Tsiolkovski rakettivõrrand

Δv = Isp · g₀ · ln(m₀/mf) — võrrand, mis valitseb kosmoselendu

Algväärtused — Tsiolkovski rakettivõrrand

Eriimpulss (Isp, s)	311
Massisuhe (m₀/mf)	4.5

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

rakettivõrrandi türannia 🖖

Iga kasuliku koormuse kilogramm vajab kiirendamiseks kütust — kuid sellel kütusel on ise mass, mis vajab veel rohkem kütust. Kulu kasvab eksponentsiaalselt. Delta-v kahekordistamiseks tuleb massisuhe ligikaudu ruutu tõsta. Seetõttu kaalus Saturn V stardil 2900 tonni ja toimetasti Kuule vaid 45 tonni. Vaata animatsiooni: süütimisel domineerib kütusepaak kogu raketti; põlemise lõppedes ei jää peaaegu midagi järele.

Miks raketid paiskavad massi tahapoole 🖖

Raketil pole midagi, mille vastu tõugata, seega liigub ta kütust tahapoole paisates: iga tagasi paisatud kilogramm väljavoolukiirusel v_e lükkab laeva ettepoole (Newtoni kolmas seadus). Kui need tõuked kokku liita, samal ajal kui laev üha kergemaks muutub, tekibki logaritm. Praktiline õppetund: kui kiiresti sa heitgaasi välja paiskad — mida mõõdab eriimpulss — loeb rohkem kui see, kui palju kütust kaasas on; v_e kahekordistamine kahekordistab Δv täpselt sama massisuhte juures.

Võrrand peab vastu ka relatiivsusteoorias 🖖

Asenda Newtoni Δv kiirusparameetriga — relativistliku suurusega, mis liitub endiselt lineaarselt — ja täpselt sama massisuhte logaritmi kuju kehtib mis tahes kiirusel. Nii ei ole raketi Δv-varul lage, kuigi selle kiirus ei saa kunagi ulatuda c-ni. Konks on julm: aine-antiaine footonrakett (v_e = c) vajab kiiruse 0.9c saavutamiseks massisuhet ligi 4.4, ja edasi-tagasi reis, mis mõlemas otsas ka pidurdab, tõstab selle neljandasse astmesse — üle 350.

Ülesanded täielikult lahendatud

Orbiidile jõudmine massisuhtega 4,5 ja eriimpulsiga 311 s 5 sammu
Raketiaste kannab iga 1 tonni muu massi kohta (mahutid, mootor ja kasulik koormus kokku) 3,5 tonni kütust ning selle mootori erimpulss on 311 s. Leidke selle Δv ja tehke kindlaks, kas selliselt ehitatud üheastmeline rakett võiks kunagi orbiidile jõuda. See täis- ja tühimassi suhe tähendab massisuhet 4,5 ning 311 s on tööriista Saturn V esimese astme eelseadistuses kasutatav näitaja — petrooleumi-hapniku vahemiku ülaosa lähedal, mis ulatub umbes 260 s-st merepinnal kuni 310 s-ni vaakumis.
1. Sekundites esitatud erimpulss on tegelikult peidetud väljavoolukiirus: see on väljavoolukiirus jagatuna standardse raskuskiirendusega, mistõttu selle tagasikorrutamisel saadakse arv, mida raketivõrrand tegelikult vajab. Sekundeid kasutatakse seetõttu, et näitaja tuleb siis sama ka inglise mõõtühikutes, mitte sellepärast, et miski kestaks 311 s.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.80665 = 3050 m/s$
2. Logaritm võtab suhte, mistõttu on olulised vaid proportsioonid. Nendes proportsioonides ehitatud 3-tonnine aste ja 3000-tonnine aste annavad sama 4,587 km/s.
  
  $Δ v = v_{e} ln (\frac{m _{0}}{m _{f}}) = 3.050 \times ln 4.5 = 3.050 \times 1.5041 = 4.587 km/s$
3. Tõlgendage sama massisuhet pigem stardimassi osakaaluna. Peaaegu neli viiendikku astmest on kütus ning see katab vähem kui poole sellest, mida orbiidile lennutamine nõuab.
  
  $f_{p} = 1 - \frac{m _{f}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 77.78%$
4. Seega rakendage võrrandit sihdist tagasisuunas. Maapinnalt madalale Maa orbiidile jõudmine nõuab takistus- ja gravitatsioonikadusid arvestades umbes 9,4 km/s ning antud väljavoolukiiruse juures määrab see vajaliku massisuhte — jättes stardimassist mahutite, mootori, konstruktsiooni ja satelliidi jaoks kokku alles 4,6%.
  
  $\frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{Δ v / v_{e}} = e^{9.4/3.050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ f_{p} = 1 - \frac{1}{21.80} = 95.4%$
5. Nii kergeid mahuteid ei ehita keegi. Hästi ehitatud petrooleumiaste moodustab täismassist umbes 8% konstruktsiooni ning juba see piirab massisuhte väärtusega 12,5 enne ühegi kilogrammi kasuliku koormuse lisamist. Mis 9,4 km/s-st puudu jääb, ongi puudujääk.
  
