浮力とアルキメデスの原理

水槽に浮かんだボートと、船上か水中に置かれる貨物のブロック。このページでは、ボートが沈み込む深さ、水位、そして貨物をボートから降ろしたときに水位がどれだけ変化するかを計算します。

計算例 — 浮力とアルキメデスの原理

ボートが浮かべている質量	160.0 kg
ボートが押しのけた液体	160.29 L
船体にかかる浮力	1,569.6 N
船体の沈み込み（喫水）	100.2 mm
船上から貨物が押しのけた液体	40.07 L
水槽の底からの水位	1.0267 m
貨物を船外へ出した時の水位変化	−5.83 mm
その時にボートが浮き上がる高さ	25.0 mm

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 浮力とアルキメデスの原理

アルキメデスの原理：流体の中にすべて、または一部が沈んでいる物体は、それが押しのけた流体の重さに等しい上向きの力（浮力）を受けます（F_b = ρgV）。この力は圧力の差から生まれます。物体の底は上部よりも深いため、液体は底の方をより強く押すのです。水没している部分にかかる浮力が物体の重さと等しくなる時、物体は浮きます。したがって、水に浮く物体はまさに自身の質量と同じだけの液体を押しのけます。沈む物体は自身の体積以上を押しのけることができず、浮力で支えきれなかった分の重さは底にかかります。このページにあるすべての数値は、この二つの文章のいずれかで説明できます。

各記号の意味

ρ: 液体の密度 (kg/m³)。20 °Cの淡水は998.2、海水は1,025
V: 押しのけられた液体の体積 (m³)。千リットルは一立方メートルです
F_b: 浮力（ρgV）、単位はニュートン。浮いている物体の場合、これは物体の重さと等しくなります
d: 喫水（船体が沈み込む深さ）。質量を「ρ × 船底の面積」で割った値
A_t: 水槽の底面積。水面下に体積が追加されると、その体積をA_tで割った分だけ水位が上昇します
A_b: 船底の面積（平らな底の部分の面積）

前提: 平らな底と垂直な側面を持つ箱型の船体と、垂直な側面を持つ水槽を想定しています。そのため、体積を面積で割ればそのまま高さになります。液体は静止しており、圧縮されず、密度は全体で均一です。沈んだブロックは底面に横たわる立方体であり、船体には触れず完全に水没しているものとします。水が浅すぎてブロックが隠れない場合は、結果欄にその旨が表示されます。解け水は20 °Cの淡水と同じ密度を持ち、海水と混ざってもその体積を維持すると仮定します。NoerdlingerとBrowerの計算値は約2.6%ですが、このページでは2.68%となっています。この違いは密度と混合の扱いに由来しており、本ページではそれらを単純化して扱っています。松の密度は代表的な値として500 kg/m³を用いていますが、水に浮く木材であればどんなものでも結果はゼロになります。
成り立たない場合: 船体が箱型でない場合、この単純な計算は成立しません。実際のボートは深さによって水線面積が変わるため、喫水は船体の形状を積分して求める必要があり、ボートの浮き上がりも単純な比率にはなりません。ただし、池の水位変化は体積のみに依存するため影響を受けません。また、船体の周囲の隙間が一、二ミリメートルといった極小のスケールになると、表面張力の影響で「狭い水槽」の計算結果から外れてしまいます。一方、圧縮率はこの程度の深さでは何の影響も与えません。数メートルの水圧による圧縮は、このページに表示されるどの数値よりもはるかに小さなものです。そして、水が入り込んでしまったボートはもはやボートとして機能しません。そのため、沈み込みが船体の深さを超えた場合、このページでは沈没の過程を計算するのではなく、浸水したと判定します。

いかりを水中に沈めると池の水位は下がる 🖖

ボートの上のいかりを押し、次に底に沈んだいかりを押してください。ボートの上では、いかりは船体と共に浮いています。水に浮いている物体は自身の質量と同じだけの水を押しのけるため、40 kgのいかりは40.07リットルを押しのけます。しかし底に沈むと、自身の体積の分しか水を押しのけません。7,874 kg/m³の鉄の場合、これは5.08リットルです。失われた約35リットルが6 m²の池全体に影響し、水面を5.83 mm下げます。これと同時にボートは25.0 mm浮き上がり、人間の目はその動きについ引き付けられてしまいます。結果の下にある表では、同じ40 kgを六つの材質で計算しています。松と氷は何も変化を起こしません。最も密度の高い金は水位を6.33 mm下げ、これは40.07リットルすべてがなくなった場合の6.68 mmに近い値です。

氷が解けるとコップの水位は変わらないが、海面は上昇する 🖖

淡水に浮かぶ氷は自身の質量と同じ水を押しのけ、解けるとまさにその質量の水になるため、水位は変わりません。ブロックの大きさがどれほどであっても、ツールは0.000 mmと出力します。しかし、海水ではこの二つは一致しなくなります。海水に浮かぶ氷は、195.12リットルの海水をしのけて200 kgの氷を浮かべています。これが解けると200 kgの淡水になりますが、淡水は海水よりも密度が低いため、体積は2.68%大きくなります。その結果、水位は0.873 mm上昇します。この計算のどこにも氷の密度は登場せず、関わっているのは二種類の水だけです。NoerdlingerとBrowerは、2007年に実際の海についてこの計算を行いました。彼らはこの増加分を約2.6%とし、すべての海氷と棚氷が解けた場合、海面は約4 cm上昇すると推定しました。

