ダルシーの法則と地下水流

媒質と水頭差を選んでみてください。通過する水の量、水自体の実際の速さ、そして法則が適用できなくなる限界がわかります。

計算例 — ダルシーの法則と地下水流

動水勾配	0.0010
ダルシー流速	1.000 × 10⁻⁸ m/s
流量	1.000 × 10⁻⁸ m³/s
間隙水流速	2.857 × 10⁻⁸ m/s
水が流速を上回る倍率	2.86×
経路の通過時間	1,109 年
間隙レイノルズ数	1.4949 × 10⁻⁶
Re ≤ 1 を保つ最大の勾配	668.9374

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レッスン

理論 — ダルシーの法則と地下水流

ダルシーの法則は、多孔質媒質を通る流量が、失われる水頭に比例し、それが失われる距離に反比例するというものです。すなわち Q = K A Δh/L です。定数 K は透水係数であり、岩石単独ではなく媒質と流体の両方に属する性質です。k = Kμ/(ρg) として流体の影響を取り除いて残るのが固有浸透率であり、間隙の形状のみに依存する性質です。同じ砂岩に対して、水理地質学者が m/s で語り、石油技術者がダルシーで語るのはそのためです。彼らは同じ間隙を、異なる流体が入った状態で測っているのです。

前提: 経路長スケールで均質な媒質における、飽和した定常な層流であること。ここにある六つの透水係数は測定値というより、キリの良い代表値です。砂とは岩石の種類ではなく粒径を指す名前であるため、文献の集計表を見ると、これらの媒質はそれぞれ少なくとも二桁の幅を持っています。間隙率は全間隙率を使用しているため、ここでの間隙水流速はデータが許す限り最も遅い見積もりになります。実際の物質の移動は互いにつながった部分のみを辿り、その割合は全間隙率よりも小さくなるからです。

礫を通る 324 日、花崗岩を通る 634 百万年 🖖

砂帯水層（1 km）を押してみてください。細砂の 1 km に 1 m の水頭差がかかり、通過時間の行には 1,109 年と表示されます。ここからは他の設定には触れず、媒質のボタンだけを順にクリックしていきましょう。礫なら同じ 1 km を 324.1 日で通過します。シルトは 1.426 × 10⁵ 年、粘土は 1.584 × 10⁷ 年、そして無亀裂花崗岩なら 6.338 × 10⁸ 年かかります。

たった一つの列がこれらすべてを決めています。透水係数は礫の 10⁻² m/s から花崗岩の 10⁻¹² m/s まで十桁の幅を持ち、流速、間隙水流速、通過時間、レイノルズ数はすべてそこから導かれます。アンリ・ダルシーは法則を探し求めてこの関係を発見したわけではありません。彼はディジョンの市営水道を建設中で、砂ろ過器がどれほどの速さで機能するかを知る必要があり、それが 1856 年の市の噴水に関する報告書の付録に記されたのです。

これほどの幅があるからこそ、廃棄物処分場の技術者と井戸掘り職人は同じ方程式を使いながら、決して言葉を交わす必要がありません。一方は締め固めによって K を限界まで下げるためにお金を払い、もう一方は掘削して可能な限り大きな K を見つけるためにお金を払っているのです。

水は流速よりも 2,060 年早く到達する 🖖

もう一度砂帯水層（1 km）を押してください。通過時間は 1,109 年と示されています。その上にあるダルシー流速の行は 1.000 × 10⁻⁸ m/s となっており、1 km をこの値で割ると 3,169 年になります。どちらも正しい算術ですが、通過時間はそのうちの一つだけです。

流速は流量を土粒子も含めた断面積全体で割ったものです。つまり、何かの速度というよりは単位面積あたりの流量を表しており、その断面積の大部分は石英です。同じ量の流量を、全体の 35% にすぎない間隙に押し込めば、水は 1/n 倍の速さで動きます。それが水が流速を上回る倍率の行が示していることです。ここには 2.86 とあり、この 2.86 はまさに二つの通過時間の比そのものです。

この倍率が最も大きくなるのは、おそらくあなたの予想とは違う場所でしょう。礫は五種類の堆積物の中で最も間隙率が低く 0.28 なので、水は流速の 3.57 倍の速さで進みます。最も多く水を含む粘土は 0.50 なので、わずか二倍です。極端なのは花崗岩で、わずか 2% の間隙率が、そのわずかな水を流速の五十倍もの速さで送り出します。

ここでの通過時間は意図的に遅めの見積もりになっています。物質の移動は全体の間隙ではなく、互いにつながった間隙を辿ります。さらに粘土では、水のかなりの部分が鉱物表面に引き寄せられて決して動きません。塩化物イオンのように吸着しないトレーサーは、このページが示すよりも早く到達します。粘土に吸着する物質なら数十年余計にかかることもあり、ここではどちらの補正も計算されていません。

