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集団免疫閾値は66.7%なのに、なぜ流行によって94.1%が感染するのか？

42Math team · 28 June 2026

A young woman doctor kneels to reassure a small child holding a toy rabbit at a vaccination clinic in a village hall, families waiting on chairs behind them, a trolley of vials beside her and bunting strung across the ceiling.

同じシミュレーションから得られた2つの数値：アウトブレイクは66.7%で曲がり角を迎え、94.1%で終息する。興味深い現象のすべては、このギャップの中に潜んでいる。

感染者数曲線は免疫率が66.7%に達する地点、すなわち増加が止まる地点でちょうどピークを迎える。感染伝播は94.1%で停止し、その間の斜線部のギャップがオーバーシュートである。

デフォルト設定で SIR model を実行する：感染率 β = 0.3、回復率 γ = 0.1、人口10,000人、初日の感染者10人。パネルには R₀ = β/γ = 3.00、および集団免疫閾値 1 − 1/R₀ = 66.7% が表示される。

さらに結果も報告されている。感染ピーク時：3,017人、人口の30.2%が同時に罹患。累計感染者数：9,412人 — 94.1%。

この最後の2つの数値こそ、立ち止まって考えるべきものである。閾値は66.7%を示していたが、流行はそれを27.4パーセントポイント超えて進行した。これは10,000人のうち2,745人が、アウトブレイクがすでに縮小し始めた後に感染したことを意味する。

閾値が実際に示していること

閾値とは導関数に関する主張であり、終点に関する主張ではない。それを終点と解釈することこそが、根本的な誤りである。

全員が感受性を持つ集団では、1人の感染者は他の R₀ 人に感染を広げる。集団の一定割合がすでに免疫を獲得している場合、接触のうち感染し得るのは感受性を持つ者の割合のみであるため、実効再生産数は以下のようになる。

R_eff = R₀ · S/N

自由そして感染者数の増加は R_eff = 1 のときに停止する。これは感受性保持者の割合 S/N が 1/R₀（ここでは3分の1）まで低下したときに起こる。同等に言えば、66.7% がもはや感受性を持たなくなったときである。

その瞬間に起きないことに着目してほしい。感染伝播は止まらない。R_eff = 1 は、感染者1人が新たにちょうど1人を感染させることを意味し、流行はピークの状態で安定する。これこそが、ピークと閾値が同一の現象である理由である。デフォルト設定では、その瞬間に 3,017 人が感染力を有している。その全員がそれぞれおよそもう1人に感染させ、新しく感染した人々はそれよりわずかに少ない人数に感染させていき、極めて大きな初期数からテールが展開する。アウトブレイクはピークで停止するのではなくピークから減衰していくのであり、その減衰中に感染したすべてがオーバーシュートである。

テールこそが余分な 27 ポイントの存在する場所であり、進行の途中でそれを確認できる。日数のコントロールを 60 に設定してみよう。ピークは変わらず 3,017 を示しており、すでに過ぎ去ったことが分かる。一方で累計は 8,122 を示す。まだ 1,290 件の感染が後に控えており、そのすべてはアウトブレイクが縮小し始めた後に発生する。

なぜ最終規模は選択できないのか

終着点は R₀ 以外の何によっても調整不可能である。カーマックとマッケンドリックは 1927 年にこの関係式を導出した。最終的に感染する割合を f とすると、以下のようになる。

f = 1 − e^−R₀·f

これは R₀ > 1 のときに 0 を超える唯一の解を持つ陰関数方程式である。R₀ = 3 のとき、f ≈ 0.94 となり、パネルの 94.1% と一致する。この方程式には、人口規模の項も、流行の進行速度に関する項も、それがいつ始まったかに関する記述も含まれていない。人口を2倍に増やせば被害者の数は2倍になるが、その割合は一切変化しない。

オーバーシュートは R₀ とともに増大し、しかも過酷な形で大きくなる：

R₀ = 1.5（インフルエンザのプリセット） — 閾値 33.3%、最終規模 5,845 人（58.5%）。オーバーシュート 25 ポイント。
R₀ = 3 — 閾値 66.7%、最終規模 94.1%。オーバーシュート 27 ポイント。
R₀ = 15（麻疹のプリセット） — 閾値 93.3%、パネルが表示する最終規模は 10,000 人中 10,000 人（全員）。オーバーシュートは約 7 ポイント。

オーバーシュートは中間の領域で最も大きくなる。R₀ = 1 未満では流行は起こらない。非常に高い R₀ では、閾値がすでに全人口に極めて近いため、オーバーシュートが及ぶ余地がほとんど残されていない。「自然に流行させておけばいい」と思われがちな、中程度の伝播力を持つ病原体こそが、成長が止まる地点と伝播が止まる地点との間のギャップが最も広くなる。

重要な帰結

閾値に至るどちらの経路も 66.7% が免疫を持つ状態で終わる。しかし、94.1% が感染するという代償を伴うのは、そのうちの片方だけである。

病原体が侵入する前にすでに免疫が存在している場合（ワクチン接種、または交差保護効果を持つものへの過去の暴露など）、R_eff は 1 未満から始まり、拡大期も、ピークも、オーバーシュートも発生しない。持ち込まれた病原体は小さなクラスターを生むだけで消滅する。27.4 ポイントは免疫を得るための代償ではなく、流行前ではなく流行の最中に免疫を獲得することに対する代償なのである。

これはまた、2020 年に繰り返し浮上した主張（集団を意図的に閾値まで誘導してそこで停止させることができるという考え）に対する誠実な回答でもある。モデルが示すのは、停止という段階こそ人間がコントロールできない部分だということである。データによって閾値に達したことが確認された時点で、すでに数千人が感染力を保持しており、それらの感染は不可避となっている。ピークとはブレーキではない。車が全速力で走行している最中に、ようやくブレーキがかかり始める瞬間なのである。

念頭に置くべき 2 つの限界がある。このモデルには 4 つのダイヤルしかないが、現実には数千ものダイヤルが存在するからである。モデルは全員がランダムに接触すると仮定しているが、実在する集団でそのようなことはない。クラスター化した接触構造は最終規模を押し下げ、単純な閾値を大幅に下回る段階で局所的な収束を生み出すことがある。さらに、モデルは免疫が永久的であると仮定しているが、多くの病原体において免疫は永続しない。免疫が減衰する場合、「閾値」とは一度到達して維持する水準ではなく、払い続けなければならないコストとなる。これら両方の補正は数値を変更させるが、主張の骨組みを変えることはない。成長が止まる地点と伝播が止まる地点は別の地点であり、その間の距離は人間の数によって測定されるのである。