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Le seuil d'immunité collective est de 66,7 %, alors pourquoi l'épidémie infecte-t-elle 94,1 % ?

42Math team · 28 June 2026

Deux chiffres d'une même simulation : l'épidémie franchit le cap à 66,7 % et s'achève à 94,1 %. Tout l'intérêt réside dans cet écart.

Exécutez le modèle SIR avec ses valeurs par défaut : transmission β = 0,3, guérison γ = 0,1, dix mille personnes, dont dix personnes infectieuses au premier jour. Le panneau indique R₀ = β/γ = 3,00 et un seuil d'immunité collective de 1 − 1/R₀ = 66,7 %.

Il indique également le résultat. Pic d'infectés : 3 017 personnes, soit 30,2 % de la population malade simultanément. Total d'infectés : 9 412 — 94,1 %.

Ces deux derniers chiffres sont ceux sur lesquels il convient de s'arrêter. Le seuil indiquait 66,7 %, et l'épidémie a dépassé ce niveau de 27,4 points de pourcentage. Cela représente 2 745 personnes sur dix mille infectées après que l'épidémie a déjà commencé à décliner.

Ce que le seuil affirme réellement

Le seuil est une affirmation concernant une dérivée, non une fin, et le lire comme une fin constitue toute l'erreur.

Chaque personne infectieuse, dans une population entièrement susceptible, transmet l'infection à R₀ autres personnes. Si une fraction de la population est déjà immunisée, seule la part susceptible de ces contacts peut être infectée, de sorte que le nombre de reproduction effectif est

R_eff = R₀ · S/N

et le nombre de cas cesse d'augmenter lorsque R_eff = 1, ce qui se produit lorsque la fraction de susceptibles S/N tombe à 1/R₀ — un tiers ici. Équivalemment, lorsque 66,7 % ne sont plus susceptibles.

Remarquez ce qui ne se produit pas à ce moment-là. La transmission ne s'arrête pas. R_eff = 1 signifie que chaque personne infectieuse en infecte exactement une autre, de sorte que l'épidémie se maintient à son pic — et c'est pourquoi le pic et le seuil constituent le même événement. Avec les valeurs par défaut, 3 017 personnes sont infectieuses à cet instant. Chacune d'entre elles continue d'infecter environ une personne de plus, dont chacune en infecte un peu moins, et la traîne se déroule à partir d'un stock initial très élevé. L'épidémie décline depuis le pic au lieu de s'y arrêter, et tout ce qui est infecté durant ce déclin constitue le dépassement.

La traîne est l'endroit où se trouvent les 27 points supplémentaires, et vous pouvez la saisir en plein déroulement. Réglez le contrôle des jours sur 60 : le pic indique toujours 3 017, il est donc déjà passé, tandis que le total indique 8 122. Encore 1 290 infections sont à venir, chacune d'entre elles après que l'épidémie a commencé à décliner.

Pourquoi la taille finale n'est pas un choix

Le point final n'est ajustable par rien d'autre que R₀. Kermack et McKendrick ont établi la relation en 1927 : si f est la fraction finalement infectée, alors

f = 1 − e^−R₀·f

une équation implicite avec une solution unique supérieure à zéro dès lors que R₀ > 1. Pour R₀ = 3, elle donne f ≈ 0,94, ce qui correspond aux 94,1 % du panneau. L'équation ne contient aucun terme pour la taille de la population, aucun terme pour la vitesse à laquelle l'épidémie s'est propagée, et rien sur le moment où elle a commencé. Doubler la population double le nombre de victimes et ne modifie en rien la fraction.

Le dépassement augmente avec R₀, et il augmente sévèrement :

• R₀ = 1,5, le préréglage de la grippe — seuil 33,3 %, taille finale 5 845 personnes, soit 58,5 %. Dépassement de 25 points.
• R₀ = 3 — seuil 66,7 %, taille finale 94,1 %. Dépassement de 27 points.
• R₀ = 15, le préréglage de la rougeole — seuil 93,3 %, et le panneau affiche une taille finale de 10 000 personnes sur 10 000. Tout le monde. Dépassement d'environ 7 points.

Le dépassement est le plus grand au milieu. En dessous de R₀ = 1, il n'y a pas d'épidémie ; à un R₀ très élevé, le seuil est déjà si proche de l'ensemble de la population qu'il reste peu de marge pour un dépassement. Les agents pathogènes modérément transmissibles, ceux qu'il semble plausible de « laisser circuler », présentent l'écart le plus large entre le point où la croissance s'arrête et le point où la transmission s'arrête.

La conséquence qui importe

Les deux voies menant au seuil s'achèvent avec 66,7 % d'immunisés. Une seule d'entre elles coûte 94,1 % d'infectés.

Si l'immunité est déjà en place avant l'arrivée du pathogène — par vaccination ou exposition préalable à un élément offrant une protection croisée —, alors R_eff commence en dessous de 1, il n'y a pas de phase de croissance, pas de pic et pas de dépassement. Les introductions produisent de petits foyers qui s'éteignent. Les 27,4 points ne sont pas le prix de l'immunité ; ils sont le prix de son acquisition pendant une épidémie plutôt qu'avant celle-ci.

C'est également la réponse honnête à l'argument réapparu à plusieurs reprises au cours de l'année 2020 — selon lequel une population pourrait être amenée délibérément jusqu'au seuil et y être arrêtée. Le modèle indique que l'arrêt est la partie que vous ne contrôlez pas. Au moment où les données montrent que vous êtes arrivé au seuil, plusieurs milliers de personnes sont déjà infectieuses et leurs infections sont déjà engagées. Le pic n'est pas un frein ; c'est le moment où le frein commence à être appliqué, avec le véhicule à pleine vitesse.

Deux limites méritent d'être gardées à l'esprit, car il s'agit d'un modèle à quatre cadrans et la réalité en compte des milliers. Il suppose que tout le monde se mélange au hasard avec tout le monde, ce qu'aucune population ne fait — les structures de contact en grappes réduisent la taille finale et peuvent produire une extinction locale bien en dessous du seuil naïf. Et il suppose que l'immunité est permanente, ce qui n'est pas le cas pour de nombreux pathogènes ; là où l'immunité s'estompe, « le seuil » n'est pas un niveau qu'on atteint et conserve, mais un niveau qu'il faut continuer à payer. Ces deux corrections modifient les chiffres. Aucune ne modifie la forme de l'argument : le point où la croissance s'arrête et le point où la transmission s'arrête sont des points différents, et la distance entre eux se mesure en personnes.