ポアズイユの法則と管内流れ

半径、長さ、圧力差を設定し、管を流れる量とポアズイユの法則が成り立つ範囲を調べましょう。

計算例 — ポアズイユの法則と管内流れ

流量	120.4 L/min
平均流速	39.9 m/s
レイノルズ数	318,404
流れの状態	乱流
流体抵抗	9.96 × 10⁷ Pa·s/m³
必要な半径	3.3605 mm
その半径での流れ	乱流

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レッスン

理論 — ポアズイユの法則と管内流れ

管内の圧力差がどれだけの流量を生み出すのか。それを示すのがポアズイユの法則です。Q = πΔp r⁴ / (8ηL) この法則のすべては4乗という部分に集約されており、これには二つの要因が同時に働いています。管が太くなれば、流体が通る断面積が広がります。それだけでなく、全体の流れを遅らせる管の壁から中心の流体がより遠ざかるのです。前者が r² を、後者がもう一つの r² をもたらします。

各記号の意味

Q: 体積流量、つまり毎秒の流出量
Δp: 流れを生み出す圧力差
r: 管の半径、4乗される項
L: 管の長さ、流量はこれに単純に反比例する
η: 流体の粘度

成り立たない場合: 誰もがまず例に挙げる血液ですが、ここでは法則が破綻します。血液はニュートン流体ではありません。せん断によって粘度が下がりますし、動脈は硬い管ではなく弾力を持っています。そのうえ、流れは一定ではなく脈打っているのです。このページにある30%の狭窄という数字は、解答の方向性としては正しいものの、特定の患者さんにそのまま当てはまる値ではありません。

動脈を30%狭めると流量の76%が失われる 🖖

円管内の流量は、半径の四乗に比例します。半径を半分にすると、流量は半分にも四分の一にもならず、16分の一になります。およそ16ではなく、きっかり16.0000で割った値です。Q = πΔP·r⁴ / 8ηLのうち半径に依存する項はr⁴だけで、ほかの量は変えていないからです。

細管を押してみましょう。半径は0.5 mm、長さは1 m、圧力差は5,000 Paです。流量の欄には7.351 mL/minと表示されます。次に半径を半分にを押すと0.459 mL/minになります。最初の値を16で割り、丸めた値です。

小さな変化でも、流量には大きく響きます。半径を10%減らすと、流量は34.4%失われます。30%減らした場合に残るのは24.0%です。血液について用意した二つの設定では、同じ200 Paのもとで半径を2 mmから1.4 mmに変え、76.0%の減少を示しています。

水あかで10%細くなった水道本管でも、流量はおよそ三分の二残るため、すぐに騒ぎにはならないでしょう。動脈でも計算は同じですが、三分の一の損失を軽く見る余裕はありません。ポアズイユは医師でした。1840年代、細い管に液体を流して四乗則を測定し、血液の流れを明らかにしようとしたのです。

半径を18.92%増やせば、圧力を倍にするのと同じ 🖖

QはΔPに比例し、rの四乗に比例します。したがって流量を倍にする方法は二通りありますが、必要な負担は大きく異なります。

層流となる水の設定を使いましょう。半径0.5 mm、管の長さ1 m、圧力差5,000 Paでは、流量は7.351 mL/minです。圧力差を10,000 Paに上げると14.703になります。一方、圧力差は変えず、半径を18.92%増やして0.5946 mmにすると14.702です。最後の千分の一の差は、2^1/4 = 1.1892071の小数第五位以下を切り捨て、半径を小数第四位までしか入力しなかったために生じています。

どちらを選べるかは、物理だけでは決まりません。水道の圧力は水道事業者が管理しています。必要に応じて出力を倍にできる心臓なら、そもそも心配の対象にはなっていないでしょう。

Re 318,404：最初に表示される流量は現実には生じない 🖖

最初の設定は、半径4 mm、長さ10 mの管に2 barの圧力差をかけて水を流すものです。ポアズイユの法則から得られる流量は120.4 L/minで、計算そのものに誤りはありません。しかし、この流量から求めた平均流速は39.9 m/s、時速にして約144 km/hです。レイノルズ数は318,404となり、法則が成り立つ上限2300のおよそ138倍に達します。

この上限を超えると、流れは層流ではありません。粘性によるせん断だけでなく、渦にもエネルギーが費やされます。そのため、2 barをかけた実際の管の流量は120.4 L/minを大きく下回ります。ポアズイユの式には、この変化を捉える項がありません。

そこで、流量、レイノルズ数、流れの状態の各欄は赤くなり、グラフでは0.7732 mmより太い範囲が緑色から外れます。半径を0.77 mmにすると表示は再び緑に変わります。Re 2,271の層流となり、今度は信頼できる答えです。このページのほかのプリセットは、どれも初めからこの範囲に収まっています。

全プロセスの詳細解説

心臓が負わなければならない代償 7 ステップ
長さ10 cm、半径2 mmの動脈に、圧力差200 Paで血液（η = 3.5 × 10⁻³ Pa·s、ρ = 1060 kg/m³）が流れています。プラークによって管腔が30%狭まり、半径が1.4 mmになりました。残る流量を求め、さらに、狭くなった血管で元の流量を取り戻すために必要な圧力差を求めなさい。

