See on masintõlge; ingliskeelne tekst on originaal. Loe originaali

Karjaimmuniteedi künnis on 66,7%, miks nakatab epideemia siis 94,1%?

42Math team · 28 June 2026

A young woman doctor kneels to reassure a small child holding a toy rabbit at a vaccination clinic in a village hall, families waiting on chairs behind them, a trolley of vials beside her and bunting strung across the ceiling.

Kaks arvu samast simulatsioonist: puhang pöördub langusesse 66,7% juures ja lõpeb 94,1% juures. Kogu huvitav osa peitub nende vahes.

Nakkusjuhtude kõver saavutab haripunkti täpselt seal, kus immuunsus jõuab 66,7%-ni, mis ongi kasvu peatumise koht. Nakkuse edasikandumine lakkab 94,1% juures ning nende vahele jääv viirutatud ala on ülelask.

Käivitage SIR model selle vaikeväärtustega: ülekandemäär β = 0,3, paranemismäär γ = 0,1, kümme tuhat inimest, neist kümme esimesel päeval nakkusohtlikud. Paneel näitab tulemusteks R₀ = β/γ = 3,00 ja karjaimmuniteedi künniseks 1 − 1/R₀ = 66,7%.

Samuti näitab see tulemust. Nakatunute haripunkt: 3017 inimest, 30,2% elanikkonnast üheaegselt haiged. Nakatunuid kokku: 9412 — 94,1%.

Nende kahe viimase arvu juures tasub pikemalt peatuda. Künnis pakkus 66,7%, kuid epideemia läks sellest 27,4 protsendipunkti võrra edasi. See tähendab 2745 inimest kümnest tuhandest, kes nakatusid pärast seda, kui puhang oli juba kahanema hakanud.

Mida künnis tegelikult väidab

Künnis on väide tuletise, mitte lõpptulemuse kohta, ning selle tõlgendamine lõpp-punktina ongi kogu viga.

Iga nakkusohtlik inimene kannab täielikult vastuvõtlikus elanikkonnas nakkuse edasi R₀ teisele inimesele. Kui osa elanikkonnast on juba immuunne, saab nakatuda vaid vastuvõtlik osa neist kontaktidest, mistõttu efektiivne reproduktsiooniarv on

R_eff = R₀ · S/N

ja juhtude arvu kasv peatub, kui R_eff = 1, mis leiab aset siis, kui vastuvõtlike osakaal S/N langeb väärtuseni 1/R₀ — siin ühe kolmandikuni. Ehk teisisõnu siis, kui 66,7% ei ole enam vastuvõtlikud.

Pange tähele, mida sel hetkel ei juhtu. Nakkuse edasikandumine ei lakka. R_eff = 1 tähendab, et iga nakkusohtlik inimene nakatab täpselt veel ühe inimese, mistõttu epideemia püsib oma haripunktis stabiilsena — ja seetõttu ongi haripunkt ja künnis üks ja sama sündmus. Vaikesätete korral on sel hetkel nakkusohtlikud 3017 inimest. Igaüks neist nakatab edasi umbes ühe inimese, kellest igaüks nakatab omakorda pisut vähem inimesi, ning saba mängib välja väga suurest algvarust. Puhang hääbub haripunktist alates, mitte ei peatu seal, ning kõik selle hääbumise jooksul lisandunud nakatumised ongi ülelask.

Selles sabas peituvadki need täiendavad 27 protsendipunkti, ja seda saab jälgida poole pealt. Seadke päevade juhtelement väärtusele 60: haripunkti näit on endiselt 3017, mis tähendab, et see on juba möödas, samal ajal kui koguarv näitab 8122. Veel 1290 nakatumist on alles ees, ja need kõik leiavad aset pärast seda, kui puhang hakkas kahanema.