20分の1勾配の礫の暗渠は、すでに法則を超えている 🖖

礫の暗渠（1/20勾配）を押してください。清浄な礫の 20 m に対して 1 m の水頭差で、ごくありふれた暗渠です。レイノルズ数の行は上限 1 に対して 4.9830 を示しており、右側のパネルではその上限を超える勾配すべてに網掛けがされています。

ダルシーの法則は線形であり、その線形性は一種の前提であって、代償を伴います。Re = ρqd/μ に q = Ki を代入すると Re(i) = ρKdi/μ となり、これは i について線形です。つまり、何らかの閾値に達する勾配は探索するまでもなく、i_max = Re_maxμ/(ρKd) と書き下すことができます。この礫について、行には 0.0100、つまり 100 m につき 1 m の落ち込みだと記されています。同じ 1 m の水頭差を 100 m にかければ Re は 0.9966 となり、かろうじて収まります。20 m なら 4.9830。1 m なら 99.6605 です。

六種類の媒質の中で、人が実際に建設するような勾配で上限に達するのは礫だけです。粗砂が Re = 1 に達するのは勾配が 2.0068 のときで、帯水層ではなく実験室の円柱でしか見られません。細砂は 668.9374、粘土に至っては 5.0170 × 10⁸ です。この数字が率直に意味するのは、粘土がダルシーの法則から外れることは決してないということです。

上限を超えると、流量は勾配に沿って上がり続けますが、それに比例して上がることはなくなります。粘性抵抗の独壇場であった圧力の一部を、間隙内の慣性が奪い始めるからです。そのため、このページが礫の暗渠について表示する流量は大きすぎます。フォルヒハイマーの式はダルシーの線形項に二次項を追加するもので、排水技術者が代わりに頼るのはそちらの方程式です。

全プロセスの詳細解説

廃棄物処分場の遮水層を何が通り抜けるか 7 ステップ
ある廃棄物処分場には 600 mm の締固め粘土遮水層があります。透水係数は 10⁻⁹ m/s、間隙率は 0.50 です。集水システムはその上に 300 mm の浸出水を溜めており、遮水層の底部は自由に排水されています。水が粘土を通過するのにかかる時間を求め、次に三十年の稼働期間に一ヘクタールの遮水層からどれだけの量が流出するかを求めてください。

この問題をツールで開く
1. この問題の成否は勾配で決まります。水頭は標高と圧力の和なので、遮水層の底部を基準にして両方を測ります。浸出水の水面は、その基準面から 0.6 m の粘土と 0.3 m の液体の分だけ上にあるため、水頭は 0.9 m となります。そして底部は大気圧のもとで自由に排水されているため、ゼロです。つまり、0.6 m の長さにわたって 0.9 m の水頭が失われます。ここで 0.3 を 0.6 で割ってしまうと、液体の分だけを計算し、粘土自体の中に立つ水の重さを捨て去ったことになります。それは流れを生み出す力の三分の二にもなるというのに。
  
  $i = \frac{Δ h}{L} = \frac{0 . 3 + 0 . 6}{0 . 6} = \frac{0 . 9 m}{0 . 6 m} = 1.5$
2. 流速の形にしたダルシーの法則です。透水係数に勾配を掛けます。ダルシー流速の行は 1.500 × 10⁻⁹ m/s となっており、これでは誰も実感できない数字なので、年に直してみましょう。3.15576 × 10⁷ 秒を掛けると、一平方メートルあたり年間 0.047336 m の水となり、これは一平方メートルあたり年間 47.34 リットルです。規制当局は透水係数として仕様を書きますが、その仕様がもたらすのはこれなのです。
  
  $q = K i = 1 0^{- 9} \cdot 1.5 = 1.500 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1} ⟹ q \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 0.047336 m y r^{- 1} = 47.34 L m^{- 2} y r^{- 1}$
3. この流速は速度ではありません。流量を土粒子も含めた一平方メートル全体で割ったものであり、これほど間隙の多い粘土の半分は土粒子です。水はその半分の間隙を押し出され、流速の二倍の速さで動きます。間隙水流速には 3.000 × 10⁻⁹ m/s とあり、その下の行は 2.00× を示しています。粘土は最も間隙が多いため同じ流量をより広く分散させることになり、このページにあるどの媒質よりもこの倍率が小さくなります。
  
