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Die Herdenimmunitätsschwelle liegt bei 66,7 %, warum infiziert die Epidemie dann 94,1 %?

42Math team · 28 June 2026

Zwei Zahlen aus derselben Simulation: Der Ausbruch erreicht bei 66,7 % die Wende und endet bei 94,1 %. Alles Interessante liegt in der Lücke.

Führt man das SIR model mit den Standardwerten aus: Übertragung β = 0,3, Genesung γ = 0,1, zehntausend Personen, zehn davon am ersten Tag infektiös. Das Bedienfeld meldet R₀ = β/γ = 3,00 und eine Herdenimmunitätsschwelle von 1 − 1/R₀ = 66,7 %.

Es meldet auch das Ergebnis. Höchstzahl der Infizierten: 3.017 Personen, 30,2 % der Bevölkerung gleichzeitig erkrankt. Gesamtzahl der Infizierten: 9.412 – 94,1 %.

Diese beiden letzten Zahlen sind diejenigen, bei denen es sich zu verweilen lohnt. Die Schwelle lag laut Berechnung bei 66,7 %, und die Epidemie ging 27,4 Prozentpunkte darüber hinaus. Das sind 2.745 von zehntausend Personen, die infiziert wurden, nachdem der Ausbruch bereits zu schrumpfen begonnen hatte.

Was die Schwelle tatsächlich aussagt

Die Schwelle ist eine Aussage über eine Ableitung, nicht über ein Ende, und sie als Ende zu verstehen, ist der grundlegende Denkfehler.

Jede infektiöse Person gibt in einer vollständig empfänglichen Bevölkerung die Infektion an R₀ weitere Personen weiter. Ist ein Teil der Bevölkerung bereits immun, kann nur der empfängliche Anteil dieser Kontakte infiziert werden, sodass die effektive Reproduktionszahl

R_eff = R₀ · S/N

beträgt, und die Fallzahl hört auf zu wachsen, wenn R_eff = 1 ist, was geschieht, wenn der empfängliche Anteil S/N auf 1/R₀ fällt – hier ein Drittel. Oder gleichbedeutend: wenn 66,7 % nicht mehr empfänglich sind.

Zu beachten ist, was in diesem Moment nicht geschieht. Die Übertragung stoppt nicht. R_eff = 1 bedeutet, dass jede infektiöse Person genau eine weitere ansteckt, sodass die Epidemie auf ihrem Höchststand verharrt – und genau deshalb sind der Höchststand und das Erreichen der Schwelle dasselbe Ereignis. Bei den Standardwerten sind in diesem Augenblick 3.017 Personen infektiös. Jede einzelne steckt in der Folge etwa eine weitere Person an, die ihrerseits jeweils etwas weniger infiziert, und der Ausläufer baut sich auf Basis eines sehr großen Anfangsbestands ab. Der Ausbruch klingt vom Höchststand aus ab, anstatt dort zu stoppen, und alles, was während dieses Abklingens infiziert wird, bildet das Überschießen.

Im Ausläufer liegen die zusätzlichen 27 Prozentpunkte, und man kann ihn mitten im Verlauf beobachten. Stellt man den Regler für die Tage auf 60: Der Höchststand steht nach wie vor bei 3.017, liegt also bereits in der Vergangenheit, während die Gesamtzahl 8.122 beträgt. Weitere 1.290 Infektionen stehen noch bevor, jede einzelne davon, nachdem der Ausbruch bereits zu schrumpfen begonnen hatte.

Warum die Endgröße keine Wahlentscheidung ist

Der Endpunkt lässt sich durch nichts außer R₀ beeinflussen. Kermack und McKendrick leiteten die Beziehung 1927 ab: Wenn f der Anteil der letztlich Infizierten ist, dann gilt

f = 1 − e^−R₀·f

eine implizite Gleichung mit genau einer Lösung größer als null, wann immer R₀ > 1 ist. Bei R₀ = 3 ergibt sie f ≈ 0,94, was den 94,1 % des Bedienfelds entspricht. Die Gleichung enthält keinen Term für die Bevölkerungsgröße, keinen Term dafür, wie schnell die Epidemie verlief, und nichts darüber, wann sie begann. Eine Verdopplung der Bevölkerung verdoppelt die Zahl der Betroffenen und ändert am Anteil überhaupt nichts.

