深さと圧力

容器、深さ、液体の種類を選択してください。底面にかかる圧力、その圧力が底面に及ぼす力、そしてその力が上にある液体の重量とどう違うのかを計算します。

計算例 — 深さと圧力

液体の密度	998 kg/m³
底面の圧力	4.896 kPa
底面積	0.0314 m²
液体が底面に及ぼす力	153.8 N
容器の容量	15.708 L
液体の重量	153.8 N
力 ÷ 液体の重量	1.000
鉛直な壁にかかる力（幅1 mあたり）	1,224.0 N/m

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レッスン

理論 — 深さと圧力

圧力とは、力がある面積に分散したものであり、p = F/A で表されます。単位はパスカルを用い、1パスカルは1 m²あたり1 Nの力に相当します。静止している液体において、水面から深さ h の位置での圧力は p = ρgh となります。ここで、ρは液体の密度、gは9.81 m/s²です。この公式に何が欠けているかに着目してください。面積も、体積も、容器に関する情報も含まれていません。このページで説明している三つの性質はすべて、これらの要素が存在しないことに由来しています。また、ここで扱っている圧力はすべてゲージ圧です。これは、液面をすでに押している圧力に対して、液体そのものが上乗せする圧力を意味します。

各記号の意味

p: 圧力（パスカル）。1 Pa = 1 N/m² であり、キロパスカルはその千倍を表します
ρ: 液体の密度（kg/m³）。このページの計算に登場する唯一の液体の性質です
h: 水面からの深さ（メートル）。容器の高さでも液体の量でもなく、深さそのものです
A: 力が加えられる面積（m²）。圧力と面積を掛けることで力が求まります
g: 9.81 m/s²。これにより ρgh の計算結果がパスカルになります

前提: 液体が静止しており、密度がどこでも一定であるという前提を置いています。水槽内の水であればどちらも満たされますが、大気には当てはまりません。このページで気体ではなく液体を扱っているのはそのためです。また、すべての数値から大気圧を除外しています。空気は液面を押し下げると同時に、容器の底面を下から上へと等しく101 kPaで押し上げているため、底面にかかる力に大気圧が現れることはありません。プールで使う水深計も同じ仕組みで測定されるため、ここで示された数値は実際に観測される値と一致します。
成り立たない場合: 液体が動き出すと、この前提は崩れます。水流のある管はこれではなくベルヌーイの定理に従うため、流体が自身の速度によって失う圧力の計算はベルヌーイの定理とベンチュリ効果の領域になります。圧縮性流体もまた前提を崩す要因です。空気は高度が約5.5 km上がるごとに密度が半分になるため、大気を数十メートル以上扱う場合、一定のρを用いた ρgh の式は成り立ちません。極端に小さな容器でも同様です。幅1 mm程度の管の中では、表面張力によって液体が引き上げられたり押し下げられたりしますが、このページではその高さの変化をまったく考慮していません。さらに、ここで扱う壁面への力はまっすぐな鉛直の壁の1 mあたりの値です。湾曲したアーチダムは、谷の斜面にアーチ状に力を逃がすことで負荷を分散させますが、これはまったく異なる計算によるものであり、アーチダムを薄く作ることができる理由でもあります。

四つの容器、42倍の水量、ひとつの値 🖖

末広がり、68リットル を押し、続いて 円盤上の管、1.6リットル を押してみてください。底面も同じ、水深半メートルも同じ。それでも、体積は42倍も違います。しかし圧力はどちらも 4.896 kPa を示し、底面にかかる力もどちらも 153.8 N です。p = ρgh に含まれるのは深さと密度だけであり、どちらも壁のことなど知らないからです。下の表は四つの容器を同時に動かします。残りの列が動く中で、二つの列だけがじっと動かない様子を確かめてみてください。

液体の重量よりも大きな力を支える底面 🖖

細管付き円盤の容量は1.606リットル、つまり約1.6 kgですが、その底面は15.7 kgの重量に相当する153.8 Nの力を支えています。これは実際にそこにある水の9.78倍にあたります。一方、上広がりの容器では逆の現象が起き、倍率は0.231となります。ここで無から力が生み出されているわけではありません。傾斜した側壁が、上すぼまりの容器では液体を押し下げ、上広がりの容器では液体を引き上げており、その差分がそのまま底面にかかる力として現れているのです。パスカルの名を冠した実験は、この現象を極限まで追求したものです。長くて細い管に入れたわずか数百グラムの水が土台の樽を破裂させますが、下にある例題はその樽の実験を実際の数値で計算したものです。