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1. まず健康な血管について、すべての量をSI単位にそろえます。半径は2 × 10⁻³ m、長さは0.1 m、圧力差は200 Pa、血液の粘度は3.5 × 10⁻³ Pa·sです。半径の四乗は1.6 × 10⁻¹¹ m⁴となり、式全体から3.590 × 10⁻⁶ m³/sを得ます。毎分では0.2154 Lです。
  
  $Q_{0} = \frac{π Δ P r _{0}^{4}}{8 η L} = \frac{π \cdot 200 \cdot ( 2 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{4}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} m^{3} /s$
2. 次に血管を狭くします。長さ、圧力差、血液は変わらないので、二つの流量の比を決めるのはr⁴の比だけです。1.4を2で割ると0.7、その四乗は0.2401。見た目にはまだ十分な太さがある管腔でも、流せる量は元の24.01%です。「流量」の欄には51.723 mL/minと表示されます。
  
  $\frac{Q _{1}}{Q _{0}} = (\frac{r _{1}}{r _{0}})^{4} = 0. 7^{4} = 0.2401 \Rightarrow Q_{1} = 8.621 \times 1 0^{- 7} m^{3} /s = 51.723 mL/min$
3. 平均流速は、その流量を管腔の断面積で割ったものです。Qをπr²で割ると、半径の四乗のうち二乗分が約分され、v̄ = ΔP r²/(8ηL)が残ります。したがって、流量が半径の四乗に従って減る一方、流速は半径の二乗に従って減ります。ここではちょうど0.140 m/sとなり、「平均流速」の欄とも一致します。
  
  $\overset{v}{ˉ} = \frac{Q _{1}}{π r _{1}^{2}} = \frac{Δ P r _{1}^{2}}{8 η L} = \frac{200 \cdot ( 1.4 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 0.140 m/s$
4. この結果を信頼する前に、法則を使える条件か確かめます。ポアズイユの法則は層流を前提としており、判定には直径を代表長さとするレイノルズ数を用います。得られる値は119で、上限の2300を十分に下回ります。「流れの状態」の欄も「層流」です。狭窄がどちら向きに働いたかにも注目してください。半径の欄を2に戻すとReは346になります。流れを絞ったことで、この計算の前提は崩れるどころか、いっそう確かなものになりました。
  
  $Re = \frac{ρ v ˉ D}{η} = \frac{1060 \cdot 0.140 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 118.7 < 2300$
5. 同じ四乗則は流体抵抗にも現れます。R = 8ηL/πr⁴は、単位流量を生じさせるために血管が必要とする圧力差です。「流体抵抗」の欄には2.32 × 10⁸ Pa·s/m³と表示されます。健康な動脈では5.57 × 10⁷でした。両者の比は4.1649で、0.2401の逆数です。
  
  $R = \frac{8 η L}{π r ^{4}} : R_{0} = 5.57 \times 1 0^{7}, R_{1} = 2.32 \times 1 0^{8} Pa s/ m^{3}, \frac{R _{1}}{R _{0}} = \frac{1}{0.2401} = 4.1649$
6. Q = ΔP/Rは、ポアズイユの法則を変形した式であり、循環系が従わなければならない関係です。新しい抵抗のもとで流量を健康時の3.590 × 10⁻⁶ m³/sに保つには、ΔP = Q₀R₁ = 833 Paが必要です。流量は圧力差に比例するため、圧力差は抵抗とまったく同じ倍率で増やさなければなりません。つまり200 × (10/7)⁴であり、(10/7)⁴は10,000/2401です。
  
  $Δ P_{1} = Q_{0} R_{1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} \cdot 2.320 \times 1 0^{8} = 833 Pa$
7. 最後に、求めた答えが前提を満たすか確認します。圧力差833 Paでは、狭くなった血管内の平均流速は0.583 m/s、レイノルズ数は494です。依然として2300を十分に下回るため、この状態でも計算に用いた法則は成り立ちます。半径を1.4 mmにしたまま圧力差の欄に833と入力すると、「流量」は健康な動脈での値と同じ0.22 L/minに戻ります。
  
  $\overset{v}{ˉ}_{1} = 0.583 m/s, Re_{1} = \frac{1060 \cdot 0.583 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 494 < 2300$
解答

答えは833 Paです。健康な血管で必要だった圧力差は200 Paでした。内腔の半径が0.6 mm小さい血管に同じ毎分流量を通すには、駆動圧を四と六分の一倍にしなければなりません。逆向きの計算は、このツールで確かめられます。目標流量の欄に0.2154と入力すると、「必要な半径」は1.9999 mmとなり、健康な動脈の太さに戻ります。これは心臓ではなく、外科医が実現する答えです。このページには圧力を逆算する機能がありません。しかし実際の身体が見つけなければならないのは、その圧力なのです。

$Δ P_{1} = Δ P_{0} (\frac{r _{0}}{r _{1}})^{4} = 200 \cdot \frac{1 0 ^{4}}{2401} = 833 Pa$

参考文献 (1)

The measurements the fourth power came out of, made by a physician looking for how blood moves: J. L. M. Poiseuille, "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres." Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France 9, 1846, pp. 433–544.

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