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El umbral de inmunidad de grupo es del 66,7 %, ¿por qué la epidemia infecta al 94,1 %?
Dos cifras de una misma simulación: el brote cambia de tendencia al 66,7 % y termina en el 94,1 %. Todo lo interesante se encuentra en la brecha.
Ejecute el modelo SIR con sus valores por defecto: transmisión β = 0,3, recuperación γ = 0,1, diez mil personas, diez de ellas infecciosas el primer día. El panel indica R₀ = β/γ = 3,00 y un umbral de inmunidad de grupo de 1 − 1/R₀ = 66,7 %.
También indica el resultado. Pico de infectados: 3.017 personas, el 30,2 % de la población enferma simultáneamente. Total de infectados: 9.412 — 94,1 %.
Estas dos últimas cifras son las que merecen una pausa. El umbral señalaba un 66,7 % y la epidemia lo superó en 27,4 puntos porcentuales. Esto supone 2.745 personas de cada diez mil que se infectaron después de que el brote hubiera comenzado a remitir.
Lo que realmente afirma el umbral
El umbral es una afirmación sobre una derivada, no sobre un final, y leerlo como un final es precisamente el error.
Cada persona infecciosa, en una población totalmente susceptible, transmite la infección a otras R₀ personas. Si una fracción de la población ya es inmune, solo la proporción susceptible de esos contactos puede resultar infectada, de modo que el número de reproducción efectivo es
Reff = R₀ · S/N
y el recuento de casos deja de crecer cuando Reff = 1, lo que ocurre cuando la fracción susceptible S/N cae a 1/R₀ (un tercio en este caso). De manera equivalente, cuando el 66,7 % ya no es susceptible.
Obsérvese lo que no ocurre en ese instante. La transmisión no se detiene. Reff = 1 significa que cada persona infecciosa infecta exactamente a una más, por lo que la epidemia se mantiene estable en su pico; esta es la razón por la que el pico y el umbral constituyen el mismo suceso. Con los valores por defecto, 3.017 personas son infecciosas en ese instante. Cada una de ellas llega a infectar aproximadamente a una persona más, y cada una de estas infecta a algo menos de una, desarrollándose la cola a partir de una reserva inicial muy grande. El brote decae desde el pico en lugar de detenerse en él, y todo lo que se infecta durante ese decaimiento es el sobrepaso.
En la cola es donde residen esos 27 puntos adicionales, y es posible observarla en pleno desarrollo. Ajuste el control de días a 60: el pico sigue marcando 3.017, por lo que ya ha quedado atrás, mientras que el total indica 8.122. Aún quedan por producirse otras 1.290 infecciones, todas ellas posteriores al momento en que el brote comenzó a remitir.
Por qué el tamaño final no es una elección
El punto final no se puede ajustar mediante nada salvo el R₀. Kermack y McKendrick dedujeron esta relación en 1927: si f es la fracción finalmente infectada, entonces
f = 1 − e−R₀·f
una ecuación implícita con una única solución mayor que cero siempre que R₀ > 1. Para R₀ = 3 da f ≈ 0,94, lo que coincide con el 94,1 % del panel. La ecuación no contiene ningún término para el tamaño de la población, ningún término para la velocidad a la que se propagó la epidemia ni nada sobre cuándo comenzó. Duplicar la población duplica los infectados y no altera en absoluto la fracción.
El sobrepaso crece con el R₀, y lo hace de forma despiadada:
- R₀ = 1,5, la configuración predeterminada de la gripe: umbral del 33,3 %, tamaño final de 5.845 personas, o el 58,5 %. Sobrepaso de 25 puntos.
- R₀ = 3: umbral del 66,7 %, tamaño final del 94,1 %. Sobrepaso de 27 puntos.
- R₀ = 15, la configuración predeterminada del sarampión: umbral del 93,3 %, y el panel muestra un tamaño final de 10.000 de cada 10.000. Todos. Sobrepaso de unos 7 puntos.
El sobrepaso alcanza su máximo en los valores intermedios. Por debajo de R₀ = 1 no hay epidemia; con un R₀ muy elevado, el umbral ya está tan próximo a la totalidad de la población que queda poco margen para el sobrepaso. Los patógenos de transmisibilidad moderada, aquellos que parece plausible «dejar circular», presentan la brecha más amplia entre el punto donde cesa el crecimiento y el punto donde cesa la transmisión.
La consecuencia que importa
Ambas vías para alcanzar el umbral concluyen con un 66,7 % de inmunizados. Solo una de ellas se cobra un 94,1 % de infectados.
Si la inmunidad ya está asentada antes de la llegada del patógeno —por vacunación o por exposición previa a un elemento con protección cruzada—, entonces Reff comienza por debajo de 1, no hay fase de crecimiento, ni pico, ni sobrepaso. Las introducciones generan pequeños brotes locales que se extinguen. Los 27,4 puntos no son el precio de la inmunidad; son el precio de adquirirla durante una epidemia en lugar de antes de ella.
Esta es también la respuesta honesta al argumento que surgió repetidamente durante 2020: que se podía guiar a una población deliberadamente hasta el umbral y detenerla allí. El modelo indica que el frenado es precisamente la parte que no se controla. Para cuando los datos muestran que se ha llegado al umbral, varios miles de personas ya son infecciosas y sus contagios ya están desencadenados. El pico no es un freno; es el momento en que se empieza a pisar el freno, con el vehículo a plena velocidad.
Conviene tener presentes dos limitaciones, pues este es un modelo con cuatro controles y la realidad tiene miles. Asume que todo el mundo se relaciona con todo el mundo al azar, algo que ninguna población hace: las estructuras de contacto agrupadas reducen el tamaño final y pueden producir la extinción local muy por debajo del umbral ingenuo. Y asume que la inmunidad es permanente, algo que para muchos patógenos no ocurre; allí donde la inmunidad decae, «el umbral» no es un nivel que se alcanza y se mantiene, sino uno por el que hay que seguir pagando. Ambas correcciones alteran las cifras. Ninguna de ellas modifica el fondo del argumento: el punto donde se detiene el crecimiento y el punto donde se detiene la transmisión son puntos distintos, y la distancia entre ellos se mide en personas.