Vis-viva võrrand

Vis-viva võrrand seob kiiruse asukoha ja orbiidi kujuga. Vali keskne taevakeha ja sisesta orbiidi parameetrid.

Näidisarvutus — Vis-viva võrrand

Tiirlemisperiood	1.62 h

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sama suur pooltelg, sama energia, sama periood 🖖

Vis-viva võrrand on energia jäävus orbiidi kujul väljendatuna. Igas punktis on kogu erimehaaniline energia ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — konstant, mille määrab ainult suur pooltelg a. Kahel sama a-ga, kuid erineva ekstsentrilisusega orbiidil on sama energia ja sama tiirlemisperiood; ekstsentrilisus kujundab trajektoori, muutmata energiaeelarvet. Kiirus on suurim periapsis (väikseim potentsiaalne energia) ja väikseim apoapsis. Vabanemistrajektoor on piirjuht a → ∞, andes v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — täpselt √2 korda ringorbiidi kiirusest samal raadiusel.

Kiiruse määravad vaid kaks arvu 🖖

Vis-viva võrrand ütleb, et tiirleva keha kiirus sõltub ainult kahest suurusest: praegusest kaugusest r kesksest kehast ja orbiidi üldisest suurusest ehk pool-suurteljest a. Aseta mõlemad valemisse v = √(GM(2/r − 1/a)) ja saad kiiruse. Keha enda mass ei esine kunagi — kirjaklamber ja kosmosejaam samal orbiidil liiguvad täpselt sama kiiresti.

Nimi tähendab 'elavat jõudu' 🖖

Vis viva tähendab ladina keeles 'elav jõud' — termin, mille Leibniz 1680ndatel lõi suuruse mv² jaoks, kineetilise energia eelkäija. See vallandas aastakümnete pikkuse vaidluse Newtoni pooldajatega, kes pidasid impulssi mv tõeliseks 'liikumise mõõduks'. Mõlemal poolel oli osaliselt õigus ja selles võrrandis püsiv v² on otsene kaja Leibnizi elavast jõust.

Ülesanne täielikult lahendatud

Maa ümber tiirleva Molnija orbiidi periood ja kaks äärmuslikku kiirust 5 sammu
Molnija orbiit: suurem pooltelg 26 560 km, ekstsentrilisus 0,74, Maa ümber. Leidke selle tiirlemisperiood ja kaks äärmuslikku kiirust ning seejärel arv, mille ümber orbiit tegelikult projekteeriti — kui suur osa iga tiiru ajast veedetakse kaugel väljas. See on olek Molnija (HEO), kus μ = GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².
1. Suurem pooltelg on kahe äärmusliku raadiuse keskmine, seega lahutab ekstsentrilisus selle sümmeetriliselt kaheks. See orbiit riivab ühes otsas maapinda 535 km kõrgusel ja ulatub teises otsas 39 843 km kaugusele, mis on kaugemal kui geostatsionaarne orbiit.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 26560 \times 0.26 = 6905.6 km, r_{a} = a (1 + e) = 26560 \times 1.74 = 46 214.4 km$
2. Periood eirab seda kõike. Kepleri kolmas seadus näeb ainult suuremat pooltelge, seega võtab sellel ellipsil tiirlemine täpselt sama kaua aega kui ringorbiidil raadiusega 26 560 km — ning vastus ongi projekteerimise aluspunkt, sest 11,97 h on pool täheööpäeva. Satelliit läbib seetõttu sama maapealset trajektoori kaks korda päevas ja selle saab kindla ajakava alusel üle anda maajaamale.
  
  $T = 2 π \frac{a ^{3}}{μ} = 2 π \frac{( 2.656 \times 1 0 ^{7} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 43079 s = 11.97 h$
3. Vis-viva võrrand vajab vaid hetkeraadiust ja orbiidi mõõtmeid ning periapts tagab mõlemad. Tulemus on 93% kiirusest, mis võimaldaks sel sellelt kõrguselt Maa mõjuväljast lahkuda: väga ekstsentriline orbiit on allotsas peaaegu paokskiirusele jõudmine.
  