1トンのボートは50 kgの水で浮かぶ 🖖

船体にかかる浮力は、底面の圧力に面積を掛けたものです。この圧力はρghで表され、周囲にどれだけの水があるかではなく、船体がどれだけ沈み込んでいるかによって決まります。そのため、ボートが浮かぶには、周囲の隙間を喫水線まで満たすだけの水があれば十分なのです。狭い水槽の一トンの設定では、底面積2.1 m²の水槽に船底2 m²の1,000 kgのボートを入れます。これを浮かせる最小限の水はわずか50.00 kgです。これをボートの質量で割ると5.0%になりますが、これは船底の面積に対する隙間の面積の比率（0.1 ÷ 2）と一致し、密度や重さはすべて相殺されています。深さと圧力のページでも、これと同じことを下からの視点で示しています。底面にかかる力はその上にある水深によって決まるため、細い管に入った水は自身の重さの約十倍の力で底面を押すことになります。

全プロセスの詳細解説

ロープでいかりを降ろす。池の水位が下がるのはいつか？ 5 ステップ
最初のプリセットである、6 m²の池に浮かぶ120 kgの手漕ぎボートと40 kgの鉄のいかりを想像してください。いかりを水中に投げ込むのではなく、ロープでゆっくりと降ろします。いかりが底には着かず、完全に水中にぶら下がった状態にした後、底に沈ませます。ぶら下がっている間、水位は変わるでしょうか？そして、底に触れた時、水位はどれくらい変化するでしょうか？続きを読む前に考えてみてください。

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1. まずはすべてが船上にある状態から始めます。ボートは合計160 kgを浮かべているため、160 kgの水を押しのけます：
  
  $V_{1} = \frac{120 + 40}{998 . 2} = 0.16029 m^{3} = 160.29 L$
2. いかり自身の体積。そしてそれが水中に没した時にかかる浮力は、5.07 kgの水が持つ重さに相当します：
  
  $V_{a} = \frac{40}{7874} = 0.00508 m^{3} ρ V_{a} = 998.2 \times 0.00508 = 5.07 kg$
3. ロープでぶら下がっている時、いかりは水とロープの両方によって支えられています。残りの重さをロープが負担します：
  
  $T = (40 - 5.07) g = 34.93 kg \times 9.81 = 342.65 N$
4. その張力がボートを下に引っ張るため、ボートが浮かべている重さは154.93 kgになります。船体が押しのける水といかりが押しのける水を足してみましょう：
  
  $V_{2} = \frac{120 + 34 . 93}{998 . 2} + 0.00508 = 0.15521 + 0.00508 = 0.16029 m^{3} = V_{1}$
5. 合計すると、すべてが船上にあった時の数値と完全に一致します。では、いかりを底に沈ませます。ロープが支えていた34.93 kgは水槽の底が負担し、ボートは自身の120 kgだけを浮かべることになります。その結果、水が支える重さはこれだけ減ることになります：
  
  $V_{3} = \frac{120}{998 . 2} + 0.00508 = 0.12530 m^{3} Δ h = \frac{V _{3} - V _{1}}{A _{t}} = \frac{0 . 12530 - 0 . 16029}{6} = - 5.83 mm$
解答

いかりがぶら下がっている間は何も変化しません。水は、船体といかりの両方を通じて、いかりが船上にあった時と全く同じように160 kgすべてを支えているからです。いかりが底に触れた瞬間、水位は5.83 mm下がります。それまで水が支えていた34.93 kgを、底が支えるようになるためです。水位を決めるのは「誰がその重さを支えているか」であり、船外に出すという行為そのものが水位を変えるわけではありません。

$V_{2} = V_{1} \Rightarrow Δ h = 0 V_{3} < V_{1} \Rightarrow Δ h = - 5.83 mm$

参考文献 (3)

The principle in Archimedes' own two halves: Proposition 5, a floating solid sinks until it displaces its own weight of fluid, and Proposition 7, a solid heavier than the fluid goes to the bottom and weighs less there by the weight of the fluid it displaces: T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes. Cambridge University Press, 1897. On Floating Bodies, Book I, Propositions 5-7, pp. 257-258.
Why melting floating ice raises the sea, and by about how much: meltwater takes up about 2.6% more room than the seawater the ice displaced, and melting all sea ice and floating ice shelves would raise sea level about 4 cm: P. D. Noerdlinger and K. R. Brower, "The melting of floating ice raises the ocean level." Geophysical Journal International 170(1), 2007, pp. 145-150. DOI 10.1111/j.1365-246X.2007.03472.x
The density of ice, 916.72 kg/m³ at its normal melting point, from the international equation of state for ordinary ice: International Association for the Properties of Water and Steam, Revised Release on the Equation of State 2006 for H2O Ice Ih, IAPWS R10-06(2009). Doorwerth, The Netherlands, September 2009. Table 6.

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