Tiirlemisperioodi kalkulaator

T = 2π√(a³/GM): Kepleri kolmas seadus seob orbiidi suuruse ja perioodi

Näidisarvutus — Tiirlemisperioodi kalkulaator

Tiirlemisperiood	1.54 h

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kõrgus ei määra tiirlemisperioodi 🖖

Väli kannab nime suur pooltelg põhjusega: ekstsentrilisus ei esine valemis T = 2π√(a³/GM) üldse. Sisesta 42 164 km ja tööriist annab 23,94 h – geostatsionaarse ringi. Ellips, mis läheneb perigees 6 771 km-ni ja kaugeneb apogees 77 557 km-ni, omab sama suurt pooltelge ja annab seega samad 23,94 h – kuigi see läbib madalaima punkti kiirusega 10,41 km/s ja roomab kõrgeimast punktist läbi kiirusega 0,91 km/s. ISS, ringorbiidil samal 6 771 km kaugusel, on tagasi 1,54 h pärast.

Tiirleva keha mass taandub välja 🖖

Valemis T = 2π√(a³/GM) esineb M, keskkeha mass, kuid mitte satelliidi oma. Sulg ja täislaaditud kosmosejaam samal kõrgusel tiirlevad ümber Maa täpselt sama aja jooksul. Tiirlemisperiood sõltub ainult raja suurusest ja sellest, mille ümber tiireldakse, mitte kunagi sinu enda massist.

Tunnel läbi Maa peab orbiidiaega 🖖

Lase kuul kukkuda hõõrdevabasse tunnelisse, mis läbib Maad otse: see jõuab teisele poole ja tuleb tagasi umbes 84.5 minutiga. Just selline on Maa pinda riivava satelliidi tiirlemisperiood. Mõlemat juhib sama √(R³/GM), nii et 'gravitatsioonirong' ja madalaim võimalik orbiit jagavad ühte kella.

Ülesanne täielikult lahendatud

Ühe tiiru aeg ISS-il lennates 400 km maapinnast kõrgemal 5 sammu
ISS lendab 400 km kõrgusel maapinnast. Leidke, kui kaua kestab üks tiir, ning seejärel leidke lühim orbiit, mida Maa üldse võimaldab. See on olek ISS — pikem pooltelg 6771 km ümber Maa — kus G = 6,674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², M = 5,972 × 10²⁴ kg ja Maa raadius R = 6371 km.
1. Ringorbiit on tasakaal: gravitatsioon tagab täpselt sellise kesktõmbejõu, mida ringliikumine vajab, ei rohkem ega vähem. Satelliidi enda mass taandub sellest võrrandist välja, mistõttu lahtine polt ja kosmosejaam, kust see ära kukkus, liiguvad kõrvuti edasi.
  
  $\frac{GM m}{a ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{a} ⟹ v = \frac{GM}{a}$
2. Periood on teepikkuse ja kiiruse suhe, kui kiirus on teada. Tulemusse ei jää satelliidist midagi järele — ainult orbiidi suurus ja planeedi mass, ning need kaks ilmuvad korrutatuna kujul GM. See korrutis ongi see, mida orbiidid mõõdavad; G ja M on eraldi teada märgatavalt väiksema täpsusega.
  
  $T = \frac{2 π a}{v} = 2 π \frac{a ^{3}}{GM}, GM = (6.674 \times 1 0^{- 11}) (5.972 \times 1 0^{24}) = 3.986 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$
3. 6771 km on Maa raadius 6371 km pluss 400 km kõrgust, sest a-d mõõdetakse kera keskmest, mitte kunagi maapinnast. Ühte ööpäeva mahtub viisteist ja pool sellist tiiru — 86 400/5545 = 15,58 — ning ülejäänud 0,58 on põhjus, miks jaam ületab igal läbimisel erinevat maapinna riba, selle asemel et korrata täpselt sama teekonda.
  
  $T = 2 π \frac{( 6.771 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 5545 s = 1 h 32 m 25 s = 1.54 h$
4. Valemi ainus seos kaugusega on a^3/2, seega kahe perioodi suhte jaoks pole vaja ei G-d ega M-i. See on Kepleri kolmas seadus ja just seepärast saab ülaltoodud skaalatabeli koostada pelgalt kordajatest: neli korda suurem pikem pooltelg tähendab täpselt kaheksa korda pikemat perioodi mis tahes planeedi mis tahes satelliidi korral.
  
  $T \propto a^{3/2} : 2^{3/2} = 2.83, 4^{3/2} = 8 ⟹ 8 \times 1.54 = 12.32 h$
5. Nüüd viigem orbiit allapoole. Tingimuse a = R all pole enam ühtegi orbiiti võimalik omada, seega määrab see raadius perioodile alampiiri — ja kasulik käik on kirjutada mass enne arvutamist ruumala ja tiheduse korrutisena. R³ ilmub seejärel nii lugejasse kui ka massi M sisse ning taandub välja.
  
  $M = \frac{4}{3} π R^{3} ρ ⟹ T_{m i n} = 2 π \frac{R ^{3}}{GM} = \frac{3 π}{Gρ} : ρ_{\oplus} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = 5513 kg m^{- 3} \Rightarrow 5061 s = 84.4 min$
Vastus

Tööriist kuvab ISS-i jaoks 1,54 h ja neljakordse pikema pooltelje korral 12,32 h, mis on kordaja täpselt 8, sest 4^3/2 = 8, ning kahekordistumisel ×2,83, sest 2^3/2 = 2,828. Samm 5 on osa, mida see ei arvuta: miski ei saa tiirelda ümber Maa vähema kui 84,4 minutiga, ning selle alampiiri määrab Maa keskmine tihedus 5513 kg/m³ ega miski muu. Saturn on Maast üheksa korda laiem, kuid selle pilvepiiri riivaval kosmoselaeval kulub ööpäeva asemel 4,0 tundi, sest Saturni keskmine tihedus on 687 kg/m³ — kaheksandik Maa omast. Seega on kiireim võimalik orbiit selle all oleva pinnase mõõtmine: mõõtke madala satelliidi tiirlemisaeg ja te olete kaalunud planeedi ruumalühiku kohta, ilma et peaksite kunagi teadma, kui suur see on.

$T_{m i n} = \frac{3 π}{Gρ} ρ = 687 kg m^{- 3} \Rightarrow T_{m i n} = 3.98 h$

Õpitee

Orbiidid kahe arvu põhjal

Viib edasi Hohmanni üleminek ühe täistiiru tegemiseks kuluva aja ainuüksi pikema pooltelje põhjal.

Allikad (1)

Insight block 3 — the gravity train sharing a clock with the lowest orbit: P. W. Cooper, "Through the Earth in Forty Minutes." American Journal of Physics 34(1), 68–70, 1966.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

ISS - ISS ~400 km kõrgusel: T ≈ 92 min — tiirleb ümber Maa 16 korda päevas
GPS-satelliit - GPS satelliidid: T ≈ 12 h — iga satelliit teeb ühe tiiru kaks korda päevas
Geostatsionaarne - Geostatsionaarne orbiit: T ≈ 24 h — näib püsivat paigal ühe Maa punkti kohal
Kuu - Kuu ümber Maa: T ≈ 27.3 päeva — sellest pärineb sõna "kuu" (kalendriühik)
Merkuur - Merkuur ümber Päikese: T ≈ 88 päeva — kiireim planeet
Maa (ümber Päikese) - Maa ümber Päikese: T ≈ 365.25 päeva — määrab aasta pikkuse
Marss (ümber Päikese) - Marss ümber Päikese: T ≈ 687 päeva — peaaegu kaks Maa-aastat