バンク付きカーブ

カーブの半径、バンクの傾き、タイヤと路面の摩擦係数、速度、質量を設定してください。力を各方向に分解し、摩擦力がどちらを向くべきか、タイヤが必要な摩擦力を出せるかを示します。さらに、このカーブを走れる速度範囲をすべて求めます。

計算例 — バンク付きカーブ

道路工学で表す片勾配	8.00%
摩擦角	38.66°
摩擦を必要としない設計速度	45.09 km/h
走行可能な最低速度	0.00 km/h
走行可能な最高速度	154.59 km/h
中心向きの加速度	3.125 m/s²
路面から受ける垂直抗力	15,037 N
タイヤに必要な摩擦力	3,500 N、斜面下向き

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — バンク付きカーブ

バンク付きカーブとは、路面を中心側へ角度θだけ傾けたカーブです。車両が路面から受ける垂直抗力は常に路面と直角で、その力が内側へ傾くことにより、旋回に必要な力の一部または全部を担います。設計速度v₀ = √(r g tan θ)では、旋回に必要な力をバンクだけで得られるため、摩擦力は必要ありません。路面からの垂直抗力のμ倍まで摩擦力を使えると、この一点の速度がr g tan(θ − φ) ≤ v² ≤ r g tan(θ + φ)という範囲に広がります。ここでφ = arctan μは摩擦角です。これらの式に質量は現れません。

各記号の意味

r: カーブの中心から車両までを水平に測った半径
θ: 水平面から測るバンク角。道路工学ではtan θを百分率で表し、片勾配と呼ぶ
μ: タイヤが出せる最大摩擦力を、路面からの垂直抗力に対する比で表したもの
φ: 摩擦角arctan μ。車両が静止できる斜面の最大角度
v_0: バンクだけで曲がることができ、摩擦力がゼロになる設計速度

前提: 車両を一点とみなし、半径とバンク角が一定のカーブを、水平な円軌道に沿って一定速度で走るものとします。標準重力加速度は9.80665 m/s²です。摩擦係数はすべての方向で同じとします。公表値はスリップ率17%での制動試験によるものですが、転動中のタイヤが横方向に発揮できる摩擦も同程度と仮定します。空気の影響は考えず、ダウンフォース、抗力、横風を無視します。
成り立たない場合: 重心の高い車両は滑る前に横転することがあり、バンク付きカーブでの限界は片勾配だけでなく輪距にも左右されます。トラックは特に早くこの限界に達します。実際の道路設計では、乗り心地を保ち、摩耗したタイヤにも余裕を残すため、測定された摩擦係数よりはるかに小さい横すべり摩擦係数を用います。レーシングカーのウイングが生むダウンフォースは速度の二乗に比例し、走行可能な最高速度を引き上げます。また実際のカーブには、半径が徐々に小さくなる緩和曲線から進入するので、初めから一定半径ではありません。

このカーブでは、45.09 km/h未満で摩擦力が外向きに働く 🖖

乾燥路・30 km/h、続いて乾燥路・90 km/hを押してください。半径200 m、片勾配8%では、設計速度は45.09 km/hです。この速度ならバンクだけで曲がれます。路面に垂直な抗力は中心側へ傾き、その水平成分が旋回に必要なm v²/rとちょうど一致するため、摩擦力はゼロです。速度を下げると、その水平成分は旋回に必要な力を上回ります。放っておけば車はカーブの内側へ斜面を滑り落ちるので、摩擦力が斜面上向きに支えます。30 km/hでは654 Nです。速度を上げると垂直抗力だけでは足りず、摩擦力は斜面下向きになります。90 km/hでは3,500 Nです。平坦路では摩擦力が車をカーブの内側へ向けますが、このバンクでは45.09 km/h未満のどの速度でも反対を向きます。次に40 tトラック・90 km/hを押してください。すべての力は乗用車の26.67倍になりますが、必要な摩擦係数は同じ0.2327です。どの式でも質量が両辺に掛かるからです。トラックだからといって、乗用車より急なバンクが必要になるわけではありません。ただしトラックは重心が高く、積載時には乾燥路で滑り出す前に横転することがあります。このページでは横転を扱っていません。

濡れた鏡氷では、10%の片勾配に止まった車は滑り落ちる 🖖

バンクには最高速度だけでなく、最低速度もあります。停止した車には、斜面下向きのmg sin θに逆らう摩擦力が必要です。路面からの垂直抗力はmg cos θなので、静止できるのはtan θがμ以下のときに限られます。スウェーデン国立道路交通研究所VTIのCarl-Gustaf WallmanとHenrik Åströmが2001年にまとめた調査では、濡れた鏡氷の摩擦係数は0.05～0.10です。鏡氷・勾配10%で停止を押してください。静止に必要な摩擦係数は0.1000ですが、氷上では0.05しか得られないため、車はカーブの内側へ滑り落ちます。35.56 km/hより遅ければ走行中でも滑り、第2パネルでは速度範囲の下限がゼロから持ち上がります。ワシントン州の道路設計便覧は片勾配を最大10%まで認めていますが、雪や氷が積もる場所では6%までに制限しています。6%を超える片勾配のカーブでは、低速走行中または停止中の車両が内側へ滑りやすいためです。バンク角を6%に相当する3.434°に設定してみましょう。摩擦係数が0.06より大きければ車は静止できますが、最悪の鏡氷である0.05ではまだ滑ります。この氷上で停止した車が動かずにいられるのは、片勾配が5%以下の場所だけです。