深さが2倍になれば、壁面への負荷は4倍になる 🖖

ダムの壁面にかかる圧力は単一の数値ではありません。水面でのゼロから始まり、底面で ρgh に達するまで徐々に増加していくからです。壁全体での平均は最大値の半分となり、水に触れる面積も深さとともに増えるため、幅1 mあたりにかかる力は ½ρgh² となります。つまり2乗に比例するのです。貯水池の深さを1 mから2 mにすると、壁面への負荷は1 mあたり4,896 Nから19,585 Nへと4倍に跳ね上がります。ダムが下部で分厚く、上部で薄く作られているのもこれが理由です。合力は壁の真ん中ではなく、底から三分の一の高さに作用します。

全プロセスの詳細解説

パスカルの樽：0.5リットルの水は蓋にどれほどの力を及ぼすか 6 ステップ
直径0.60 mの蓋がついた密閉された樽があります。蓋には半径5 mmの細い管が取り付けられており、そこに5 mの高さまで水が満たされています。続きを読む前に、水が蓋に及ぼす力を計算し、管に入っている水の重量と比較してみてください。細管付き円盤、1.6リットルを押すと、これと同じ現象を十分の一のスケールで確認できます。

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1. 管は高さによってのみ圧力を生み出します。5 mの水による圧力は以下の通りです。
  
  $p = ρ g h = 998.2 \cdot 9.81 \cdot 5 = 48, 962 Pa$
2. その圧力は、半径0.30 mの円盤である蓋全体に作用します。
  
  $A_{lid} = π R^{2} = π \cdot 0.3 0^{2} = 0.28274 m^{2}$
3. 力は圧力と面積の積です。質量の単位に換算すると実感が湧きやすいでしょう。蓋は約1.4トンの重さを支えていることになります。
  
  $F = p A_{lid} = 48, 962 \cdot 0.28274 = 13, 844 N (\frac{13 , 844}{9 . 81} = 1, 411 kg)$
4. 次に、この力を生み出した水について考えます。管の内径は5 mmであり、その断面積はごくわずかです。
  
  $bore radius cross-section π r^{2} volume π r^{2} h mass ρ V weight ρ V g 0.005 m 7.854 \times 1 0^{- 5} m^{2} 3.927 \times 1 0^{- 4} m^{3} = 0.3927 L 0.392 kg 3.85 N$
5. 一方をもう一方で割ってみましょう。わずか390グラムの水が、蓋に13,844 Nもの力を及ぼしていることが分かります。
  
  $\frac{F}{W} = \frac{13 , 844}{3 . 85} = 3, 600$
6. ここで最も重要な点に触れておきましょう。この比率を記号で書き出すと、高さは圧力と体積の双方に現れるため相殺されます。密度も、重力加速度 g も同様に消えます。力の増幅率は二つの面積の比そのものになります。これはまさに、油圧ジャッキが車を持ち上げる仕組みと同じです。
  
  $\frac{F}{W} = \frac{ρ g h A _{lid}}{ρ g A _{pipe} h} = \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = (\frac{0 . 30}{0 . 005})^{2} = 6 0^{2} = 3, 600$
解答

3.85 Nの力を持つ水によって、蓋には13,844 Nの力がかかっています。3,600倍もの増幅です。この数値は (0.30 ÷ 0.005)² から導き出されたものであり、管の高さや液体の密度がどうであっても変わりません。パスカルに必要だったのは大量の水ではなく、一本の細い管でした。樽を破裂させたのは管の中身そのものではなく、管と蓋の面積比だったのです。

$13, 844 N from 3.85 N \Rightarrow \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = 3, 600$

参考文献 (3)

How the result on this page was arrived at, and by whom. Stevin had the paradox in 1586, half a century before Pascal, and the paper follows what each of them actually added: A. F. Chalmers, "Qualitative novelty in seventeenth-century science: Hydrostatics from Stevin to Pascal." Studies in History and Philosophy of Science Part A 51, 2015, pp. 1-10. DOI 10.1016/j.shpsa.2015.01.001
Stevin's own hydrostatics, where the force on the base was first separated from the weight of the liquid: E. J. Dijksterhuis, "Hydrostatics." In Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Springer Netherlands, 1970, pp. 64-69. DOI 10.1007/978-94-010-3207-0_5
The paradox had a name and a readership long before it had a syllabus. This is the 1869 note it carried in Scientific American: "The Hydrostatic Paradox." Scientific American 21, 1869, p. 249. DOI 10.1038/scientificamerican10161869-249

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。