ミサイル迎撃と比例航法

(22, 2) km の位置を 1500 m/s で飛行する迎撃機、(5, 19) km の位置を進行方位 -14°、速度 900 m/s で飛行する目標があり、迎撃機は視線方向にまっすぐ発射される。航法比 N = 3 のとき、比例航法は最初の瞬間にどのような横加速度を要求するか — そして、ミサイルがすでに目標を正確に向いているにもかかわらず、なぜ加速度を要求するのだろうか。

1. 2つの位置の差をとると、左へ 17 km、上へ 17 km となる。45° の対称性があるのは好都合で、R² はちょうど 578 となり、以下のすべてのステップでこの値で割ることになる。

   $$\vec{r}=(5-22,19-2)=(-17,17)\mathrm{km};R=17\sqrt{2}=24.04\mathrm{km};\lambda =atan2(17,-17)=135.0^{\circ }$$

2. 目標はこの交戦において機動しないため、その速度ベクトルが変化することはない。一度成分分解しておけば、それを使い回すことができる。

   $${\vec{v}}_T=900(\cos (-14^{\circ }),\sin (-14^{\circ }))=(873.3,-217.7)m/s$$

3. 迎撃機は視線方向に沿って発射されるため、その進行方位 ψ₀ も 135° となる。2つの速度の差をとれば、誘導則が参照する唯一のベクトルが得られる。

   $${\psi }_0=\lambda ⟹{\vec{v}}_I=(-1060.7,1060.7);{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}={\vec{v}}_T-{\vec{v}}_I=(1933.9,-1278.4)m/s$$

4. 接近速度とは、相対速度のうち視線方向に沿う成分の符号を反転させ、接近を正としたものである。距離を縮めるのはその成分だけである。

   $$V_c=-\frac{\vec{r}\cdot {\vec{v}}_{\mathrm{rel}}}{R}=\frac{54.609}{24.0416}=2.2714km/s=2271m/s$$

5. 相対速度の残りの成分は視線と垂直な方向を向いており、これが方位を回転させる。それを距離で割れば角速度が得られる。この値はゼロではない — したがって、完璧に照準が合っているにもかかわらず、これは会合コースではないのである。

   $$\dot{\lambda }=\frac{r_x{v}_{\mathrm{rel},y}-r_y{v}_{\mathrm{rel},x}}{R^2}=\frac{21.733-32.877}{578}=-0.0193rad/s=-1.10^{\circ }/\mathrm{s}$$

6. 比例航法はこれら2つの測定値を掛け合わせ、N 倍した積を加速度とする。この誘導則は目標がどこへ向かっているかを一切関知しない。方位がどれほどの速さでずれ、距離がどれほどの速さで縮まっているかを知っているだけであり、必要なのはそれだけである。

   $$a_{\mathrm{cmd}}=N{V}_c\dot{\lambda }=3(2271)(-0.019280)=-131.4m/{\mathrm{s}}^2=13.4g$$

7. 次に、内積を一切使わずに同じ角速度を別の方法で求めてみよう。目標自体の速度を視線と垂直な方向に分解する。

   $$\hat{p}\perp \vec{r}:{\vec{v}}_T\cdot \hat{p}=900\sin (-14^{\circ }-135^{\circ })=-900\sin 31^{\circ }=-463.5m/s$$

8. 迎撃機は視線方向に沿って発射されたため、視線と垂直な方向の成分を持たない。視線交差方向の 463.5 m/s のドリフトはすべて目標によるものであり、これを 24,042 m の距離で割ると、ステップ 5 とまったく同じ結果が得られる。

   $${\vec{v}}_I\cdot \hat{p}=0⟹\dot{\lambda }=\frac{{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}\cdot \hat{p}}{R}=\frac{-463.5}{24042}=-0.0193rad/s$$