  $v = \frac{q}{n} = \frac{1 . 500 \times 1 0 ^{- 9}}{0 . 50} = 3.000 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1}, \frac{v}{q} = \frac{1}{n} = 2.00$
4. さて、いよいよ通過です。毎秒 3 × 10⁻⁹ m での 600 mm は 2 × 10⁸ 秒であり、経路の通過時間はこれを 6.34 年に換算します。間隙水流速の代わりにダルシー流速を使うと 12.68 年になりますが、これは先ほどと同じ間違いであり、当然ながら答えもきっちり二倍になってしまいます。
  
  $t = \frac{L}{v} = \frac{0 . 6}{3 . 000 \times 1 0 ^{- 9}} = 2.000 \times 1 0^{8} s = 6.34 yr$
5. 法則を適用してよいか尋ねてみましょう。どうであれ計算結果は出ますから。間隙レイノルズ数はダルシー流速と代表的な粒径（粘土なら 2 × 10⁻⁶ m）から組み立てられ、その値は上限の 1 に対して 2.9898 × 10⁻⁹ となります。この上限に達する勾配は 5.0170 × 10⁸ です。つまり遮水層一メートルにつき五億メートルの水頭差です。このページの粘土に対して何をしようとも、ダルシーの法則から外れることはありません。
  
  $Re = \frac{ρ q d}{μ} = \frac{998 . 2 \cdot 1 . 500 \times 1 0 ^{- 9} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6}}{1 . 0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.9898 \times 1 0^{- 9} ≪ 1$
6. 他の条件は一切変えずに、中身だけを入れ替えてみます。同じ 0.9 m の水頭差のもとで同じ 600 mm をこのページの各媒質で満たすと、下の列のようになります。シルトは粘土から一段階粗くなっただけで、誰も透水性が高いとは呼ばない代物ですが、それでも三週間で通過されます。両者の透水係数の比はきっちり百です。通過時間の比は 111 となりますが、この余分な一割は、押し出される水を粘土が一立方メートルあたりにより多く保持しているためです。礫なら十一秒でやってのけますが、そのときの Re は 149.49 であり、この数字には何の意味もありません。
  
  $fill gravel coarse sand fine sand silt clay granite q (m s^{- 1}) 1.50 \times 1 0^{- 2} 7.50 \times 1 0^{- 4} 1.50 \times 1 0^{- 5} 1.50 \times 1 0^{- 7} 1.50 \times 1 0^{- 9} 1.50 \times 1 0^{- 12} t 11.2 s 4.3 min 3.9 h 20.8 d 6.34 yr 254 yr Re 149.49 0.747 2.24 \times 1 0^{- 3} 2.99 \times 1 0^{- 6} 2.99 \times 1 0^{- 9} 1.49 \times 1 0^{- 12}$
7. これでページが教えてくれることはすべて出揃いましたが、設計者にはまだ数字がありません。流速は一平方メートルあたりの値であり、廃棄物処分場は一平方メートルではないからです。この遮水層一ヘクタールは 10⁴ m² なので、毎秒 1.5 × 10⁻⁵ m³、年間 473.4 m³、そして三十年の稼働期間で 14,200 m³ を通過させます。これはおよそオリンピックプール六杯分の浸出水であり、仕様通りに機能している遮水層を通り抜けてくるのです。
  
  $V = q A t = 1.500 \times 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{4} \cdot 30 \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 1.42 \times 1 0^{4} m^{3}$
解答

水は 600 mm の遮水層を 6.34 年で通過し、一ヘクタールあたり三十年で 14,200 m³ を流出させます。 どちらの数字も失敗を意味しません。遮水層は桁の一つに至るまで仕様を満たしており、その仕様を人が想像できる単位に変換すると一平方メートルあたり年間 47 リットルになるというだけのことです。

この計算を狂わせるのは水頭です。集水層が目詰まりを起こした場合のように、0.3 m の代わりに 3 m の浸出水を遮水層に乗せてみると、勾配は 1.5 から 6 に跳ね上がります。流速は勾配に比例するため、上の数字はすべて四倍になります。6.34 年は 1.58 になり、三十年間の量は 56,800 m³ になります。規制にある 300 mm という制限は、実際のところ遮水層についての記述ではまったくありません。ひとたび粘土が地中に敷き詰められてしまえば、方程式の中で人間がまだ変えられるのは水頭だけなのです。

$Δ h : 0.9 \to 3.6 m ⟹ i : 1.5 \to 6, t = \frac{6 . 34}{4} = 1.58 yr, V = 4 V_{0} = 5.68 \times 1 0^{4} m^{3}$

参考文献 (3)

The experiment itself, in an appendix to a report about a city's water supply: H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris, 1856.
Where the conductivity and porosity ranges for real materials are compiled: R. A. Freeze and J. A. Cherry, Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1979.
The Reynolds-number convention used here, and where the linear law stops: J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York, 1972. Reprinted by Dover, 1988.

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