  $ε = 0.08 ⟹ (\frac{m _{0}}{m _{f}})_{m a x} = \frac{1}{0.08} = 12.5, Δ v_{m a x} = 3.050 ln 12.5 = 7.703 km/s (9.4 - 7.703 = 1.70)$
Vastus

Tööriist kuvab väljavoolukiiruseks 3050 m/s, 4,587 km/s ulatuses Δv-d ja kütuse osakaaluks 77,78%. Viimane samm näitabki võrrandi tegelikku mõtet, sest see ei ütle, et üheastmeline rakett oleks keeruline — see ütleb, et isegi nullse kasuliku koormuse korral pole vajalikku Δv-d lihtsalt olemas. Isegi 6% konstruktsioonimassi korral, mis on umbes parim, mida suur petrooleumiaste saavutab, küünib kogutulemus vaid 8,58 km/s-ni. Et katta 9,4 km/s ühe astmega 8% konstruktsioonimassi juures, oleks vaja erimpulssi 380 s, mis on viiendiku võrra rohkem kui sellel mootoril ning ületab kõigi kunagi lennanud petrooleumimootorite näitajad; vesiniku-hapniku mootorid saavutavad umbes 450 s, mistõttu on iga tõsine üheastmelise orbiidilesõidu uuring kasutanud vesinikku. Teine väljapääs on lõpetada tühja mahuti kaasaskandmine: heitke see ära ja võrrand algab uuesti palju väiksema m₀ väärtusega, mis teeb astmelisusest mitte optimeerimise, vaid lahenduse võimatuse ületamiseks.

$I_{s p} \geq \frac{Δ v}{g _{0} ln ( 1/ ε )} = \frac{9400}{9.807 \times 2.526} = 380 s$
Kütusekulu raketile, mis saavutab 4,587 km/s orbiidile jõudmiseks 6 sammu
Paneel ütleb, et see rakett saavutab 4,587 km/s, kusjuures 77,78 % stardimassist on kütus. Orbiit nõuab umbes 9,4. Kahekordne kiirus ei tähenda kahekordset kütust — arvuta välja, mis see tegelikult maksab, ja seejärel, kuidas sellest mööda mindi.
1. Alusta sealt, kus paneel on. Väljavoolukiirus on lihtsalt eriimpulss korda g₀, ja Δv tuleneb ainult massisuhtest.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.807 = 3050 m s^{- 1}, Δ v = v_{e} ln 4.5 = 4.587 km s^{- 1}$
2. Loe kütuseosa sõna-sõnalt: massisuhte 4,5 juures on kõik peale ühe osa 4,5-st kütus, mis minema visatakse.
  
  $\frac{m _{p}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 0.7778$
3. Nõua nüüd samalt mootorilt 9,4 km/s. Pööra raketivõrrand ümber ja massisuhe ei kahekordistu — see läheb eksponentsiaalselt, 21,80-ni.
  
  $Δ v = 9.4 km s^{- 1} : \frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{9400/3050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ \frac{m _{p}}{m _{0}} = 0.9541$
4. Vaata, mida 95,41 % tähendab, enne kui edasi lähed. Paagid, mootorid, konstruktsioon, juhtimine ja kasulik last saavad kokku 4,59 % stardimassist. See pole raske insenerieesmärk, see on umbes seebimull, mis peab starti üle elama.
5. Jaga töö siis kaheks. Iga aste teeb 4,7 km/s ja vajab massisuhet 4,669 — ja korrutatuna annavad need täpselt tagasi 21,80.
  
  $Δ v_{1} = Δ v_{2} = 4.7 : R_{1} = e^{4700/3050} = 4.669, R_{1} R_{2} = 4.66 9^{2} = 21.80$
6. Miks korrutatuna: Δv liitub, ja Δv on suhte logaritm. Logaritmide summa on korrutise logaritm.
  
  $i \sum Δ v_{i} = v_{e} i \sum ln R_{i} = v_{e} ln i \prod R_{i}$
Vastus

Astmelisus ei vähenda massisuhet. See tegurdab selle. 21,80 on ühes tükis kättesaamatu ja kahe 4,669 koopiana triviaalne, ja trikk on aus seepärast, et esimese astme tühjad paagid lakkavad olemast last sel hetkel, kui nad lahti lastakse. Iga aste on siis 78,58 % kütust — ja vaata uuesti paneeli, mis on kogu aeg näidanud 77,78 %. See eelseadistus pole rakett, mis jõuab orbiidile. See on üks aste raketist, mis jõuab.

$i \prod R_{i} = 21.80 : 95.41% ⟷ 78.58% + 78.58%$

Õpitee

Orbiidid kahe arvu põhjal

Allikad (1)

The equation itself: K. E. Tsiolkovsky, "Исследование мировых пространств реактивными приборами" ("Exploration of Outer Space by Means of Rocket Devices"). Nauchnoye Obozreniye, 1903.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Saturn V esimene aste - Isp=311s, massisuhe=4.5 → Δv≈4.6 km/s, kütuse osakaal 78%
Falcon 9 (merepinnal) - Isp=282s, massisuhe=6 → Δv≈5.0 km/s, kütuse osakaal 83%
Ioonmootor - Isp=3000s, massisuhe=12 → Δv≈73 km/s (iontõukur: väike tõukejõud, tohutu Δv)
Hobirakkett - Isp=130s, massisuhe=2.5 → Δv≈1.2 km/s, kütuse osakaal 60%