理想気体の状態方程式計算機

理想気体の状態方程式を探ってみよう。1つの変数を固定し、残り3つから解いてみよう。

計算例 — 理想気体の状態方程式計算機

理想気体の状態方程式	nRT
圧力 P（既知）	101.33 kPa (1.013 bar)
体積 V（既知）	22.400 L
物質量 n（既知）	1.0000 mol
温度 T	272.99 K (−0.2 ∘C)
気体定数 R	8.314 LkPamol⁻¹K⁻¹

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

なぜ R は二つの単位系で 8.314 なのか 🖖

パネルには R = 8.314 L·kPa·mol⁻¹·K⁻¹ と表示され、教科書の値は 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹ です。同じ数字が並ぶのは偶然でも丸めの結果でもありません。1 リットル・キロパスカルは 1 ジュールそのものだからです。10⁻³ m³ × 10³ Pa = 1 Pa·m³ = 1 J、厳密に等しくなります。このツールが体積をリットル、圧力をキロパスカルで受け取るのは、表示される計算過程に換算係数が一度も現れないようにするためです。273.15 K で 22.414 L の 1 モルを入力すれば 101.3 kPa、つまり標準大気圧が返ってきます。単位のごまかしがどこにもない式から出てきた値です。

一つの式、四つのつまみ、普遍定数 🖖

このツールは P, V, n, T のうち三つを固定し、残る一つをドラッグさせます。すると PV = nRT が他の量を強制的に応答させます。定数 R はどんな気体でも同じなので、ヘリウムも二酸化炭素も同じ計算に従います。一定量の気体は、同じ温度と圧力ならどんな分子でも同じ体積を占めるのです。これが理想モデルの静かな力で、化学的な個性は消え、粒子の数だけが物を言います。

どの気体の直線も −273.15 °C を指す 🖖

圧力を一定にして体積を温度に対してプロットし、直線を後ろへ延ばすと、どんな気体でもちょうど −273.15 °C で体積ゼロと交わります。誰もそこまで気体を冷やしたことはなく、この値はまっすぐな直線を外挿しただけで得られます。ギヨーム・アモントンが1700年ごろに気づいた手法です。この消失点こそケルビン温度目盛の零点であり、だから PV = nRT の T は必ずケルビンで測り、摂氏で測ってはいけないのです。

気体の法則 — 式は一つ、あとはどれを固定するか

あなたの問題はどの気体の法則か

気体の法則は PV = nRT の一つだけです。名前のついたボイル、シャルル、ゲイ＝リュサックは、そのうち一つを固定し n を変えないだけの同じ式で、密閉容器がまさにその条件を与えます。だから問うべきは「どの公式か」ではなく「何が一定に保たれているか」です。それを見つけて両辺から消せば、名前のついた法則がひとりでに出てきます。

固定なし — 完全な式 PV = nRT PV = nRT

温度が固定 — ボイル：押し縮めれば圧力が上がる P₁V₁ = P₂V₂

圧力が固定 — シャルル：温めれば膨らむ V₁/T₁ = V₂/T₂

体積が固定 — ゲイ＝リュサック：温めれば圧力が上がる P₁/T₁ = P₂/T₂

固定なし — 完全な式 PV = nRT

わかっていること: 四つの量のうち三つがわかっていて、残る一つを求める。過程は起きておらず、これは気体の一つの状態。

関係: PV = nRT

計算例: 273.15 K、101.325 kPa の 1 mol → V = nRT/P = 22.4 L、標準状態のモル体積

この型を開く: 標準状態 (STP)

固定なし — 完全な式 PV = nRT. 一つの状態、四つの量、一つの式 — 過程もなく、固定されたものもない。四つの量のうち三つがわかっていて、残る一つを求める。過程は起きておらず、これは気体の一つの状態。 — 一つの状態、四つの量、一つの式 — 過程もなく、固定されたものもない。

温度が固定 — ボイル：押し縮めれば圧力が上がる

わかっていること: 温度一定の密閉容器。n も T も消えるので PV は一定：P₁V₁ = P₂V₂。

関係: P₁V₁ = P₂V₂

計算例: 300 K で 10 L に 200 kPa → 体積を半分の 5 L にすると圧力は倍の 400 kPa。気体は終始 0.80 mol

この型を開く: ボイルの法則

温度が固定 — ボイル：押し縮めれば圧力が上がる. 等温：P–V 曲線は双曲線で、積 PV はまったく動かない。温度一定の密閉容器。n も T も消えるので PV は一定：P₁V₁ = P₂V₂。 — 等温：P–V 曲線は双曲線で、積 PV はまったく動かない。

圧力が固定 — シャルル：温めれば膨らむ

わかっていること: 気体はピストンや風船の膜を押せるので、温度が変わるあいだ圧力は周囲と同じまま。V/T が一定。

関係: V₁/T₁ = V₂/T₂

計算例: 273.15 K の 22.4 L を圧力一定で 546.3 K まで加熱 → V = 44.8 L、ちょうど 2 倍

この型を開く: シャルルの法則

圧力が固定 — シャルル：温めれば膨らむ. 等圧：体積は絶対温度に対して直線的に増える。気体はピストンや風船の膜を押せるので、温度が変わるあいだ圧力は周囲と同じまま。V/T が一定。 — 等圧：体積は絶対温度に対して直線的に増える。

