終端速度とストークスの法則

半径、材質、そして流体を選んでみてください。球がどれくらいの速さで沈むのか、そしてどの大きさで公式が成り立たなくなるのかを確認できます。

計算例 — 終端速度とストークスの法則

移動方向	沈降
ストークスの法則の予測	0.8985 m/s
球自身のレイノルズ数	895.4
2乗抵抗の予測	0.2146 m/s
ストークスの法則の適用限界となる半径	5.19 × 10⁻⁵ m
その終端速度	0.009671 m/s

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レッスン

理論 — 終端速度とストークスの法則

落下する球体は、抗力が増して流体中での重さと釣り合うと加速をやめます。この時の速度が終端速度です。ここでの重さとは重力から浮力を引いたものなので、問題になるのは密度そのものではなく密度の差になります。どの抗力の法則が当てはまるかは、その時点で球体がどの程度の速さで動いているかによります。抗力が速度に比例するというストークスの法則は、球体の周りの流れが滑らかである限り成り立ちます。

各記号の意味

Δρ: 球体の密度から流体の密度を引いた値
μ: 流体の粘性率

前提: 無限に広がる流体の中に、滑らかな剛体の球が単独で存在している。これが前提です。しかし、メスシリンダーの中ではそのどれもが当てはまりません。壁面が沈降を遅らせ、周囲の粒子は互いの流れを乱しますし、そもそも砂粒は球体ではないのです。

レイノルズ数は895.4。ストークスの法則が成り立つのはRe ≤ 1です 🖖

水中の砂粒（1 mm）を押してみてください。ストークスの法則の予測は0.8985 m/sとなります。この結果に特段おかしな点は見当たらないでしょう。砂は沈みますし、その程度の大きさの粒が秒速1メートルほどで沈むというのは、直感的にも納得できる桁数です。しかし、その下の行を見ると895.4とあります。これは、いま求めた速度で沈む砂粒自身のレイノルズ数です。ストークスの法則はクリープ流れを前提として導出されており、誤差を数パーセントに収めるにはReが1を下回る必要があります。球の後方に流れの剥離が生じるのはRe = 20あたりからです。つまり、この砂粒は後流を引いて沈んでいるのです。

公式 v = 2r²Δρg / (9η) には計算を拒むような項が含まれていません。そのため、Re = 895であろうとRe = 0.001であろうと、涼しい顔で答えを出してしまいます。一方、2乗抵抗の行には、同じ砂粒に対して4分の1の速度である0.2146 m/sという値が表示されています。ですが、この数字も決して安全ではありません。Re = 895は2つの法則の狭間の帯域に落ちており、そこではどちらの法則も正確ではなく、閉じた形の公式も存在しないのです。

境界は立方根で決まり、グラフはそれを網掛けで示します 🖖

ストークスの法則による速度をレイノルズ数の式に代入すると、半径の単一の累乗にまとまり、Re(r) = 4gρ_fΔρr³ / (9η²) となります。これを1と置けば、r³ = 9η² / (4gρ_fΔρ) として半径が求まります。Reはrに対して単調増加するため、正の根はただ一つだけ存在し、探索の必要はありません。水中の石英砂の場合、その半径は5.19 × 10⁻⁵ mであり、沈降速度は0.009671 m/sとなります。Re = 1 境界上の砂を押すと、レイノルズ数の行は1.0000になります。この基礎となる流体抵抗をストークスが導いたのは1851年。振り子が真空中と空気中で異なる揺れ方をするのはなぜか、という論文の中でのことでした。球に関する結果は、実は副産物にすぎなかったのです。

グラフでは、この半径を赤い境界線で示し、それ以降の領域を網掛けにしています。2つの予測は定義域の全体にわたって描かれていますが、両対数グラフ上ではその傾きが異なります。ストークスの法則が2であるのに対し、2乗抵抗は½です。そのため、2つの直線は一度だけ交差して、そこから両側へと引き離されていきます。流体をはちみつに変更してみてください。赤い境界は0.02360 mまで右へスライドします。はちみつの粘度は水の1万倍もあるため、半径2.4 cmの砂の玉でさえ、クリープ流れのまま沈んでいくのです。