  $v_{p} = μ (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a}) = 3.986 \times 1 0^{14} (\frac{2}{6.906 \times 1 0 ^{6}} - \frac{1}{2.656 \times 1 0 ^{7}}) = 10.021 km/s$
4. Sama võrrand teises otsas, kus muudetud on vaid raadiust, annab peaaegu seitse korda väiksema kiiruse. See kordaja ei ole uus teave — impulsimoment rv on jääv, seega peavad kaks kiirust olema pöördvõrdelised kahe raadiusega ning raadiuste suhe oli juba määratud e abil 1. sammus.
  
  $v_{a} = μ (\frac{2}{r _{a}} - \frac{1}{a}) = 1.497 km/s, \frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{r _{a}}{r _{p}} = \frac{1 + e}{1 - e} = 6.69$
5. Aeglane liikumine ülaosas tähendab pikka aega ülaosas viibimist ning Kepleri teine seadus teeb selle täpseks: võrdsed pindalad võrdsetel aegadel, seega perioodi osa on pindala osa. Väiksem pooltelg jagab ellipsi kaheks võrdseks pooleks ja lõikab orbiiti täpselt seal, kus r = a, seega kaugemal pool Maast haaratav pindala on see pool pluss kolmnurk fookuse ja telje vahel. Nii a kui ka b taanduvad suhtest välja, mis jätab ekstsentrilisuse üksi.
  
  $\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{\frac{1}{2} π ab + ab e}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} = 0.5 + 0.2356 = 0.7355 ⟹ 0.7355 \times 11.97 = 8.80 h$
Vastus

Tööriist kuvab perioodiks 11,97 h, periaptsis 10,021 km/s ja apoaptsis 1,497 km/s. 5. samm näitabki, milleks need arvud on mõeldud: iga 11,97-tunnise orbiidi 8,80 tundi veedetakse tingimusest r = a kaugemal ning vaevalt 3,17 tundi sellest seespool. Kolm satelliiti nihutatud tasandites katavad seetõttu terve ööpäeva enam kui kahetunnise ülekattega, mis ongi viis, kuidas Nõukogude Molnija võrk tagas Põhja-Venemaale pideva televisiooni — geostatsionaarne satelliit asub nendel laiuskraadidel silmapiiril ega ole kasutatav. Ning ½ + e/π ei sisalda sümboleid μ ega a: orbiit ekstsentrilisusega 0,74 mis tahes keha ümber veedab 73,6% oma elueast teisel pool.

$\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} (a, μ cancel)$

Õpitee

Orbiidid kahe arvu põhjal

Viib edasi Tiirlemisperiood kiiruse selle ellipsi mis tahes punktis vaid kahe kauguse põhjal: asukoht ja pikem pooltelg.

Allikad (1)

The vis-viva equation and the energy-from-a alone result: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §1.4–1.6. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

LEO ringikujuline - LEO ringorbiit: v≈7.67 km/s
GEO (geostatsionaarne) - Geostatsionaarne orbiit: 3,075 km/s 42 164 km kõrgusel ning tiirlemisperiood 23,94 h, mitte 24. See on täheööpäev ehk aeg, mis kulub Maal üheks täispöördeks kinnistähtede suhtes. Sellega sammu pidamine on ainus nõue, et püsida maapinna kohal ühes kindlas punktis.
Molnija (HEO) - Kui r = a, on kiirus 3,874 km/s, ent selle orbiidi sisu avaneb äärmustes: 10,021 km/s periapsises ja 1,497 km/s apoapsises. Erinevus on 6,7-kordne. Satelliit veedab suurema osa oma 11,97-tunnisest perioodist aeglases otsas venides. Täpselt selleks Molnija orbiit loodud ongi.
Maa–Päike orbiit - Maa enda orbiit: 29,788 km/s, tiirlemisperiood 365,22 d. Ekstsentrilisus 0,017 kõlab tühisena, kuid muudab kiirust terve kilomeetri võrra sekundis. Jaanuari algul on see periheelis 30,299 km/s, juuli algul afeelis aga 29,286 km/s.