Miks lõplik suurus ei ole valiku küsimus

Lõpp-punkti ei saa häälestada millegi muu kui R₀ abil. Kermack ja McKendrick tuletasid selle seose 1927. aastal: kui f on lõplikult nakatunute osakaal, siis

f = 1 − e^−R₀·f

ilmutamata võrrand, millel on üksainus nullist suurem lahend alati, kui R₀ > 1. Väärtuse R₀ = 3 korral annab see f ≈ 0,94, mis kattub paneeli näiduga 94,1%. Võrrand ei sisalda liidetavat ega tegurit populatsiooni suuruse, epideemia kulgemise kiiruse ega selle algusaja kohta. Populatsiooni kahekordistamine kahekordistab ohvrite arvu ega muuda osakaalu üldse.

Ülelask kasvab koos R₀-ga, ja see kasvab halastamatult:

R₀ = 1,5, gripi eelseadistus — künnis 33,3%, lõplik suurus 5845 inimest ehk 58,5%. Ülelask 25 protsendipunkti.
R₀ = 3 — künnis 66,7%, lõplik suurus 94,1%. Ülelask 27 protsendipunkti.
R₀ = 15, leetrite eelseadistus — künnis 93,3% ja paneel väljastab lõplikuks suuruseks 10 000 inimest 10 000-st. Kõik. Ülelask umbes 7 protsendipunkti.

Ülelask on kõige suurem keskmise taseme juures. Kui R₀ = 1, ei teki epideemiat; väga kõrge R₀ korral on künnis juba kõigile nii lähedal, et ülelasket ei mahu palju tekkima. Mõõdukalt edasikanduvatel patogeenidel — neil, mida tundub usutav "läbi jooksta lasta" — on kõige suurem lõhe kasvu peatumise punkti ja edasikandumise peatumise punkti vahel.

Oluline tagajärg

Mõlemad teed künniseni lõppevad 66,7% immuunsusega. Kuid vaid ühe hind on 94,1% nakatunuid.

Kui immuunsus on olemas enne patogeeni saabumist — vaktsineerimise või varasema kokkupuute tõttu mõne ristskaitset pakkuva tekitajaga —, algab R_eff alla 1, kasvuetappi ei ole, haripunkti ei ole ega ka ülelasket. Nakkuse sissetoomine tekitab vaid väikesi koldeid, mis hääbuvad. Need 27,4 protsendipunkti ei ole immuunsuse hind; need on hind selle omandamise eest epideemia ajal, mitte enne seda.

See on ka aus vastus 2020. aastal korduvalt esile kerkinud argumendile — et elanikkonna saaks teadlikult viia künniseni ja seal peatada. Mudel näitab, et peatumine on just see osa, mida te ei kontrolli. Selleks ajaks, kui andmed näitavad künniseni jõudmist, on mitu tuhat inimest juba nakkusohtlikud ja nende nakatumine on juba paratamatus. Haripunkt ei ole pidur; see on hetk, mil pidurit alles hakatakse vajutama, kui sõiduk liigub täiskiirusel.

Kaks piirangut, mida tasub silmas pidada, sest see on nelja nupuga mudel, samal ajal kui tegelikkuses on neid tuhandeid. See eeldab, et kõik segunevad kõigiga juhuslikult, mida ükski populatsioon ei tee — klastritesse koondunud kontaktstruktuurid vähendavad lõplikku suurust ja võivad põhjustada kohalikku hääbumist kaugel allpool naiivset künnist. Samuti eeldab see, et immuunsus on püsiv, mida see paljude patogeenide puhul ei ole; seal, kus immuunsus nõrgeneb, ei ole "künnis" tase, kuhu jõuate ja jääte, vaid tase, mille eest tuleb pidevalt juurde maksta. Mõlemad parandused muudavad arve. Kumbki ei muuda aga argumendi tuuma: punkt, kus kasv peatub, ja punkt, kus edasikandumine peatub, on erinevad punktid, ning nende vahemaad mõõdetakse inimestes.