速度はr²、レイノルズ数はr³に比例します 🖖

2つの公式の r の累乗に注目してみてください。ストークスの速度は r² に比例するため、粒の大きさが10倍になれば沈降速度は100倍になります。レイノルズ数はその速度に直径をもう一度掛けるため、結果として r³ に比例することになります。つまり、10倍の大きさになればレイノルズ数は1000倍になるというわけです。スライダーを動かして、この2つの行を観察してみてください。水中の半径5 µmの砂は、Re = 8.95 × 10⁻⁴で8.98 × 10⁻⁵ m/sの速度で沈みます。これが50 µmになると、Re = 0.8954で0.008985 m/sで沈むようになります。

この3乗という性質こそが、法則が適用できる範囲をこれほど急激に狭めている理由です。水中の砂は、5.19 × 10⁻⁵ mでストークスの法則の適用範囲から外れ、5.19 × 10⁻⁴ mでニュートン域に到達します。1000は10³ですから、これはちょうど1桁分の変化に相当します。直径に換算すると0.104 mmから1.04 mmとなり、ウェントワースの粒度階級で言えば極細粒砂から極粗粒砂までの範囲に当たります。遷移帯の全体が、スライダーのわずか1桁分の中にすっぽりと収まってしまうのです。

全プロセスの詳細解説

石英の粒が2 mの静水を沈降するのにかかる時間 7 ステップ
水中の砂粒（1 mm）を押してみてください。ストークスの法則は0.8985 m/sという答えを出しますし、あなたがどんな粒を入力しても答えを返してきます。しかし、その答えは本当に正しいのでしょうか。もし正しくないのなら、法則が適用できる最も粗い粒を見つけ出し、その粒が2 mの静水の柱を沈みきる時間を計算してください。

この問題をツールで開く
1. 1回の引き算が、この先のすべての計算の基盤になります。石英の密度は2650 kg/m³、20 °Cの水は998.2 kg/m³です。粒は自身が押しのけた水よりも重いため、移動方向の行は沈降になります。粒を下へと引っ張るのは、粒自身の密度ではなく、この密度の差です。同じ粒を1261 kg/m³のグリセリンに入れると、沈降を促すこの数値は1651.8から1389へと減少します。ストークスの法則はこの値に正比例します。少し下にある2乗抵抗の公式は、この値の平方根に比例します。
  
  $Δ ρ = ρ_{s} - ρ_{f} \Rightarrow 2650 - 998.2 = 1651.8 kg m^{- 3}$
2. 終端速度に達すると正味の力はゼロになるため、重力から浮力を引いたものが流体抵抗と等しくなります。ストークスの法則はこの抵抗を6πηrvとして扱います。これをvについて解き直したものが、ストークスの法則の予測の行です。公式には半径が必要なので、直径1 mmの粒は5×10⁻⁴ mとして入力されます。ツールは0.8985 m/sと出力します。
  
  $v = \frac{2 r ^{2} Δ ρ g}{9 η} = \frac{2 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.8985 m s^{- 1}$
3. では、そもそも公式がこの答えを出すことは許されていたのでしょうか。ストークスがこれを導出したのはクリープ流れに対してであり、流れがクリープしているかどうかを判定するのは、いま計算したばかりの速度から導かれる、粒自身のレイノルズ数です。そこに含まれる代表長さは直径2rですが、ここでよく2倍の係数が見落とされがちです。球自身のレイノルズ数は上限である1に対して895.4を示しており、領域の行には粒が落ち込んだ帯域の名前が記されています。すなわち、遷移域（1 < Re ≤ 1000）です。この領域では正確な閉形式は存在せず、エンジニアは代わりに経験的な相関式に頼ることになります。
  
  $R e = \frac{ρ _{f} v ( 2 r )}{η} = \frac{( 998.2 ) ( 0.8985 ) ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} )}{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 895.4 \Rightarrow 1 < R e \leq 1000$
4. もうひとつの教科書的な公式は2乗抵抗で、滑らかな球の場合はC_d ≈ 0.47となります。こちらはRe = 1000からおよそ2×10⁵までの範囲で正確な値を返します。2乗抵抗の予測は0.2146 m/sとなっています。たったひとつの粒に対して2つの公式があり、それぞれの答えには4.19倍の開きがあります。そして、この粒はどちらの公式の適用範囲からも外れているのです。どちらの数値も、1 mmの砂粒の沈降速度ではありません。
  
