un físico que reconstruyera T ≈ √(L/g) y construyera un reloj a partir de esa fórmula cometería un error por un factor de seis.
El mismo truco, dos veces más
Una vez que se detecta el patrón, se encuentra por todas partes en este sitio.
Órbitas. Un periodo T, un tamaño orbital a y el parámetro gravitacional GM, cuyas unidades son m³/s². La única combinación que da segundos es √(a³/GM): la tercera ley de Kepler, con su exponente y todo, a partir de las unidades. La tabla de escalado de la herramienta orbital period tool muestra la consecuencia directamente: duplica el eje y el periodo aumenta en 2,83, que es 23/2. El análisis dimensional predice ese exponente de forma exacta. No predice el 2π, que es de nuevo lo que se interpone entre la forma y la respuesta.
Escape. Una velocidad a partir de G, M y R: √(GM/R) es la única opción. La velocidad de escape real es √(2GM/R), por lo que el método lo proporciona todo salvo un √2, y nos regala el hecho de que escapar es solo un 41% más rápido que orbitar, ya que los factores faltantes difieren exactamente en esa proporción.
Tres leyes, tres formas correctas, tres números puros faltantes. Este patrón es la firma del método.
Por qué vale la pena hacerlo de todos modos
Buckingham formalizó esto en 1914 como el teorema de π: una relación entre n magnitudes formadas a partir de k unidades independientes siempre se puede reescribir como una relación entre n − k grupos adimensionales. El péndulo tiene tres magnitudes y dos unidades, por lo que solo sobrevive un grupo, razón por la cual la respuesta era obligada y no una mera sugerencia. Ese es todo el contenido de la técnica, y por ello el argumento del péndulo no podía haber llevado a ningún otro sitio.
De aquí se derivan tres aplicaciones prácticas.
Permite comprobar el álgebra. Si se deduce un periodo y en el resultado aún quedan metros, se ha cometido un error, y eso se sabe antes de contrastar nada con la realidad.
Indica qué conviene modificar. El argumento del péndulo demuestra que la masa no importa; por tanto, un experimento que mida minuciosamente el periodo en función de la masa de la plomada no está midiendo nada, y su resultado ya se conocía antes de montar el dispositivo.
Y permite escalar modelos. El modelo de un barco en un tanque resulta inútil a menos que los grupos adimensionales coincidan con los del barco a tamaño real, motivo por el cual los ensayos navales se organizan en torno a los números de Froude y Reynolds en lugar de hacerlo en torno a las longitudes. Los grupos son los que se transfieren entre el modelo y el objeto real; las unidades son las que señalan qué grupos existen.
El método proporciona el esqueleto de una ley a cambio únicamente de listar de qué depende. Solo conviene no olvidar que el número que encabeza la fórmula —el 2π, el √2, el ½— no forma parte del esqueleto, y debe proceder de la física.