Hohmanni ülemineku kalkulaator

1-tonnine satelliit tuleb viia 300 km vaheorbiidilt geostatsionaarsele kõrgusele. Leidke mõlemad kiirendusimpulsid ning seejärel arvutage, millise osa vaheorbiidilt lahkuva sõiduki massist peab moodustama kütus. Võtke r₁ = 6671 km, r₂ = 42164 km ja Maa gravitatsiooniparameeter μ = 398600 km³/s².

1. Hohmanni ülekanne on pool ellipsist, mis puudutab täpselt mõlemat ringjoont — perigeum sisemisel ja apogeum välimisel. See määrab selle pikema pooltelje kindlaks enne igasuguse kiiruse arvutamist, sest pikem telg ulatub lihtsalt ühest orbiidist teiseni.

   $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{6671+42164}{2}=24417.5\mathrm{km}$$

2. Kõik muu tuleneb ühest võrrandist, vis-viva võrrandist, mis annab kiiruse mis tahes raadiusel mis tahes orbiidil: v² = μ(2/r − 1/a). Ringjoonel on a = r ning see taandub tuntud ringliikumise kiiruseks. Just nii kiiresti satelliit juba liigubki.

   $$v_{c1}=\sqrt{\frac{\mu }{r_1}}=\sqrt{\frac{398600}{6671}}=7.730km/s$$

3. Rakendage nüüd sama võrrandit samal raadiusel, kuid ülekandeellipsil, kus a = a_t. Satelliit asub palju suurema orbiidi madalaimas punktis, seega peab see liikuma kiiremini. Esimene kiirendusimpulss tagab täpselt selle erinevuse — mootor muudab orbiiti, mitte asukohta.

   $$v_p=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_t}\right)}=10.158km/s⟹\Delta v_1=v_p-v_{c1}=2.428km/s$$

4. Liikuge vabajooksul apogeumi ja ellipsil on kiirus oluliselt vähenenud: impulsimoment on jääv, seega kõrgemale tõusmine vähendab kiirust. Kuid ringorbiit sellel kõrgusel vajab rohkem kiirust kui ellipsil järel on, mistõttu on ka teine kiirendusimpulss kiiruse suurendamine, mitte pidurdamine. Ilma selleta langeb satelliit otse tagasi perigeumi.

   $$v_a=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_t}\right)}=1.607km/s,v_{c2}=\sqrt{\frac{\mu }{r_2}}=3.075km/s⟹\Delta v_2=1.468km/s$$

5. Rakett ei saa kulutada Δv-d otse; see kulutab massi väljavoolukiirusega määratud vahetuskursiga. Hoiustatava ülemise astme puhul, mille erimpulss on 320 s, on v_e = 320 × 9.80665 = 3.138 km/s ja Tsiolkovski teisendab kogusumma.

   $$\frac{m_0}{m_f}=e^{\Delta v/v_e}=e^{3.895/3.138}=3.46⟹\text{propellant}=1-\frac{1}{3.46}=0.711$$

Planeerite Marsi missiooni graafikut. Arvutage, kui kaua üleminek aega võtab, ning seejärel see, mis tegelikult määrab stardikuupäeva: kus peab Mars asuma teie teele asudes ja kui tihti see juhtub. Võtke Maa orbiidiks 1.000 AU, Marsi orbiidiks 1.523 AU ja Marsi aastaks 687 päeva.

1. Sama konstruktsioon mis varem, vaid ühe astme võrra suuremas skaalas: ülekandeellips puudutab Maa orbiiti periheelis ja Marsi oma afeelis, seega on selle pikem pooltelg nende kahe keskmine.

   $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{1.000+1.523}{2}=1.262\mathrm{AU}$$

2. Kepleri kolmas seadus annab seejärel perioodi otse — astronoomilistes ühikutes ja aastates konstandid kaovad ning see on lihtsalt T = a^3/2. Te lendate vaid poole ellipsist, seega jagage see pooleks. Kontrollige seda ülaloleva kalkulaatoriga: see näitab sama geomeetria põhjal selle ülemineku kestuseks 258.8 päeva.

   $$T=a_t^{3/2}=1.262^{3/2}=1.417\mathrm{yr}⟹t_{\text{transfer}}=\frac{T}{2}=0.709\mathrm{yr}=258.8\mathrm{d}$$

3. Siin on see, milleks üleminekuaega tegelikult vaja läheb. Mars ei oota saabumispunktis — selle oma orbiit peab ta sinna tooma täpselt sama aja jooksul, mille te kulutate teekonnale. Seega arvutage välja, kui kaugele ringil Mars teie lennu ajal jõuab.

   $${\theta }_{\text{Mars}}=360^{\circ }\times \frac{258.8}{687}=135.6^{\circ }$$

4. Te saabute 180° kaugusel kohast, kust alustasite. Mars läbib samal ajavahemikul 135.6°, seega peab see stardihetkel olema saabumispunktist veel erinevuse võrra maas. Kui sihite kohta, kus Mars praegu asub, saabute kuusid hiljem.

   $$\varphi =180^{\circ }-{\theta }_{\text{Mars}}=180^{\circ }-135.6^{\circ }=44.4^{\circ }$$

5. See asendite sobivus ei ole kuupäev, vaid tuikmissagedus: kaks planeeti naasevad samasse suhtelisse geomeetriasse sünoodilise perioodi järel, mis on nende nurkkiiruste erinevus.

   $$\frac{1}{S}=\frac{1}{365.25}-\frac{1}{687}⟹S=780\mathrm{d}$$