体積が固定 — ゲイ＝リュサック：温めれば圧力が上がる

わかっていること: 硬く密閉された容器。何も膨らめないので、加えたエネルギーは圧力として現れる：P/T が一定。

関係: P₁/T₁ = P₂/T₂

計算例: 273.15 K の 101.325 kPa を硬い容器の中で 546.3 K まで加熱 → P = 202.65 kPa、2 倍

この型を開く: ゲイ＝リュサックの法則

体積が固定 — ゲイ＝リュサック：温めれば圧力が上がる. 等積：体積が固定されると、温度と圧力はいっしょに上がる。硬く密閉された容器。何も膨らめないので、加えたエネルギーは圧力として現れる：P/T が一定。 — 等積：体積が固定されると、温度と圧力はいっしょに上がる。

参考文献 (2)

The value of R, exact since the 2019 SI redefinition: Tiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B. & Taylor, B. N. (2021). "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010.
Why one litre-kilopascal is exactly one joule — the coherent SI derived units: Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units (SI), 9th edition, 2019, §2.3.4 (derived units: the pascal and the joule).

全プロセスの詳細解説

1気圧で22.4リットルを占める1モルの気体 5 ステップ
1 モルの気体は 1 気圧において 22.4 リットルを占める。すべての教科書にはそれが 0 °C であると書かれている。しかし、上のパネルには −0.16 °C と表示されている。どちらが誤りであるかを突き止め、その差の 1 ケルビンに至るまで完全に説明せよ。
1. 温度について式を整理するのは容易な作業であり、4 つの物理量のうち 3 つが固定されれば、解がそれ以外の値をとる余地がないことに注目すべきである。
  
  $P V = n R T ⟹ T = \frac{P V}{n R}$
2. 代入すると 272.99 K となり、これは 0 °C ではなく −0.16 °C である。計算自体に疑問の余地はないため、このスケールにおいて気体の状態方程式が誤っているか、あるいは 3 つの入力値のいずれかが掲げられている数値と異なっているかのいずれかである。
  
  $T = \frac{101.325 \times 22.4}{1 \times 8.314} = \frac{2269.68}{8.314} = 272.99 K = - 0.16^{\circ} C$
3. 同じ方程式を逆方向に計算して入力値を検証する。1 モルは正確に 273.15 K において実際にどのような体積を占めるだろうか。22.4 リットルではなく、22.4127 リットルである。
  
  $V = \frac{n R T}{P} = \frac{8.314 \times 273.15}{101.325} = 22.4127 L$
4. したがって、入力値は 0.057% 四捨五入されていたことになる。圧力と物質量が一定に保たれている場合、T は V に正比例するため、その相対誤差はそのまま引き継がれる。273.15 K の 0.057% は 0.155 K である。
  
  $\frac{22.4127 - 22.400}{22.4127} = 0.057%, 0.057% \times 273.15 K = 0.155 K$
5. 説明すべき差は 273.15 − 272.99 = 0.16 K であった。その原因はすべて四捨五入によるものであり、他に残る要因はない。
  
  $273.15 - 272.99 = 0.16 K ⟹ T \propto V transfers the error exactly$
解答

ツールは 272.99 K という値を 101.33 kPa および 22.400 L から表示しており、これは正しい。教科書の記述も同様である。標準状態におけるモル体積は実際に 22.4127 L であり、「22.4」はその数値を有効数字 3 桁にしたものである。0.16 K の差は、気体の状態方程式、ツール、あるいは教科書の欠陥ではない。四捨五入された入力値が厳密な関係式に適用され、出力が 5 桁まで読み取られたときに生じる結果である。体積の入力欄に 22.4127 と入力すると、温度は即座に 273.15 に切り替わる。これは有効数字の規律を 1 つの画面で示している。T ∝ V は相対誤差を保存するため、3 桁の入力値から 5 桁の解答を正当化することは決してできない。

$T = \frac{P V}{n R} = 272.99 K; 22.4 is 22.4127 rounded, worth 0.16 K$

42Math チーム · 更新 2026-07-27

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

物理学のレッスン一覧 →

例題

標準状態 (STP) - 22.400 L に 1 モル、標準圧力なら 272.99 K——0 °C をわずかに下回る。
ボイルの法則 - 同じ 1 モルを 200.00 kPa で 10.000 L に押し込むと、対応する温度は 240.56 K まで下がる。
シャルルの法則 - シャルル：体積について解くと、101.33 kPa の 273.15 K はちょうど 22.413 L を満たす。
ゲイ＝リュサックの法則 - ゲイ＝リュサック：体積を固定して圧力を解く——22.400 L の 273.15 K は 101.38 kPa。