乾燥路では、51.34°を超えると速度の上限がなくなる 🖖

速度が上がれば必要な摩擦力も増えますが、車を路面へ押しつける力も強くなります。急なバンクでは後者の効果が勝ります。速度を限りなく上げたとき、必要な摩擦係数は1/tan θに近づきます。したがって1/tan θがμを下回れば、どれほど速くても路面の摩擦限界を超えません。μ = 0.8の乾燥路では、その境目が51.34°です。下の表では、半径200 mのカーブの最高速度が45°で478.30 km/hとなり、60°では上限が消えます。90°になると路面は壁になり、ウォール・オブ・デスがその極端な例です。摩擦力は重量のすべてを支えなければなりません。得られる摩擦力は、壁から受ける垂直抗力m v²/rのμ倍です。そのため最低速度√(rg/μ)はありますが、最高速度はありません。半径5 mの壁では28.18 km/hが必要です。40 km/hでは必要な摩擦係数が0.3972となり、壁から重量の2.518倍の垂直抗力を受けます。

全プロセスの詳細解説

航空機をバンクさせると、旋回はどう変わるか 6 ステップ
軽飛行機が100ノット、51.44 m/sで水平旋回し、バンク角は60°です。旋回半径、一周にかかる時間、座席が操縦士を押す力、3.8 gの構造限界で許される最大バンク角、50ノットの失速速度がどう変わるかを求めてください。最初の段階は乾燥路・90 km/hを押して確かめられます。

この問題をツールで開く
1. 航空機の水平旋回は、道路の摩擦力を取り除き、路面からの垂直抗力を翼の揚力に置き換えたものです。したがって常に設計速度の条件tan θ = v²/(rg)を満たします。このページの半径200 m、片勾配8%の道路も、45.09 km/hで同じ式を満たします。
  
  $tan θ = \frac{v _{0}^{2}}{r g} : \frac{( 12 . 53 m/s ) ^{2}}{200 \times 9 . 80665} = 0.0800 = 8 . 00% \Rightarrow v_{0} = 45.09 km/h$
2. 60°での旋回半径について解くと、
  
  $r = \frac{v ^{2}}{g tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{51 . 4 4 ^{2}}{9 . 80665 \times 1 . 732} = 155.8 m$
3. この円を51.44 m/sで一周する時間は、
  
  $t = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 155 . 8}{51 . 44} = 19.03 s ω = 18.9 2^{\circ} / s$
4. 揚力の鉛直成分だけで重量を支える必要があるので、揚力はmg/cos θです。これは設計速度における路面からの垂直抗力と同じで、速度には依存しません。
  
  $L cos θ = m g \Rightarrow n = \frac{L}{m g} = \frac{1}{cos 6 0 ^{\circ}} = 2.000$
5. 3.8 gの構造限界に達するのは、余弦が1/3.8となるバンク角です。表の75°の行は3.864を示し、すでに限界を超えています。
  
  $\frac{1}{cos θ} = 3.8 \Rightarrow θ = arccos \frac{1}{3 . 8} = 74.7 4^{\circ} \frac{1}{cos 7 5 ^{\circ}} = 3.864$
6. 翼は迎角が一定値に達すると失速するため、必要な揚力を維持できる速度は荷重倍数の平方根に比例して上がります。
  
  $v_{s}^{'} = v_{s} n = 50 kn \times 2 = 70.71 kn$
解答

旋回半径は155.8 m、一周は19.03 sです。対気速度によらず、座席は操縦士を体重の二倍の力で押します。FAAの『Airplane Flying Handbook』にも、60°では同じ2.0、45°では1.41と示されています。また、75°での水平旋回は標準カテゴリーの軽飛行機が想定する3.8の限界を超えると説明されています。正確な限界角は74.74°です。失速速度は50ノットから70.71ノットへ上がり、同書では70ノットに丸められています。

$θ = 6 0^{\circ}, 100 kn : r = 155.8 m, t = 19.03 s, n = 2.000, θ_{m a x} = 74.7 4^{\circ}, v_{s}^{'} = 70.71 kn$

参考文献 (3)

Measured tyre-road friction by surface, from Swedish skiddometer surveys: dry bare road 0.8 to 1.0, wet 0.7 to 0.8, packed snow 0.20 to 0.30, wet black ice 0.05 to 0.10, the values behind the page's grip hint and its presets: C.-G. Wallman and H. Åström, "Friction measurement methods and the correlation between road friction and traffic safety. A literature review." VTI meddelande 911A, Swedish National Road and Transport Research Institute, Linköping, 2001, p. 36.
Why roads that see ice are banked gently: the steepest bank allowed is 10%, and where snow and ice accumulate it is limited to 6%, because slow or stopped vehicles on steeper banks slide inward: Washington State Department of Transportation, Design Manual M 22-01.23, Chapter 1250 "Cross Slope and Superelevation", section 1250.03, September 2024.
A banked aircraft's load factor depends on the bank alone, 1.41 at 45° and 2.0 at 60° for any airspeed or aeroplane, a standard-category light aircraft is built for 3.8, and the stall speed rises as the square root of the load: Federal Aviation Administration, Airplane Flying Handbook (FAA-H-8083-3C), Chapter 10 "Performance Maneuvers", section on steep turns.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。