レイノルズ数と流況

流体、流速、そして管の直径を選んでみてください。その流れが層流なのか乱流なのか、また、どれほどの変化でその境界を越えるのかを確認できます。

計算例 — レイノルズ数と流況

動粘度	1.00 × 10⁻⁶ m²/s
レイノルズ数	9,966
流況	乱流
以下の流速で層流	0.2308 m/s
以上の流速で乱流	0.4014 m/s
以下の管径で層流	2.31 × 10⁻³ m
以上の管径で乱流	4.01 × 10⁻³ m

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レッスン

理論 — レイノルズ数と流況

レイノルズ数は、運動する流体に起こり得る二つの事柄を比較します。慣性によってそのまま運ばれるか、粘性によって引き延ばされて均されるかです。式はRe = ρvD/ηとなり、単位はすべて相殺されます。単位を持たない純粋な数になるわけですが、これこそが重要な点です。レイノルズ数が等しければ、規模や速度、流体の種類が異なっても、二つの流れは全く同じように振る舞います。水槽内の模型で航空機の代わりが務まるのはこのためです。

各記号の意味

Re: 比率そのものです。単位は一切ありません
ν: 動粘度。η/ρであり、ここではこの組み合わせだけが意味を持ちます

前提: 滑らかで真っ直ぐな円管における、十分に発達した流れを前提としています。管壁の粗さや曲がり、助走区間の長さは、いずれも流れの遷移点をずらしてしまいます。このページのしきい値が絶対的な定数ではなく、あくまで慣例に過ぎないのは、実はこうした理由からです。

二つの流体、一本の管、一つの速度。そして正反対の結論 🖖

10 mmの管を1 m/sで流れる水の場合、表示はRe = 9,966となり、乱流と判定されます。スライダーには触れずに流体を蜂蜜に切り替えてみてください。値は1.420となり、これ以上ないほどの層流を示します。管も速度も変わっていません。つまり、流況を決定づけたのはそのどちらでもないのです。

答えは動粘度の行にあります。水の1.00 × 10⁻⁶ m²/sに対して、蜂蜜は7.04 × 10⁻³ m²/sです。Re = vD/νであるため、二つのレイノルズ数の差はこの物性値の比率のみに起因します。その比率は7018であり、ツール上でどのような設定を行っても崩れることはありません。速度のスケールを六桁にわたり動かしても、管径を五桁動かしても、二つのレイノルズ数は常に7018の比率を保ったまま連動します。

流体を切り替える際、流況マップを見てみてください。プロットされた点は移動しません。境界線が速度軸に沿って四桁近くもスライドし、その点を通り過ぎることで、点の色だけが変わる仕組みなのです。

身近な配管に層流はほぼ存在しない 🖖

10 mmの管を流れる水の場合、ツールは層流の上限として0.2308 m/sを表示し、それ以下の速度で判定が緑色になります。0.4014 m/sを超えると完全な乱流です。台所の蛇口は、そのどちらよりも速く水を出しています。

教科書が管内の層流に何章も費やすのは、それが閉じた式で解けるからです。流速分布は正確な放物線を描き、圧力損失は流量に比例し、層をまたぐような流体の交じり合いはありません。しかし、家庭内を流れる水でそのように振る舞うものはほぼ皆無です。壁の中の配管では水が複雑に混ざり合っており、数式から導くのではなく実測や相関式に頼る必要があります。

管を細くすると、この限界値は下がるのではなく上がります。直径を5 mmに設定すると、層流の上限は0.4616 m/sになります。Re = vD/νで問題になるのはその積だからです。Dを半分にしたなら、再び2300に到達させるにはvを二倍にしなければなりません。毛細管が層流を保つ一方で、水道本管がそうならない理由はここにあります。

2300と4000は慣例であり、あくまで管についての値である 🖖

ツールが表示する数値は、設定された四つの値に基づく厳密な計算結果です。しかし、その横の言葉はあくまで慣例に過ぎません。10 mmの管で速度を0.3 m/sに動かしてみてください。レイノルズ数は2,990となり、判定は遷移域になります。これはツールが回答を正しく保留した姿です。2300と4000という数字は滑らかな円管内の十分に発達した流れを説明するものであり、管の粗さや入り口付近の乱れの少なさはレイノルズ数には反映されません。境界が一本の線であればすっきりするのですが、代わりにオレンジ色の帯が設けられているのはこのためです。

下限値の真の意味は、2011年にAvila、Moxey、de Lozar、Avila、Barkley、Hofらが『Science』誌で明らかにしました。ここで知っておくべきなのは、彼らが用いた手法です。彼らは管内の層流に小さな乱流の塊（パフ）を注入し、その寿命を計測しました。臨界点を下回ればパフは減衰しますが、臨界点を超えると、乱流は消滅を上回る速度で広がっていきます。つまりこの閾値は、流れが層流でなくなる速度ではなく、ひとたび生じた乱流がもはや自然には消滅しなくなる速度を意味しているのです。

形状が変われば基準も変わります。同じ水中を沈下する球体であればRe = 1とRe = 1000付近が判断の目安となり、平板上の境界層はRe = 5 × 10⁵付近で遷移します。