Das Überschießen wächst mit R₀, und es wächst unbarmherzig:

• R₀ = 1,5, die Voreinstellung Grippe – Schwelle 33,3 %, Endgröße 5.845 Personen oder 58,5 %. Überschießen 25 Punkte.
• R₀ = 3 – Schwelle 66,7 %, Endgröße 94,1 %. Überschießen 27 Punkte.
• R₀ = 15, die Voreinstellung Masern – Schwelle 93,3 %, und das Bedienfeld gibt eine Endgröße von 10.000 von 10.000 an. Alle. Überschießen etwa 7 Punkte.

Das Überschießen ist im mittleren Bereich am größten. Unterhalb von R₀ = 1 gibt es keine Epidemie; bei sehr hohem R₀ liegt die Schwelle bereits so nahe an der Gesamtbevölkerung, dass kaum noch Raum für ein Überschießen bleibt. Die mäßig übertragbaren Erreger – jene, bei denen es plausibel erscheint, sie „durchlaufen zu lassen“ – weisen die größte Lücke auf zwischen dem Punkt, an dem das Wachstum stoppt, und dem Punkt, an dem die Übertragung stoppt.

Die entscheidende Konsequenz

Beide Wege zur Schwelle enden mit 66,7 % Immunen. Nur einer davon kostet 94,1 % Infizierte.

Besteht bereits Immunität, bevor der Erreger eintrifft – durch Impfung oder vorherigen Kontakt mit etwas Kreuzschützendem –, dann beginnt R_eff unter 1, es gibt keine Wachstumsphase, keinen Höchststand und kein Überschießen. Eintragungen führen zu kleinen Clustern, die erlöschen. Die 27,4 Prozentpunkte sind nicht der Preis für Immunität; sie sind der Preis dafür, sie während einer Epidemie statt vor einer Epidemie zu erwerben.

Dies ist auch die ehrliche Antwort auf das Argument, das im Jahr 2020 wiederholt auftauchte – dass man eine Bevölkerung gezielt bis zur Schwelle führen und dort anhalten könnte. Das Modell zeigt, dass das Anhalten der Teil ist, den man nicht unter Kontrolle hat. In dem Moment, in dem die Daten zeigen, dass man die Schwelle erreicht hat, sind bereits mehrere Tausend Menschen infektiös und ihre Infektionen sind bereits unumkehrbar. Der Höchststand ist keine Bremse; er ist der Moment, in dem die Bremse erst betätigt wird – während das Fahrzeug mit voller Geschwindigkeit fährt.

Zwei Einschränkungen sollte man im Blick behalten, denn dies ist ein Modell mit vier Stellschrauben, während die Realität Tausende besitzt. Es setzt voraus, dass sich alle zufällig miteinander mischen, was auf keine Bevölkerung zutrifft – geklumpte Kontaktstrukturen verringern die Endgröße und können weit unterhalb der naiven Schwelle zu einem lokalen Aussterben der Infektionskette führen. Und es setzt voraus, dass Immunität dauerhaft ist, was bei vielen Erregern nicht der Fall ist; wo die Immunität nachlässt, ist „die Schwelle“ kein Niveau, das man einmal erreicht und hält, sondern eines, für das man fortlaufend bezahlen muss. Beide Korrekturen verändern die Zahlen. Keine von beiden ändert die Grundstruktur des Arguments: Der Punkt, an dem das Wachstum stoppt, und der Punkt, an dem die Übertragung stoppt, sind unterschiedliche Punkte – und der Abstand zwischen ihnen wird in Menschen gemessen.