  $v_{N} = \frac{8 r g ∣ Δ ρ ∣}{3 C _{d} ρ _{f}} = \frac{8 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ( 9.80665 ) ( 1651.8 )}{3 ( 0.47 ) ( 998.2 )} = 0.046035 = 0.2146 m s^{- 1} \frac{0.8985}{0.2146} = 4.187$
5. そこで、このページが正しく答えられる粒を探してみましょう。ストークスのvをレイノルズ数の式に代入すると、半径だけの関数が残ります。これはr³に比例するため単調増加となり、Re = 1となる正の根はただ一つだけ存在します。わざわざ探索アルゴリズムを回さずとも、直接書き下すことができるのです。ストークスの法則の適用限界となる半径には、5.19×10⁻⁵ mと表示されます。これは直径0.104 mmの粒であり、誰もが砂と呼ぶ範囲の最も細かい端に位置しています。
  
  $R e (r) = \frac{4 g ρ _{f} Δ ρ r ^{3}}{9 η ^{2}} = 1 \Rightarrow r_{m a x} = 3 \frac{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4 ( 9.80665 ) ( 998.2 ) ( 1651.8 )} = 3 1.3960 \times 1 0^{- 13} = 5.1875 \times 1 0^{- 5} m$
6. その終端速度には0.009671 m/sと表示されます。丸められていない根をその行に適用してみてください。もし51.8 µmを入力すると0.009643 m/sが返り、半径と速度が同じ曲線上に乗らなくなってしまいます。この境界上の粒の沈降速度は、ストークスの法則が1 mmの粒に対して主張した速度の93分の1であり、ツールの出番はここで終わりです。2 mをこの速度で割ると、粒が沈みきるには206.8秒、つまり3分27秒かかります。このページのどの行にも、時間は表示されていません。
  
  $v (r_{m a x}) = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.009671 m s^{- 1} t = \frac{2}{0.009671} = 206.8 s$
7. この割り算は、手を離した瞬間に粒がすでに0.009671 m/sに達していると仮定しています。沈降を m·dv/dt = W_b − 6πηrv と線形化すると、終端速度への接近は時定数 τ = m/(6πηr) の指数関数になります。質量を書き下せば、これは 2r²ρ_s/(9η) となります。粒自身の慣性だけを考慮した場合、これは1.582ミリ秒になり、加速中に失われる距離は vτ = 15.3 µm となります。これは水柱全体の100万分の8にも満たない距離です。押しのけられた水の慣性を加えると τ は1.88 msに増えますが、それでもストップウォッチで計れるような差は生まれません。
  
  $τ = \frac{2 r _{m a x}^{2} ρ _{s}}{9 η} = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 2650 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 1.582 \times 1 0^{- 3} s v τ = 0.009671 \times 1.582 \times 1 0^{- 3} = 1.530 \times 1 0^{- 5} m$
解答

ストークスの法則が水中の石英に適用できるのは半径51.9 µmまでであり、その粒は2 mを沈降するのに3分27秒かかります。最初に考えた1 mmの粒に対しては、何の答えも得られません。2つの公式はそれぞれ2.2秒と9.3秒という値を出しますが、どちらを信じるべきか、このページからは何も分からないのです。

この206.8秒という時間が、沈降管をひとつの計測機器に変えてくれます。シルトのサンプルを静水に混ぜ合わせ、一定時間後に決まった深さからピペットで吸い取ると、ストークスの法則がその時間を粒子の大きさに変換します。これがピペット法であり、土壌中のシルトや粘土の割合を測定するのに現在でも使われている方法です。この方法が機能するのはReが1を下回っている間だけであり、水中の石英であれば半径が約52 µm未満である必要があります。それを超えると、測定時間の再現性は完璧であるにもかかわらず、算出される粒子の大きさは間違ったものになってしまうのです。

$t = \frac{h}{v} = \frac{9 η h}{2 r ^{2} Δ ρ g}$

参考文献 (1)

Where the drag on a slow-moving sphere comes from — a paper about pendulums: G. G. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 1851, pp. 8–106.

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