全プロセスの詳細解説

回流水槽内のダクト 7 ステップ
直径0.40 mの円形換気ダクトの中を、空気が3.0 m/sで流れています。内部の流れを観察するため、回流水槽で1:10の模型を使った実験を計画しています。模型内の流れをダクト内の流れと同じ状態にするためには、水の速度をどれくらいにする必要があるでしょうか？

この問題をツールで開く
1. 空気の密度と粘度が、答えの中で別々に現れることはありません。後者を前者で割ると動粘度が得られます。1.813 × 10⁻⁵を1.204で割った、1.5058 × 10⁻⁵ m²/sです。動粘度の行では、丸められて1.51 × 10⁻⁵と表示されます。レイノルズ数が流体について知る必要がある情報は、この一つの数値にすべて集約されています。
  
  $ν_{a} = \frac{η}{ρ} = \frac{1.813 \times 1 0 ^{- 5}}{1.204} = 1.5058 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$
2. ダクトにおけるRe = vD/νの計算は、3.0 × 0.40を1.5058 × 10⁻⁵で割り、79,691となります。流況の行は乱流を示します。4000を超えればすべて乱流ですが、これはその二十倍にも達しています。
  
  $Re_{d} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 0.40}{1.5058 \times 1 0 ^{- 5}} = 79, 691 \geq 4000$
3. 形状が相似であり、かつレイノルズ数が一致するとき、二つの流れは同じであるとみなせます。この問題における無次元数はReのみであるため、これを一致させることが唯一の条件となります。そしてその条件のどこにも、模型で同じ流体を使わなければならないとは書かれていません。流体の選択こそが、ここで活用すべき自由度なのです。
  
  $Re_{m} = Re_{d} ⟺ \frac{v _{m} D _{m}}{ν _{w}} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}}$
4. 20 °Cの水の場合、1.0016 × 10⁻³ Pa·sを998.2 kg/m³で割ると、1.0034 × 10⁻⁶ m²/sになります。水は空気に比べて密度が約八百倍、粘度が約五十五倍ありますが、この二つはほぼ相殺されます。結果として15.007という係数だけが残り、初学者の直感とは逆の事実が浮かび上がります。慣性力を基準にすると、空気のほうが流れやすい流体なのです。
  
  $ν_{w} = \frac{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}}{998.2} = 1.0034 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, \frac{ν _{a}}{ν _{w}} = 15.007$
5. 二つのレイノルズ数を等しいと置いて、水槽に必要な速度を求めます。管を十分の一に縮小することで、必要な速度は十倍になります。一方で空気を水に置き換えることで、速度は15.007で割られます。結果として流体の影響が上回り、答えは1.999 m/sに落ち着きます。十分の一のサイズの模型であるにもかかわらず、そこを流れる水は、対象となる空気よりも遅く流れることになります。
  
  $v_{m} = v_{d} \cdot \frac{D _{d}}{D _{m}} \cdot \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = 3.0 \cdot 10 \cdot \frac{1}{15.007} = 1.999 m/s$
6. ツールを水、1.999 m/s、0.040 mに設定してみてください。レイノルズ数の行はダクトの79,691に対して79,689を示します。この二という差は、有効数字四桁で指定した速度の最後の桁によるものです。「以下の流速で層流」の行を見ることでも、この一致を確認できます。ダクトの空気が層流になるには0.0866 m/sを下回る必要があり、模型の水は0.0577 m/sを下回る必要があります。そしてどちらの流れも、それぞれの上限値の34.6倍で流れていることがわかります。
  
  $Re_{m} = \frac{1.999 \cdot 0.040}{1.0034 \times 1 0 ^{- 6}} = 79, 689, \frac{3.0}{0.0866} \approx \frac{1.999}{0.0577} \approx 34.6$
7. 水槽の速度を1.999に設定する人はいません。ダイヤルを2.0 m/sに丸めると、値は79,728となります。これは0.05%高い数値ですが、レイノルズ数における0.05%の誤差など、水槽の計測機器が判別できる限界をはるかに下回っています。
  
  $v_{m} = 2.0 \Rightarrow Re_{m} = 79, 728, \frac{79 , 728}{79 , 691} - 1 = 0.05%$
解答

答えは約2.0 m/s、40 mmの模型を通る流れです。厳密に要求される値は1.999 m/sです。このページでは一つの設定に対して一つのレイノルズ数が表示されますが、その数値は二つの状態を比較するために使われます。79,691の横に79,689が並ぶのは偶然ではなく、これがまさに求めていた答えだからです。模型から実際のダクトへと持ち帰ることができるのは、無次元数だけです。摩擦係数や圧力係数は適用できますが、パスカルやニュートンといった単位をそのまま持ち込むことはできません。水中で測定された圧力差はρv²の比率で換算されます。1.204 × 3.0²に対する998.2 × 2.0²の比率により、水槽ではダクトの368倍の圧力が計測されることになります。

$v_{m} = v_{d} \frac{D _{d}}{D _{m}} \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 10}{15.007} = 1.999 m/s$

参考文献 (2)

Where the number and the threshold come from: O. Reynolds, "An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 174, 1883, pp. 935–982.
What the lower threshold actually marks, measured by timing whether turbulence survives: K. Avila, D. Moxey, A. de Lozar, M. Avila, D. Barkley & B. Hof, "The Onset of Turbulence in Pipe Flow." Science 333(6039), 2011, pp. 192–196.

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